무한대의 점
Point at infinity |
기하학에서 무한대 또는 이상적인 점의 점은 각 선의 "끝"에 있는 이상적인 한계점입니다.
아핀 평면(유클리드 평면 포함)의 경우 평면 평행선의 각 연필에 대해 하나의 이상적인 점이 있습니다.이러한 점을 "잊어버리면" 점을 구분할 수 없는 투영 평면이 생성됩니다.이것은 모든 필드의 지오메트리를 유지하며, 보다 일반적으로 모든 분할 [1]링을 유지합니다.
실제의 경우 무한대의 점은 위상적으로 닫힌 곡선으로 선을 완성한다.고차원에서 무한대의 모든 점은 자신이 속한 전체 투영 공간보다 작은 1차원의 투영 부분 공간을 형성합니다.무한대의 점은 복소선(복소 평면이라고 생각될 수 있음)에 추가될 수 있으며, 이를 리만 구(복소수가 각 점에 매핑될 때)라고도 하는 복소 투영선(CP1)으로 알려진 닫힌 표면으로 바꿀 수 있습니다.
쌍곡선 공간의 경우 각 선은 두 개의 서로 다른 이상적인 점을 가집니다.여기서 이상적인 점의 집합은 4차원의 형태를 취합니다.
아핀 기하학
고차원의 아핀 또는 유클리드 공간에서 무한대의 점은 투영 완성을 얻기 위해 공간에 더해지는 점들이다.무한대의 점 집합을 공간의 치수에 따라 무한대의 선, 무한대의 평면 또는 무한대의 초평면이라고 하며, 모든 경우 하나 더 적은 차원의 투영 공간이라고 합니다.
필드상의 투영 공간은 매끄러운 대수적 다양성이기 때문에 무한대의 점 집합에 대해서도 마찬가지다.마찬가지로 지면장이 실수장 또는 복소장일 경우 무한대의 점 집합은 다양체입니다.
관점
예술적 드로잉과 기술적 원근법에 있어서, 평행선 클래스의 무한대에 있는 점의 평면상의 투영을 소실점이라고 한다.
쌍곡선 기하학
쌍곡선 기하학에서 무한대의 점은 일반적으로 이상적인 점으로 명명됩니다.유클리드 및 타원 기하학과는 달리, 각 선은 무한대의 두 점을 가지고 있다. 즉, 선 l과 l에 없는 점 P가 주어졌을 때, 오른쪽과 왼쪽 한계 평행선은 무한대의 다른 점들에 점근적으로 수렴한다.
무한대의 모든 점은 함께 쌍곡면의 절대 또는 경계를 형성합니다.
투영 형상
투영 평면에서 점과 선의 대칭이 발생합니다. 점 쌍이 선을 결정하듯이 선 쌍이 점을 결정합니다.평행선의 존재는 이러한 평행선의 교점을 나타내는 무한대의 점을 설정하는 것으로 이어집니다.이 자명한 대칭은 중앙 C가 무한대의 점 또는 비유적인 [2]점인 중심 투영으로 평행 투영이 발생하는 그래픽 원근법에 대한 연구에서 비롯되었다.점과 선의 자명한 대칭을 이중성이라고 합니다.
무한대의 점은 투영 범위의 다른 점들과 동등하게 고려되지만, 투영 좌표가 있는 점의 표현에서는 유한점이 최종 좌표에서 1로 표현되고 무한대의 점은 0으로 표현된다.무한대에서 점을 나타내려면 유한점 공간을 벗어나는 좌표가 하나 더 필요합니다.
기타 일반화
이 구조는 위상 공간으로 일반화할 수 있습니다.주어진 공간에 다른 콤팩트화가 존재할 수 있지만, 임의의 위상 공간은 원래 공간 자체가 콤팩트하지 않을 때 원포인트 콤팩트화라고도 불리는 알렉산드로프 확장을 허용합니다.임의의 필드 위에 투영된 선은 해당 필드의 알렉산드로프 확장자입니다.따라서 원은 실선의 1점 콤팩트화이며, 구는 평면의 1점 콤팩트화입니다.n > 1에 대한 투영 공간n P는 θ 아핀 기하학에서 상술한 이유로 대응하는 아핀 공간의 1점 콤팩트화가 아니며, 이상적인 점을 갖는 쌍곡 공간의 완성도 역시 1점 콤팩트화가 아니다.
「 」를 참조해 주세요.
레퍼런스
- ^ Weisstein, Eric W. "Point at Infinity". mathworld.wolfram.com. Wolfram Research. Retrieved 28 December 2016.
- ^ G. B. Halsted(1906) 합성 투영 기하학, 7페이지
