원금값

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수학, 특히 복잡한 분석에서, 다중값 함수의 주요 값은 해당 함수의 선택된 한 분기를 따르는 값이기 때문에 단일 값이다. 가장 간단한 경우는 양의 실수의 제곱근을 취할 때 발생한다. 예를 들어, 4는 2와 -2의 두 제곱근을 가지고 있다. 이 중 2는 주근으로 간주되며 $4$로 표시된다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}.$$}$

동기

복합 로그 함수 로그 z를 고려하십시오. 다음과 같은 복잡한 숫자로 정의된다.

${\displaystyle e^{w}=z.}$

예를 들어, 로그 I을 찾고 싶다고 합시다. 이것은 우리가 해결하기를 원한다는 것을 의미한다.

${\displaystyle e^{w}=i}$

w. iπ/2가 해결책임이 분명하다. 그러나 그것이 유일한 해결책인가?

물론, 다른 해결책도 있는데, 이것은 복잡한 평면에서 i의 위치와 특히 그 논거 arg i를 고려함으로써 증명된다. 우리는 1에서 2 라디안을 시계 반대방향으로 회전시킬 수 있지만, 만약 우리가 다른 2 °를 더 돌리면 우리는 다시 I에 도달한다. 따라서 i(π/2 + 2π)도 log i에 대한 해결책이라고 결론을 내릴 수 있다. 로그 i에 대한 모든 값을 얻기 위해 초기 솔루션에 2πi의 배수를 추가할 수 있다는 것은 명백해진다.

그러나 이것은 실제 가치 있는 함수에 비해 놀랄만한 결과를 가지고 있다: 로그 i는 단 하나의 확실한 가치를 가지고 있지 않다. 로그 z의 경우

${\displaystyle \log {z}=\ln { z}+i\왼쪽(\mathrm {arg}\z\right)=\ln { z}+i\left(\mathrm {Arg}\z+2\pi k\rig)}}$

정수 k의 경우, 여기서 Arg z는 간격에 놓도록 정의된 z의 (주요) 인수입니다${\displaystyle (}$ - ${\displaystyle \text{π}}$ ,${\displaystyle }$π ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle(-\pi ,\\pi$ $]).$ 주 인수는 주어진 복합 숫자 z에 대해 고유하므로, -${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle -\pi$}은 간격에 포함되지 않는다$$. k의 각 값은 다중값 로그 함수의 단일 값 성분인 분기(또는 시트)로 알려진 것을 결정한다.

k = 0에 해당하는 분기를 주 분기로 하고, 이 분기를 따라 함수가 취하는 값을 주 분기로 한다.

일반사례

일반적으로 f(z)가 다중값일 경우 f의 주 분기가 표시된다.

${\displaystyle \mathrm {mathrm} \,f(z)}$

예를 들어, f 도메인에서 z에 대해 pv f(z)는 단일 값이다.

표준 함수의 주요 값

복합적으로 가치 있는 기본 함수는 일부 도메인에 걸쳐 다중 값을 가질 수 있다. 이러한 기능들 중 일부의 기본값은 단순함수의 기본값을 쉽게 얻을 수 있는 단순한 기능으로 분해함으로써 얻을 수 있다.

로그 함수

위 로그 함수를 검사했다. 즉,

${\displaystyle \log {z}=\ln { z}+i\왼쪽(\mathrm {arg}\ z\right)}$

자, arg z는 본질적으로 다변화된 것이다. 흔히 일부 복잡한 숫자의 인수를${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle$-\$pi$}($$배타적)과 $\$ {\$displaystyle \pi$}(포함) 사이에 정의하기 때문에, 우리는 이것을 인수의 주요 가치로 삼고, 이 지점 Arg z(선도자본 A와 함께)에 인수 함수를 쓴다. arg z 대신 arg z를 사용하여 로그의 주값을 얻고, we get the principal value of logarithm, we writing

${\displaystyle \mathrm {pv} \log {z}=\mathrm {Log} \,z=\ln { z}+i\left(\mathrm {Arg} \,z\right)}$

제곱근

복잡한 숫자 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\varphi }^{}}$ i $displaystyle z=re^{\phi i}\,}$의 경우$$ 제곱근의 주값은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {pv} {\sqrt{r}}={\sqrt{r}\,e^{i\phi /2}}:$

논쟁 포함 -< ≤ . ${\displaystyle$ -$\pi <\phi \leq \pi .}$

복잡한 인수

라디안 단위로 측정한 복합수 인수의 기본값은 다음과 같이 정의할 수 있다.

• $[{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$) ${\displaystyle [0,2\pi )}$ 범위의 값
• 범위의 값( -${\displaystyle \pi }$ ,${\displaystyle }$,${\displaystyle }$] ${\displaystyle(-\pi ,\pi ])$

이러한 값을 계산하려면 다음 함수를 사용하십시오.

• 주 값이 범위에 있는 atan2$({\displaystyle }$ -${\displaystyle }$- ,${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle(-\pi ,\pi ]})$
• 범위의 기본값이 있는 atan$({\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$,${\displaystyle \pi \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle({\tfrac {-\pi }{2}},{\tfrac {}}{2}}])$

참고 항목

• 주점
• 분기점