감자 역설

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감자 역설은 직관에 반하는 결과를 가지고 있는 수학적인 계산이다.유니버설 수학 서적에는 그 문제를 다음과 같이 기술하고 있다.

프레드는 100kg의 감자를 집으로 가져온다. 감자는 99%의 물(순수학적 감자는 순수하게 수학적 물이다.그리고 나서 그는 그것들을 98%의 물로 구성되도록 하룻밤 동안 밖에 놓아두었다.그들의 새 몸무게는 얼마인가?

그런 다음 다음과 같은 답을 제시한다.

놀라운 대답은 50kg이다.^[3]

Quine의 역설 분류에서 감자의 역설은 진리학적 역설이다.

간단한 설명

방법 1

처음에 감자가 99%의 물일 경우 비수질량은 1%이다.감자의 질량은 100kg이다. 100kg의 1%는 1kg이다.이 질량은 정적이다. 물만이 증발하기 때문에 변하지 않을 것이다.

하룻밤을 묵은 후에 물 덩어리가 98%로 줄어들면, 이제 감자의 비 물 덩어리는 전체 질량의 2%에 불과하지만, 그것은 여전히 1kg에 불과하다.비수분율이 두 배나 되려면 총 질량이 절반이나 커야 한다.즉, 1kg은 50kg의 2%이다.

처음부터 다시 말할 수 있는 또 다른 방법:

100kg의 1%는 1kg의 고형감자다.이 금액은 변하지 않는다.그래서 우리는 총 질량의 1%에 해당하는 1kg의 고형감자를 가지고 있다.

물이 증발하여 물이 총 질량의 98%가 될 때, 즉 총 질량의 2%가 변하지 않은 1kg의 고체라는 뜻이다.

단순 대수학: 1kg은 무엇의 2%인가?정답은 50kg 입니다.

방법 2

초기(왼쪽 그림)에는 비수 1부분과 99부분의 물이 있다.이것은 99%의 물 또는 1:99의 비-물 대 물 비율이다.비수(非水) 대 물(水)의 비율을 1:49로 두 배로 늘리려면 비수(非水)의 한 부분을 유지하면서 물(水)의 양을 49 부분(중수)으로 줄여야 한다.이는 비수분 98%(수분 98%)에 해당하는 2부작에 해당한다.

감자 100kg에서 99%의 물(중량 기준)은 99kg의 물과 1kg의 비수분이 있음을 의미한다.이것은 1:99 비율이다.

백분율이 98%로 감소하면 비수분 부분은 이제 중량의 2%인 2:98 또는 1:49의 비율을 차지해야 한다.비수분 부분은 여전히 1kg이므로, 총 50kg을 생산하려면 49kg이 되어야 한다.

대수학을 이용한 설명

방법 1

물이 증발한 후 남은 총량인 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은$$1kg의 순감자와 (98/100)x의 물을 함유하고 있다.방정식은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\begin}1+{\frac {98}{100}x&=x\\\Longrightarrow 1&={1}{50}x\end}}}}$

$결과{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$ $$= 50kg.

방법 2

신선한 감자에 담긴 물의 무게는 $0{\displaystyle .99}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 100}$ $[\displaystyle$ 0$.99\cdot 100}$ 입니다$.$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 감자가 탈수될 때 감자에서 손실된 물의 무게라면 $0{\displaystyle .98}$(${\displaystyle \mathrm{100}}$- x${\displaystyle }$) ${\displaystyle 0.98 (100-x)}$은 탈수된 감자의 수분 무게다$$.따라서 다음과 같다.

${\displaystyle 0.99\cdot 100-0.98(100-x)=x}$

괄호 확장 및 단순화

${\displaystyle {\displaysty}99-(98-0.98x)-(98-0.98x)&=\99-98+0.98x&=1+0.98x&=x\ended}}}$

양쪽에서 $작은{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$ 항 빼기$$

${\displaystyle {\reasoned}1+0.98x-0.98x&=x-0.98x\\1&=0.02x\ended}}}$

손실된 물을 다음과 같이 제공한다.

$(\displaystyle 50=x}$

그리고 감자의 탈수된 무게는 다음과 같다.

$[\displaystyle 100-x=100-50=50}$

방법 3

감자가 탈수된 후 감자는 98%의 물이 된다.

이는 감자의 비수중량 비율이${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$ -$){\displaystyle (1-.$98$)}$임을 의미한다$.$

x가 탈수 후 감자의 무게인 경우:

${\displaystyle {\signified}(1-.98)x&=1\\.02x&=1\x&={\frac {1}{.02}\x&=50\end}}}}}$

함축

비수분 부분의 농도가 2배 이상 높아지면 답은 같다.예를 들어 감자가 원래 99.999%의 물이었다면 그 비율을 99.998%로 줄이면 여전히 무게의 반을 줄여야 한다.

언어 패러독스

첫 번째 판독 후, 수분 비율을 1% 줄임으로써 체중을 1kg 줄인다고 잘못 추정할 수 있다.그러나 물 퍼센트가 1% 감소했을 때, 실제로 이것은 비 물 퍼센트가 그 무게가 일정하게 유지되는 동안 두 배로 증가한다는 것을 의미하며, 이것은 50 kg의 물이 증발했다는 것을 의미한다.

초기 질의를 해석할 수 있는 또 다른 방법은 99%의 물은 감자의 무게가 아니라 부피를 가리킨다는 것이다.감자의 부피가 여전히 절반으로 줄어들겠지만, 우리가 감자 고형물의 무게를 모르기 때문에 그 대답은 알 수 없을 것이다.예를 들어, 감자 고형물은 스스로 75kg이 나갈 수 있는데, 이 경우 아무리 물을 줄인다 하더라도 답은 결코 50kg이 될 수 없다.그러나 논리가 역설은 반드시 유효한 해답을 가지고 있어야 한다는 것을 지시하기 때문에, 우리는 물이 무게의 99%를 차지한다고 가정해야 한다.역설은 그렇다면 수학적인 것이 아니라, 문제를 정의하기 위해 사용되는 언어와 논리에 대한 우리의 이해에 관한 것이다."파라독스"가 정확한지 확인하기 위해 주의 깊은 표현을 사용해야 한다.

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Potato Paradox". MathWorld.