발사체 운동

발사체 운동은 물체나 입자(발사체)가 지구 표면과 같은 중력장에 투영되어 중력 작용만으로 곡선 경로를 따라 움직이는 운동의 한 형태입니다.지구에서 발사체 운동을 하는 특정한 경우, 대부분의 계산은 공기 저항의 영향이 수동적이고 무시할 수 있다고 가정합니다.갈릴레오는 발사체 운동에서 물체의 곡선 경로를 포물선으로 보여주었지만, 위나 아래로 직접 던졌을 때 특별한 경우에는 직선이 될 수도 있습니다.그러한 운동에 대한 연구는 탄도학이라고 불리고 그러한 궤적은 탄도학적 궤적입니다.물체에 적극적으로 작용하는 유일한 수학적 의미의 힘은 중력이며, 중력은 아래로 작용하여 물체에 지구 질량 중심을 향해 아래로 가속도를 부여합니다.물체의 관성 때문에 물체의 운동의 수평 속도 성분을 유지하기 위해 외력이 필요하지 않습니다.공기역학적 항력이나 내부 추진력(로켓 등)과 같은 다른 힘을 고려하려면 추가 분석이 필요합니다.탄도 미사일은 비교적 짧은 초기 동력 비행 단계에서만 유도되는 미사일이며, 나머지 과정은 고전 역학 법칙에 의해 통제됩니다.

탄도학( ballistics學, )은 발사체의 비행, 행동, 효과를 다루는 역학의 과학으로, 특히 총알, 무유도 폭탄, 로켓 등을 가리킨다.

탄도학의 기본 방정식은 초기 속도와 가정된 일정한 중력 가속도를 제외한 거의 모든 요소를 무시합니다.탄도학 문제의 실용적인 해결책은 종종 공기 저항, 횡풍, 목표 운동, 중력에 의한 다양한 가속도, 그리고 지구의 한 지점에서 다른 지점으로 로켓을 발사하는 문제, 즉 지구의 회전에 대한 고려를 필요로 합니다.실제 문제의 세부 수학적 솔루션은 일반적으로 폐쇄형 솔루션이 없기 때문에 해결하기 위한 수치적 방법이 필요합니다.

운동학적

발사체 운동에서 수평 운동과 수직 운동은 서로 독립적입니다. 즉, 두 운동 모두 다른 운동에 영향을 주지 않습니다.이것은 갈릴레오가 1638년에 정립한 복합운동의 원리이며,^[1] 발사체 운동의 포물선 형태를 증명하기 위해 그가 사용한 것입니다.^[2]

탄도 궤적은 다른 힘이 없을 때 일정한 가속도를 가진 우주선과 같이 균일한 가속도를 가진 포물선입니다.지구에서 가속도는 고도에 따라, 방향은 위도/경도에 따라 크기가 바뀝니다.이것은 타원 궤도를 야기하는데, 이것은 작은 규모의 포물선에 매우 가깝습니다.그러나, 만약 물체가 던져지고 지구가 갑자기 질량이 같은 블랙홀로 대체된다면, 탄도 궤도는 무한대로 확장되는 포물선이 아니라 그 블랙홀 주위를 도는 타원 궤도의 일부임이 명백해질 것입니다.더 빠른 속도에서는 궤도가 원형, 포물선 또는 쌍곡형일 수도 있습니다(달이나 태양과 같은 다른 물체에 의해 왜곡되지 않는 한).이 글에서는 균일 가속도를 가정합니다.

액셀러레이션

수직방향으로만 가속도가 있으므로 $\mathbf {v} _{0}\cos \theta$ 의 속도는 v0 $\mathbf {v} _{0}\cos \theta$ ⁡ θ $\mathbf {v} _{0}\cos \theta$ 와 같으며, 발사체의 수직운동은 자유낙하 동안의 입자의 운동입니다 $\mathbf {v} _{0}\cos \theta$ 여기서 가속도는 일정하며 다음과 같습니다.g.^{[note 1]}가속의 구성^{[note 1]} 요소는 다음과 같습니다.

a_{x}=0

=

0

{\displaystyle

}=

0

=

-

a_{y}=-g

{\displaystyle

}=-

g}.

속도

다음과 같이 수평 성분과 수직 성분의 합으로 나타낼 수 $\mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}$ 있는 초기 속도 v $\mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}$ ( $\mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}$ ) $\mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}$ ≡ v $\mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}$ $\mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}$ 로 발사체를 발사합니다.

\mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}}

\mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}}

=

\mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}}

\mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}}

x

\mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}}

\mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}}

+ v

\mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}}

\mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}}

\mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}}

\mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}}

\mathbf {v

} =

v_{0x}\mathbf

{\

hat {x}

+

v_{0y}\mathbf

{\

hat {y} }

입니다

\mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}}

$\theta$ 실행 $v_{0x}$ 인 $\theta$ θ {\displaystyle \ $theta}$ 을 $\theta$ 를) 알고 있는 경우 v0 x {\displaystyle $v_{0y}$ 및 $v_{0y}$ ${\$ $displaystyle$ $v_{0y}$ 구성 요소를 찾을 수 있습니다.

v_{0x}=v_{0}\cos(\theta )

v_{0x}=v_{0}\cos(\theta )

=

v_{0x}=v_{0}\cos(\theta )

{\displaystyle v

}=

v_{0}\cos(\theta

v_{0x}=v_{0}\cos(\theta )

v_{0y}=v_{0}\sin(\theta )

물체의 속도에 대한 수평 성분은 움직임 내내 변하지 않습니다.중력에 의한 가속도가 일정하기 때문에 ^{[note 2]}속도의 수직 성분은 선형적으로 변화합니다.가속 장치들은x그리고.y언제든지 속도 성분을 해결하기 위해 방향을 통합할 수 있습니다.t, 다음과 같이

v_{x}=v_{0}\cos(\theta )

=

v_{x}=v_{0}\cos(\theta )

{\displaystyle

}=

v_{0}\cos(\theta

v_{x}=v_{0}\cos(\theta )

v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt

=

v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt

)

v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt

-

v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt

{\

displaystyle

{y}=

v_{

0}\

sin(\theta

)-

gt

속도의 크기(삼각형 법칙이라고도 알려진 피타고라스 정리 하에서):

v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}

=

v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}

v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}

2

v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}

+

v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}

v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}

{\displaystyl

v = {\

sqrt {v_{x}^{2}

+

v_{y}^{2

변위

$t$ $t$ 에서 발사체의 수평 및 수직 변위는 다음과 같습니다 $t$

x=v_{0}t\cos(\theta )

=

x=v_{0}t\cos(\theta )

x=v_{0}t\cos(\theta )

x=v_{0}t\cos(\theta )

{\displaystyl

x =

v_{0}t\cos(\theta

x=v_{0}t\cos(\theta )

y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

=

y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

)

y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

12

y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

{\displaystyl

=

v_{0}t\sin(\theta

) -

{\frac

{1

}{2}}gt^{2}}.

변위의 크기는 다음과 같습니다.

\Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}

}}}}

.

방정식을 생각해보면,

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

(

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

=

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

(

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

θ )

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

2

{\

displaystyl

x

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

= v_{

0}t\cos

(\

theta

)

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

y

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

=

v_{0}t\sin

theta ) -

{\frac {1}{2}}gt^{2}}.

한다면t이 두 방정식 사이에서 제거되면 다음과 같은 방정식이 얻어집니다.

y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}=\tan \cdot x\left(1-{\frac {x}{R}}\right).

여기서 R은 발사체의 사거리입니다.

부터g,θ,그리고.v₀는 상수이고, 위의 방정식은 다음과 같습니다.

y=ax+bx^{2}

=

y=ax+bx^{2}

y=ax+bx^{2}

+

y=ax+bx^{2}

x

y=ax+bx^{2}

{\displaystyl

y =

ax

+

bx^{2

어느쪽에a그리고.b는 상수입니다.이것이 포물선의 방정식이므로 경로는 포물선입니다.포물선의 축은 수직입니다.

발사체의 위치(x,y)와 발사각도(θ 또는 α)를 알면 초기 속도를 해결할 수 있습니다. v₀앞에서 언급한 포물선 방정식에서

v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}

v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}

=

v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}

v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}

v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}

x

v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}

v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}

v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}

-

v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}

y

v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}

⁡ θ

{\displaystyle

}={\

sqrt {x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos^{2}\theta}}.

극좌표에서의 변위

발사체의 포물선 궤적은 데카르트 좌표 대신 극좌표로 표현할 수도 있습니다.이 경우 위치는 일반적인 공식을 갖습니다.

r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)

(

r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)

)

=

r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)

r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)

r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)

r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)

⁡ θ

r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)

(

r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)

⁡

r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)

⁡ ϕ -

r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)

⁡

r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)

⁡ ϕ )

{\displaystyle

r(\

ph

)

= {\frac

{

2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta

}{ g

}}\left(\tan \theta \sec \phi

-

\tan \sec \phi \right)}.

이 식에서 원점은 발사체의 수평 범위의 중간점이고 지면이 평평한 경우 포물선 $0\leq \phi \leq \pi$ 는 0 $0\leq \phi \leq \pi$ ϕ ≤ π $0\leq \phi \pi$ 범위에 표시됩니다 $0\leq \phi \leq \pi$ 이 식을 위와 같이 직교 방정식을 $y=r\sin \phi$ = r $y=r\sin \phi$ ⁡ ϕ ${\displaystyle$ y = $r\sin \phi },$ $x=r\cos \phi$ = $x=r\cos \phi$ 로 변환하여 얻을 수 있습니다. $x=r\cos \phi$ $x=r\cos \phi$ ${\displaystyle x$ 입니다 $x=r\cos \phi$

궤적의 속성

비행 시간 또는 전체 여정의 총 시간

총시간t발사체가 공중에 남아있는 것을 비행시간이라고 합니다.

y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

비행 후 발사체는 수평 축(x축 $y=0$ 으로 되돌아가므로 $y=0$ = $0 {\displaystyle$ y = 0 $}.$

0=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

v_{0}t\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt^{2}

v_{0}\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt

t={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{g}

우리는 발사체의 공기 저항을 무시했습니다.

시작점이 높이에 있는 경우y₀충돌 지점과 관련하여 비행 시간은 다음과 같습니다.

t={\frac {d}{v\cos \theta }}={\frac {v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}{g}

위와 같이 이 식을 다음과 같이 줄일 수 있습니다.

{\displaystyle t={\frac {v\sin {\theta}}+{\sqrt {(v\sin {\theta})^{{2}}}}{g}={\frac {v\sin {\theta}}+v\sin {\theta}}}{g}}={\frac {2v\sin {(45)}}={\frac {2v\sqrt {2}}{g}}={\frac {2v{\sqrt {2}}{g}}={\frac {\sqrt {2}}{g}}}={\frac {{\sqrt {2}}{g}}}}.

한다면θ45°이고y₀0 입니다.

목표 위치까지 비행시간

위의 변위 섹션에서와 같이 발사체의 수평 속도와 수직 속도는 서로 독립적입니다.

따라서 수평 속도에 대한 변위 공식을 사용하여 목표에 도달하는 시간을 구할 수 있습니다.

$x=v_{0}t\cos(\theta )$

${\frac {x}{t}}=v_{0}\cos(\theta )$

$t={\frac {x}{v_{0}\cos(\theta)}}$

이 식은 발사체가 목표물의 수평 변위에 도달하기 위해 이동해야 하는 총 시간 t을 제공하며 공기 저항은 무시합니다.

발사체 최대 높이

물체가 도달할 최대 높이는 물체의 움직임의 정점으로 알려져 있습니다.높이 증가는 $v_{y}=0$ = $v_{y}=0$ ${\displaystyle v_{y$ }= $0}$ 까지 지속됩니다. $v_{y}=0$ 즉,

0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}

=

0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}

0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}

0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}

(

0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}

)

0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}

-

0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}

{\displaystyl

0 =

v_{0}\sin

최대 높이에 도달하는 시간(h):

{\textstyle t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}

=

{\textstyle t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}

(

{\textstyle t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}

)

{\textstyle t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}

g

textstyle

t

{\textstyle t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}

{

h}

= {\

frac

{

v_{0}\sin(\theta

)} {

g}}.

발사체의 최대 높이의 수직 변위의 경우:

h=v_{0}t_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{h}^{2}

h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2g }

θ=90°에 대해 도달 가능한 최대 높이를 구합니다.

h_{\mathrm {max}} = {\frac {v_{0}^{2}}{2g}}

발사체의 위치(x,y)와 발사 각도(θ)를 알고 있다면, 최대 높이는 다음 식에서 h 동안 풀어서 알 수 있습니다.

h={\frac {(x\tan \theta )^{2}}{4(x\tan \theta -y)}}

수평 범위와 최대 높이 사이의 관계

범위 사이의 관계d수평면과 최대 높이로h ${\frac {t_{d}}{2}}$ ${\$ 에 ${\frac {t_{d}}{2}}$ 도달했습니다.

h={\frac {d\tan \theta}{4}

증명

$h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta}{2g}$

d={\frac {v_{0}^{2}\sin 2\theta}{g}

{\frac {h}{d}}={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2|g|}}

=

v

{\frac {h}{d}}={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2|g|}}

{\frac {h}{d}}={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2|g|}}

{\frac {h}{d}}={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2|g|}}

{\frac {g}{v_{0}^{2}\sin 2\theta }}

{\frac {g}{v_{0}^{2}\sin 2\theta }}

{\frac {h}{d}}={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2|g|}}

displaystyle {\frac {

}}={\

frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2g }

× g

{\frac {g}{v_{0}^{2}\sin 2\theta }}

{\frac {g}{v_{0}^{2}\sin 2\theta }}

{\frac {h}{d}}={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2|g|}}

{\frac {g}{v_{0}^{2}\sin 2\theta }}

{\frac {h}{d}}={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2|g|}}

⁡

{\frac {g}{v_{0}^{2}\sin 2\theta }}

θ

{\displaystyle

{g

}{v_{0}^{2}\sin 2\theta }}

{\frac {h}{d}}={\frac {\sin ^{2}\theta}{4\sin \theta \cos \theta}}

$h={\frac {d\tan \theta }{4}}$ $=$ $h={\frac {d\tan \theta }{4}}$ ⁡ $h={\frac {d\tan \theta }{4}}$ $h={\frac {d\tan \theta }{4}}$ ${\displaystyl$ = {\ $frac {d\tan \theta}{4}}.$

if $h=R$ = $h=R$ ${\displaystyle$ h = $R}$

$\theta =\arctan(4)\approx 76.0^{\circ}$

발사체의 최대 거리

발사체의 범위와 최대 높이는 질량에 의존하지 않습니다.따라서 범위와 최대 높이는 동일한 속도와 방향으로 던지는 모든 물체에 대해 동일합니다.수평범위d발사체는 초기 높이로 돌아갈 때 이동한 수평 거리입니다( $y=0$ = $y=0$ ${\displaystyle$ y = $0}).$

0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}

=

0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}

0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}

0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}

d

0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}

)

0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}

- 12

0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}

0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}

2

{\displaystyl

=

v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}}.

지상 도달 시간:

t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}

=

2

t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}

t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}

(

t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}

)

t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}

displaystyle t

= {\

frac {2v_{0}\sin(\theta )}{

g

}}.

수평 변위로부터 발사체의 최대 거리:

d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )

=

d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )

d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )

d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )

{\displaysty

d

=v_{0}t_{d}\cos(\theta

d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )

그래서^{[note 3]}

d={\frac {v_{0}^{2}}{|g|}}\sin(2\theta )

=

v

d={\frac {v_{0}^{2}}{|g|}}\sin(2\theta )

d={\frac {v_{0}^{2}}{|g|}}\sin(2\theta )

d={\frac {v_{0}^{2}}{|g|}}\sin(2\theta )

)

{\

displaystyl

d = {\

frac {v_{0}^{2}}{

g

}}\sin

참고:d다음과 같은 경우에 최대값을 갖습니다.

\sin 2\theta =1

\sin 2\theta =1

\sin 2\theta =1

= 1 {\displaystyle \sin 2\th

= 1

\sin 2\theta =1

반드시 이에 해당하는.

=

∘

{\displaystyle 2\th

=

90^{\circ

아니면

\theta =45^{\circ }

θ

45

\theta =45^{\circ }

{\

display

style

\th

=45

^{\circ

총 수평거리(d)여행했다.

d={\frac {v\cos \theta}{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}\right)

지표면이 평평한 경우(객체의 초기 높이가 0), 이동 거리는 다음과 같습니다.^[3]

d={\frac {v^{2}\sin(2\theta)}{g}

따라서 최대 거리는 다음과 같이 구합니다.θ45도 입니다.이 거리는 다음과 같습니다.

d_{\mathrm {max}} = {\frac {v^{2}}{g}

일에너지 정리의 응용

일 에너지 정리에 따르면 속도의 수직 성분은 다음과 같습니다.

v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy

v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy

=

(

v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy

⁡

v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy

)

v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy

-

v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy

v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy

{\displaystyle v_{y

}=(

v_{0}\sin \theta )^{2}-2

gy

}.

이 공식들은 공기역학적 항력을 무시하고 착륙 영역이 균일한 높이 0에 있다고 가정합니다.

도달각

"손이 닿는 각도"는 다음과 같습니다.θ) 거리를 두기 위해서는 발사체를 발사해야 하는 곳d, 초속으로 보아v.

\sin(2\theta )={\frac {gd}{v^{2}}}

두 가지 해결책이 있습니다.

=

\theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)

(

\theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)

\theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)

{\

displaystyle \

th

= {\

frac {1}{2}}\arcsin \l

({\

frac {gd}{v^{2}}\righ

llow 궤적)

그리고.

\theta ={\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)

θ

=

\theta ={\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)

\theta ={\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)

(

\theta ={\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)

\theta ={\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)

\theta ={\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)

\theta ={\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)

)

{\displaystyle \th

= {\

frac {1}{2}}\arccos \l

({\

frac {gd}{v^{2}}\righ

teep 궤적)

각`θ`좌표를 맞추는 데 필요함 (`x`,`y`)

목표물을 사정거리에 맞추기x그리고 고도y(0,0)에서 발사되었을 때 그리고 초기 속도로v발사에 필요한 각도θ다음과 같습니다.

\theta =\arctan {\left ({\frac {v^{2}\pm {\sqrt {v^{4}-g(gx^{2}+2yv^{2}}}}{gx}}\right)}

방정식의 두 근은 가상이 아닌 한 가능한 두 발사 각도에 해당하며, 이 경우 초기 속도가 지점에 도달할 만큼 크지 않습니다.x,y) 선택했습니다.이 공식을 사용하면 $y=0$ = $y=0$ ${\displaystyle$ y = $0}$ 의 제한 없이 필요한 발사 각도를 찾을 수 있습니다 $y=0$

어떤 발사 각도가 가능한 가장 낮은 발사 속도를 허용하는지에 대해서도 질문할 수 있습니다.이것은 위의 두 해가 같을 때 발생하는데, 이것은 제곱근 부호 아래의 양이 0임을 의미합니다.이것은 $v^{2}$ ${\$ 에 대한 2차 방정식을 풀어야 하며, 우리는 다음을 찾습니다 $v^{2}$

v^{2}/g=y+{\sqrt {y^{2}+x^{2}}}}.

이것은.

\theta =\arctan \left(y/x+{\sqrt {y^{2}/x^{2}+1}}\right).

접선이 $y/x$ 인 각도를 $α$ 로 나타내면,

\tan \theta = {\frac {\sin \alpha +1}{\cos \alpha}}

\tan(\pi /2-\theta )={\frac {\cos \alpha}{\sin \alpha +1}

\cos ^{2}(\pi /2-\theta )={\frac {1}{2}}(\sin \alpha +1)

2\cos ^{2}(\pi /2-\theta )-1=\cos(\pi /2-\alpha )

이는 다음을 암시합니다.

\theta =\pi /2-{\frac {1}{2}}(\pi /2-\alpha).

즉, 발사는 타겟과 제니스(Gravity의 반대쪽 벡터)의 중간 각도에 있어야 합니다.

궤적의 총 경로 길이

발사체에 의해 추적된 포물선 호의 길이L, 발사와 착륙의 높이가 동일하고 공기 저항이 없다는 것을 고려할 때, 다음과 같은 공식이 주어집니다.

L={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\left(2\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \ln{\frac {1+\sin \theta }}\right)={\frac {v_{0}^{2}}{g}\left(\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \tanh ^{-1}(\sin \theta )\right)

여기서 $v_{0}$ $v_{0$ 는 초기 속도이고 θ $\theta$ 는 발사 각도이고 $g$ $g$ 는 중력에 의한 가속도를 양의 값으로 나타냅니다.식은 경계 초기 변위와 최종 변위(즉, 0과 발사체의 수평 범위 사이) 사이의 높이-거리 포물선에 대한 아크 길이 적분을 평가함으로써 얻을 수 있습니다.

=

\right)^{2}}\,\mathrm {d

x

}.

공기저항이 있는 발사체의 궤적

70° 각도로 던진 질량의 궤적:
질질 끌지 않고
스톡스의 힘으로
뉴턴식으로

공기 저항은 (대칭 발사체의 경우) 항상 주변 매질의 운동 방향과 반대 방향을 향하는 힘을 생성하며 절대 속도에 따라 달라지는 크기를 갖습니다. $\mathbf {F_{air}} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}}$ = $\mathbf {F_{air}} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}}$ - $\mathbf {F_{air}} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}}$ ( $\mathbf {F_{air}} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}}$ ) $\mathbf {F_{air}} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}}$ ⋅ $\mathbf {F_{air}} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}}$ $\mathbf {F_{air}$ = - $f$ 마찰력의 속도 의존성은 매우 낮은 속도에서는 선형( $f(v)\propto v$ ( $f(v)\propto v$ ) ∝ v ${\displaystyle f($ v $))\propto v$ 이고, 더 큰 속도에서는 2차( $f(v)\propto v^{2}$ ( $f(v)\propto v^{2}$ ) $f(v)\propto v^{2}$ ∝ v $f(v)\propto v^{2}$ ${\displaystyle f(v)\propto$ v $^{$ 2 $f(v)\propto v^{2}$ 입니다.이러한 거동 사이의 전이는 속도, 물체 크기 및 매질의 운동학적 점도에 따라 결정되는 레이놀즈 수에 의해 결정됩니다.레이놀즈 수가 약 1000 미만인 경우 종속성은 선형이고, 위는 2차적이 됩니다. $0.15\,\mathrm {cm^{2}/s}$ 2 / s $displaystyle 0.15\,\mathrm {cm^{2}/s} }$ 부근의 $0.015\,\mathrm {m^{2}/s}$ 점도를 갖는 공기에서 $0.15\,\mathrm {cm^{2}/s}$ 이것은 일반적으로 발사체의 경우인 속도와 직경의 곱이 약 $0.015\,\mathrm {m^{2}/s}$ $0.015\,\mathrm {m^{2}/s}$ / s ${\$ 이상일 때 드래그 힘이 v에서 2차가 된다는 것을 의미합니다 $0.015\,\mathrm {m^{2}/s}$

$\mathbf {F_{air}} =-k_{\mathrm {Stokes} }\cdot \mathbf {v} \qquad$ 드래그: Fair = $\mathbf {F_{air}} =-k_{\mathrm {Stokes} }\cdot \mathbf {v} \qquad$ - k $\mathbf {F_{air}} =-k_{\mathrm {Stokes} }\cdot \mathbf {v} \qquad$ 가 ⋅ $\mathbf {F_{air}} =-k_{\mathrm {Stokes} }\cdot \mathbf {v} \qquad$ $displaystyle \mathbf {F_{air}}$ =- $k_{\mathrm {Stokes}}\cdot \mathbf {v} \qquad }($ $Re\lesssim 1000$ ≲ $Re\lesssim 1000$ $Re\lesssim 1000$ 의 경우 $Re\lesssim 1000$
뉴턴 드래그: $\mathbf {F_{air}} =-k\,|\mathbf {v} |\cdot \mathbf {v} \qquad$ = - $\mathbf {F_{air}} =-k\,|\mathbf {v} |\cdot \mathbf {v} \qquad$ ⋅ v $displaystyle \mathbf {F_{air}}$ =- $k\, \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} \qquad }$ ( $Re\gtrsim 1000$ ≳ $Re\gtrsim 1000$ $Re\gtrsim 1000$ 의 경우 $Re\gtrsim 1000$

오른쪽 자유 바디 다이어그램은 공기 저항과 중력의 영향을 경험하는 발사체에 대한 것입니다.여기서 공기 저항은 발사체의 속도와 반대 방향으로 가정됩니다. $=$

스톡스 드래그가 있는 발사체의 궤적

$\mathbf {F_{air}} \propto \mathbf {v}$ ∝ v $\mathbf {F_{air}} \propto \mathbf {v}$ {\ $displaystyle \mathbf {F_{air}} \propto \mathbf {v}}$ 인 스톡스 드래그는 $\mathbf {F_{air}} \propto \mathbf {v}$ 공기 중에서 매우 낮은 속도에서만 적용되므로 발사체의 경우에는 일반적인 경우가 아닙니다.그러나 $v$ $v$ 에 $F_{\mathrm {air} }$ 대한 $F_{\mathrm {air} }$ ${\$ 의 선형 의존성은 매우 단순한 미분 운동 방정식을 야기합니다 $v$ .

{\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t}{{\begin{pmatrix}v_{x}\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mu \,v_{x}\-g-\mu \,v_{y}\end{pmatrix}}

두 데카르트 성분이 완전히 독립적이 되어 해결하기 쉬워집니다.^[5]여기서 $v_{0}$ ${\$ $v_{x}$ $v_{y}$ ${\$ $v_{y}$ ${\$ 는 $v_x$ $v_y$ 초기 속도, 즉 방향에 따른 속도를 나타냅니다.x그리고 그 방향을 따라가는 속도.y,각각 다음과 같다.발사체의 질량은 다음과 같이 표시됩니다.m, $\mu :=k/m$ $\mu :=k/m$ := $\mu :=k/m$ / m ${\displaystyle \mu$ := $k$ / m $\mu :=k/m$ $0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}$ $0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}$ $0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}$ θ ≤ $0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}$ $0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}$ $0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}$ 를 고려한 경우만 파생.다시 발사체는 원점(0,0)에서 발사됩니다.

수평 위치 도출

입자의 운동을 나타내는 관계는 x 방향과 y 방향 모두에서 뉴턴의 제2법칙에 의해 유도됩니다. $\Sigma F=-kv_{x}=ma_{x}$ 방향 σ $\Sigma F=-kv_{y}-mg=ma_{y}$ = $\Sigma F=-kv_{x}=ma_{x}$ - k $\Sigma F=-kv_{x}=ma_{x}$ $\Sigma F=-kv_{x}=ma_{x}$ = $\Sigma F=-kv_{x}=ma_{x}$ ${\displaystyle \Sigma$ F=- $kv_{x$ }= $ma_{x}},$ y 방향 σ $\Sigma F=-kv_{y}-mg=ma_{y}$ = $\Sigma F=-kv_{y}-mg=ma_{y}$ - $\Sigma F=-kv_{y}-mg=ma_{y}$ $\Sigma F=-kv_{y}-mg=ma_{y}$ - $\Sigma F=-kv_{y}-mg=ma_{y}$ = $\Sigma F=-kv_{y}-mg=ma_{y}$ {y $} {\displaystyle \Sigma$ F=- $kv_{y}-mg$ = $ma_{y$ }}.

이는 다음을 의미합니다.

$a_{x}=-\mu v_{x}={\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}$ x $a_{x}=-\mu v_{x}={\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}$ - $a_{x}=-\mu v_{x}={\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}$ $a_{x}=-\mu v_{x}={\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}$ = d $a_{x}=-\mu v_{x}={\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}$ $a_{x}=-\mu v_{x}={\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}$ $a_{x}=-\mu v_{x}={\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}$ $a_{x}=-\mu v_{x}={\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}$ ${\displaystyle$ }=-\ $mu$ }={\ $frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d}$ t $}}($ 1),

그리고.

$a_{y}=-\mu v_{y}-g={\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}$ $=$ - $a_{y}=-\mu v_{y}-g={\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}$ $a_{y}=-\mu v_{y}-g={\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}$ - $a_{y}=-\mu v_{y}-g={\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}$ = $a_{y}=-\mu v_{y}-g={\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}$ v $a_{y}=-\mu v_{y}-g={\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}$ $a_{y}=-\mu v_{y}-g={\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}$ ${\displaystyle$ }=-\ $muv_{$ = {\ $frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d}$ t $}}$ (2)

(1)을 푸는 것은 기본 미분 방정식이며, 따라서 다음에 대한 고유한 해로 이어지는 단계입니다.v_x그리고 그 다음엔x열거되지 않습니다.초기 조건 v $v_{x}=v_{x0}$ = $v_{x}=v_{x0}$ $v_{x}=v_{x0}$ 0 ${\displaystyle v_{x$ }= $v_{x0}}($ 여기서)v_x0는 초기 속도의 x 성분이며, $t=0$ = $t=0$ ${\displaystyle t$ = $0}$ 일 경우 $x=0$ = $x=0$ ${\displaystyle$ x= $0}$ 인 것으로 이해됩니다 $t=0$

$v_{x}=v_{x0}e^{-\mu t}$ $v_{x}=v_{x0}e^{-\mu t}$ $=$ $v_{x}=v_{x0}e^{-\mu t}$ $v_{x}=v_{x0}e^{-\mu t}$ $v_{x}=v_{x0}e^{-\mu t}$ $v_{x}=v_{x0}e^{-\mu t}$ - $v_{x}=v_{x0}e^{-\mu t}$ ${\displaystyle$ }= $v_{x0}e^{-\mut}}$ (1a)

x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)

=

x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)

x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)

x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)

μ

x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)

-

x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)

-

x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)

{\displaystyle x

) = {\

frac {v_{x0}}{\mu}}}\left(1-e^{-\mut}\right)}(

1b)

수직 위치 도출

(1)이 동일한 방식으로 많이 해결되는 반면, (2)는 비균질적인 특성 때문에 뚜렷한 관심사입니다.따라서, 우리는 광범위하게 해결할 것입니다 (2).이 경우 초기 조건은 $t=0$ = $t=0$ 0 {\ $displaystyle v_{$ y} = v_{ $y0}$ 이고, $y=0$ = $t=0$ {\ $displaystyle$ t = $0}$ 일 때 $v_{y}=v_{y0}$ = $y=0$ ${\displaystyle$ y = $0}$ 을(를) 사용합니다 $t=0$

${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}=-\mu v_{y}-g$ ${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}=-\mu v_{y}-g$ ${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}=-\mu v_{y}-g$ $=$ - ${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}=-\mu v_{y}-g$ ${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}=-\mu v_{y}-g$ - ${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}=-\mu v_{y}-g$ g ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v_{y$ }} ${\mathrm$ t} = -\ $mu v_{y}-g}$ (2)

${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y}=-g$ ${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y}=-g$ ${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y}=-g$ t ${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y}=-g$ + ${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y}=-g$ ${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y}=-g$ $=$ - ${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y}=-g$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v_{y$ }} ${\mathrm {d} t}$ +\ $u v_{y$ }=- $g}$ (2a)

이 1차 선형 비균질 미분 방정식은 여러 가지 방법으로 해결될 수 있지만, 이 경우 적분 인자 $e^{\int \mu \,\mathrm {d} t}$ ∫ $μt {\displaystyle$ e $^{\int \mu \,\mathrm {d} t}$ 를 통해 해에 접근하는 것이 더 빠릅니다 $e^{\int \mu \,\mathrm {d} t}$

$e^{\mu t}({\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y})=e^{\mu t}(-g)$ $e^{\mu t}({\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y})=e^{\mu t}(-g)$ $e^{\mu t}({\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y})=e^{\mu t}(-g)$ $e^{\mu t}({\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y})=e^{\mu t}(-g)$ $e^{\mu t}({\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y})=e^{\mu t}(-g)$ $e^{\mu t}({\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y})=e^{\mu t}(-g)$ + $e^{\mu t}({\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y})=e^{\mu t}(-g)$ ) $=$ e $e^{\mu t}({\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y})=e^{\mu t}(-g)$ ( - $e^{\mu t}({\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y})=e^{\mu t}(-g)$ g $e^{\mu t}({\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y})=e^{\mu t}(-g)$ ) $e^{\mut}({\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d$ t $}}+\mu$ }= $e^{\mut}(-g)}($ 2c)

$(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }=e^{\mu t}(-g)$ $(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }=e^{\mu t}(-g)$ $(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }=e^{\mu t}(-g)$ $(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }=e^{\mu t}(-g)$ ) $=$ e $(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }=e^{\mu t}(-g)$ ( $(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }=e^{\mu t}(-g)$ - g $(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }=e^{\mu t}(-g)$ ) ${\displaystyle (e^{\mut}v_{y})^{\prim$ } = $e^{\mut}(-g)}$ (2d)

$\int {(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }\,\mathrm {d} t}=e^{\mu t}v_{y}=\int {e^{\mu t}(-g)\,\mathrm {d} t}$ $\int {(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }\,\mathrm {d} t}=e^{\mu t}v_{y}=\int {e^{\mu t}(-g)\,\mathrm {d} t}$ $\int {(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }\,\mathrm {d} t}=e^{\mu t}v_{y}=\int {e^{\mu t}(-g)\,\mathrm {d} t}$ $\int {(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }\,\mathrm {d} t}=e^{\mu t}v_{y}=\int {e^{\mu t}(-g)\,\mathrm {d} t}$ ) $\int {(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }\,\mathrm {d} t}=e^{\mu t}v_{y}=\int {e^{\mu t}(-g)\,\mathrm {d} t}$ $\int {(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }\,\mathrm {d} t}=e^{\mu t}v_{y}=\int {e^{\mu t}(-g)\,\mathrm {d} t}$ $\int {(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }\,\mathrm {d} t}=e^{\mu t}v_{y}=\int {e^{\mu t}(-g)\,\mathrm {d} t}$ = $\int {(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }\,\mathrm {d} t}=e^{\mu t}v_{y}=\int {e^{\mu t}(-g)\,\mathrm {d} t}$ e $\int {(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }\,\mathrm {d} t}=e^{\mu t}v_{y}=\int {e^{\mu t}(-g)\,\mathrm {d} t}$ ( - $\int {(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }\,\mathrm {d} t}=e^{\mu t}v_{y}=\int {e^{\mu t}(-g)\,\mathrm {d} t}$ ${\displaystyle$ \int ${(e^{\mut}v_{y})^{\prime }\,\mathrm$ { $\int {(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }\,\mathrm {d} t}=e^{\mu t}v_{y}=\int {e^{\mu t}(-g)\,\mathrm {d} t}$ } $t=e^{\mut}v$ }=\ $int {e^{\mut}(-g)\,\mathrm {d} t}($ 2e)

$e^{\mu t}v_{y}={\frac {1}{\mu }}e^{\mu t}(-g)+C$ $e^{\mu t}v_{y}={\frac {1}{\mu }}e^{\mu t}(-g)+C$ $=$ 1 $e^{\mu t}v_{y}={\frac {1}{\mu }}e^{\mu t}(-g)+C$ $e^{\mu t}v_{y}={\frac {1}{\mu }}e^{\mu t}(-g)+C$ $e^{\mu t}v_{y}={\frac {1}{\mu }}e^{\mu t}(-g)+C$ ( $e^{\mu t}v_{y}={\frac {1}{\mu }}e^{\mu t}(-g)+C$ - g $e^{\mu t}v_{y}={\frac {1}{\mu }}e^{\mu t}(-g)+C$ ) $e^{\mu t}v_{y}={\frac {1}{\mu }}e^{\mu t}(-g)+C$ + $e^{\mu t}v_{y}={\frac {1}{\mu }}e^{\mu t}(-g)+C$ $e^{\mut$ }={\ $frac {1}{\mu }}e^{\mut}(-g)+C$ 2f)

$v_{y}={\frac {-g}{\mu }}+Ce^{-\mu t}$ $=$ - $v_{y}={\frac {-g}{\mu }}+Ce^{-\mu t}$ $v_{y}={\frac {-g}{\mu }}+Ce^{-\mu t}$ + $v_{y}={\frac {-g}{\mu }}+Ce^{-\mu t}$ - $v_{y}={\frac {-g}{\mu }}+Ce^{-\mu t}$ ${\displaystyle$ }={\ $frac {-g}{\mu}}+Ce^{-\mut}}($ 2g)

통합을 통해 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

$y=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+C$ $=$ - $y=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+C$ $y=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+C$ - $y=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+C$ μ $y=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+C$ $y=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+C$ + $y=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+C$ $y=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+C$ e $y=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+C$ - $y=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+C$ + C ${\displaysty$ y=-{\ $frac {g}{\mu}}}t-{\frac {1}{\mu}}}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu}})e^{-\mut}+C}($ 3)

초기 조건에 대한 해결:

$v_{y}(t)=-{\frac {g}{\mu }}+(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}$ ( $v_{y}(t)=-{\frac {g}{\mu }}+(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}$ $=$ - $v_{y}(t)=-{\frac {g}{\mu }}+(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}$ $v_{y}(t)=-{\frac {g}{\mu }}+(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}$ + $v_{y}(t)=-{\frac {g}{\mu }}+(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}$ ( $v_{y}(t)=-{\frac {g}{\mu }}+(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}$ $v_{y}(t)=-{\frac {g}{\mu }}+(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}$ + g $v_{y}(t)=-{\frac {g}{\mu }}+(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}$ ) $v_{y}(t)=-{\frac {g}{\mu }}+(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}$ - $v_{y}(t)=-{\frac {g}{\mu }}+(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}$ ${\displaystyle v_{$ )=-{\ $frac$ { $g}{\mu}}}+(v_{y0}+{\frac {g}{\mu}})e^{-\mut}}($ 2h)

$y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ ( $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ ) $=$ - $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ - $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ ( $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ 0 $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ + $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ ) e $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ - $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ + 1 $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ ( $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ + $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ ) ${\displaystyle$ )=-{\ $frac$ { $g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu })e^{-\mu }(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}($ 3a)

단순화를 위한 약간의 대수로 (3a):

y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)

(

y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)

)

=

- g

y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)

y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)

+

y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)

1

y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)

y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)

y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)

+

y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)

μ

y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)

)

y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)

-

y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)

-

y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)

t

y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)

)

{\displaystyle y

) = - {\

frac {g}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\left(1-e^{-\mu }\right)}(

3b)

비행시간의 유도

공기 저항이 있는 상태에서(구체적으로 $F_{air}=-kv$ = $F_{air}=-kv$ - $F_{air}=-kv$ ${\displaystyle F_{air$ }=- $kv}$ 일 때 $F_{air}=-kv$ 이동의 총 시간은 위와 같은 전략에 의해 계산될 수 있습니다. 즉, $y(t)=0$ y $y(t)=0$ ( $y(t)=0$ = $y(t)=0$ {\ $displaystyle$ y $(t$ ) = $0}$ 을(를) 해결합니다 $y(t)=0$ 공기 저항이 0인 경우에는 이 식을 기본적으로 해결할 수 있지만,여기서 우리는 램버트 W 함수가 필요할 것입니다.식 $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ ( $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ ) $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ = $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ - g $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ + $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ 1 $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ ( $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ 0 $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ + $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ ) $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ ( 1 $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ - e $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ - $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ t $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ ) = $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ ${\displaystyle y(t$ ) = - {\ $frac {g}{\mu }}}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu })($ $c_{1}t+c_{2}+c_{3}e^{c_{4}t}=0$ $^{-\$ $c_{1}t+c_{2}+c_{3}e^{c_{4}t}=0$ t})= $c_{1}t+c_{2}+c_{3}e^{c_{4}t}=0$ $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ ${\displaystyle c_{1}t+c_{2}+c_{3$ }) $}e^{c_{4}t}=0}$ 이며 $c_{1}t+c_{2}+c_{3}e^{c_{4}t}=0$ 이러한 방정식은 W ${\displaystyle$ W $}$ $W$ 에 의해 풀 수 있는 방정식으로 변환될 수 있습니다(여기서는 이러한 변환의 예를 참조하십시오).어떤 대수학은, 닫힌 형태로, 비행의 총 시간이^[6] 다음과 같이 주어진다는 것을 보여줍니다.

t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)

=

1

t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)

(

t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)

+

t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)

v

t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)

+

t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)

( -

t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)

(

t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)

+

t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)

t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)

t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)

) e -

t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)

( 1

t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)

+

t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)

t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)

0

t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)

)

t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)

)

{\displaysty

t={\

frac

{1

}{\mu }}\left

}{

g}v_{y0}+W(-\left(1+{\frac {\mu }{g}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g_{y0}\right)\right

)}{\right

)}.

뉴턴 항력을 가진 발사체의 궤적

공기 저항의 가장 전형적인 경우는 속도 제곱에 비례하는 항력을 갖는 뉴톤 항력이며, $F_{\mathrm {air} }=-kv^{2}$ = - k v 2 $F_{\mathrm {air}$ = - $F_{\mathrm {air} }=-kv^{2}$ kv $^{2$ 운동학적 점도가 $0.15\,\mathrm {cm^{2}/s}$ $2$ / s {\ $displaystyle$ 0. $15\,\mathrm$ {cm $2}/s} }$ 인 공기에서 $0.15\,\mathrm {cm^{2}/s}$ 이것은 pr을 의미합니다.속도 및 직경의 덕트는 약 $0.015\,\mathrm {m^{2}/s}$ ${\$ 보다 커야 합니다 $0.015\,\mathrm {m^{2}/s}$

안타깝게도 이 경우 운동 방정식은 해석적으로 쉽게 풀 수 없습니다.따라서 수치적인 해를 검토할 것입니다.

다음과 같은 가정이 있습니다.

일정한 중력 가속도
공기 저항은 다음과 같은 항력 공식으로 주어집니다.

\mathbf {F_{D}} =-{\tfrac {1}{2}}c\rho A\,v\,\mathbf {v}

위치:

F는_D 항력입니다.
c는 항력 계수입니다.
ρ는 공기 밀도입니다.
A는 발사체의 단면적입니다.
μ = k/m = c ρA/(2m)

특수한 경우

뉴턴 항력을 가진 발사체의 일반적인 경우는 해석적으로 해결할 수 없지만 일부 특수한 경우는 해결할 수 있습니다.여기서 우리는 자유낙하의 터미널 속도를 $v_{\infty }={\sqrt {g/\mu }}$ ∞ = $v_{\infty }={\sqrt {g/\mu }}$ / μ ${\displaystyle v_{\infty$ } = {\ $sqrt {g/\mu}}$ 로 나타내고 특성 정착 시간 상수 $t_{f}=1/{\sqrt {g\mu }}$ f = $t_{f}=1/{\sqrt {g\mu }}$ / $t_{f}=1/{\sqrt {g\mu }}$ $t_{f}=1/{\sqrt {g\mu }}$ ${\displaystyle t_{f$ } = 1 / ${\sqrt {g\mu}}$ 로 나타냅니다 $t_{f}=1/{\sqrt {g\mu }}$

근수평 운동:날아다니는 총알과 $|v_{x}|\gg |v_{y}|$ 같이 $|v_{x}|\gg |v_{y}|$ 이 거의 수평 v $|v_{x}|\gg |v_{y}|$ ≫ $displaystyle v_{x}$ \ $gg v_{y}}$ 인 경우 수직 속도 성분은 수평 움직임에 거의 영향을 미치지 않습니다.이 경우:^[7]

{\dot {v}}_{x}(t)=-\mu \,v_{x}^{2}(t)

v_{x}(t)={\frac {1}{1/v_{x,0}+\mu \,t}

x(t)={\frac {1}{\mu}}}\ln(1+\mu \,v_{x,0}\cdot t)

중력이 무시할 수 있을 때, 동일한 패턴이 어떤 방향으로든 선을 따라 마찰력이 있는 움직임에 적용됩니다.엔진이 꺼진 상태에서 움직이는 자동차와 같이 수직 운동이 방지되는 경우에도 적용됩니다.

위쪽으로 수직 이동:^[7]

{\dot {v}}_{y}(t)=-g-\mu \,v_{y}^{2}(t)

v_{y}(t)=v_{\infty}}\tan {\frac {t_{\mathrm {peak}}-t}{t_{f}}

y(t)=y_{\mathrm {peak}}+{\frac {1}{\mu}}\ln \left(\cos {\frac {t_{\mathrm {peak}}-t}{t_{f}}\right)

여기서

v_{\infty}}\equiv {\sqrt {\frac {g}{\mu}}},

t_{f}\equiv {\frac {1}{\sqrt {\mug}}},

t_{\mathrm {peak}}\quiv_{f}\arctan {\frac {v_{y,0}}{v_{\infty}}={\frac {1}{\sqrt {\mug}}\arctan {\left ({\sqrt {\frac {\mu}}v_{y,0}\right}

그리고.

y_{\mathrm {peak}}\equiv -{\frac {1}{\mu}}}\ln{\cos {\fac {t_{f}}}}={\frac {1}{2\mu}}}\ln{\left(1+{\frac {\mu}{g}}v_{y,0}^{2}\right)}

v_{y,0}

서

v_{y,0}

,

v_{y,0}

v_{y,0

는

t=0

=

t=0

{\displaystyle

t=

0}

에서의 초기 상승 속도이고, 초기

y(0)=0

는 y

y(0)=0

(

y(0)=0

=

y(0)=0

{\

displaystyle

y

(0

) = 0

}

입니다

y(0)=0

발사체는

t_{\mathrm {rise} }={\frac {\pi }{2}}t_{f}

에 도달하기

t_{\mathrm {rise} }={\frac {\pi }{2}}t_{f}

에 = π

t_{\mathrm {rise} }={\frac {\pi }{2}}t_{f}

t_{\mathrm {rise

= {\

frac {\pi}{2}}t_{f}

만큼

t_{\mathrm {rise} }={\frac {\pi }{2}}t_{f}

으로 상승할 수 없습니다.

아래로 수직 이동:^[7]

{\dot {v}}_{y}(t)=-g+\mu \,v_{y}^{2}(t)

v_{y}(t)=-v_{\infty}}\tanh {\frac {t-t_{\mathrm {peak}}}{t_{f}}

y(t)=y_{\mathrm {peak}}-{\frac {1}{\mu}}}\ln \left(\cosh {\frac {t-t_{\mathrm {peak}}}}{t_{f}}\right)

t_{f}

시간이

t_{f}

발사체는

-v_{\infty }

종단 속도 - v

-v_{\infty }

∞

-v_{\infty}

에 도달합니다

-v_{\infty }

수치해

항력이 있는 발사체 움직임은 1차 시스템에 감소를 적용하는 등의 일반적인 미분 방정식의 수치 적분에 의해 일반적으로 계산될 수 있습니다.해결해야 할 방정식은

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

d

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

(

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

y

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

)

=

(

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

-

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

v

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

2 +

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

-

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

g -

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

v v

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

+

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

) {\

displaystyle

{\

frac

{\

mathrm {d}}{\mathrm

{

d}

t}{{\matrix} x

\y\v_{x}\v_{y}\end{pm

{\

begin{pmatrix

또한 이 방법을 통해 속도 의존적 항력 계수, 고도 의존적 공기 밀도 및 위치 의존적 중력장의 효과를 추가할 수 있습니다.

로프트 궤도

로켓의 탄도 궤적의 특별한 경우는 로프트 궤적으로, 동일한 범위의 최소 에너지 궤적보다 큰 아포지(apogeo).다시 말해서, 로켓은 더 높이 이동하고 그렇게 함으로써 같은 착륙 지점에 도달하기 위해 더 많은 에너지를 사용합니다.이것은 시야/통신 범위를 확대하기 위해 지평선까지의 거리를 늘리거나 미사일이 착륙할 때 충돌하는 각도를 변경하는 등의 다양한 이유로 수행될 수 있습니다.로프트 궤도는 때때로 미사일 로켓과 우주 비행 둘 다에 사용됩니다.^[8]

행성 규모의 발사체 운동

공기저항이 없는 발사체가 지구의 반지름(이상 ≈100km)에 비해 큰 범위를 이동할 때 지구의 곡률과 불균일한 지구의 중력을 고려해야 합니다.예를 들어 우주선이나 대륙간 발사체의 경우가 이에 해당합니다.그런 다음 궤도는 포물선에서 케플러 타원으로 일반화되어 지구의 중심에 초점이 하나 있습니다.그 다음 발사체 운동은 케플러의 행성 운동 법칙을 따릅니다.

궤적의 매개변수는 위에 기술된 균일한 중력장의 값을 사용해야 합니다.지구 반지름은 다음과 같습니다.R,그리고.g표준 표면 중력으로서. ${\tilde {v}}:=v/{\sqrt {Rg}}$ ~ := ${\tilde {v}}:=v/{\sqrt {Rg}}$ / ${\tilde {v}}:=v/{\sqrt {Rg}}$ ${\displaystyle {\tilde {$ v}}:= $v/{\sqrt {Rg}}$ 를 첫 번째 우주 속도에 상대적으로 발사 속도로 설정합니다.

총범위d발사와 충격 사이:

d={\frac {v^{2}\sin(2\theta)}{g}}{\big /}{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}^{2}\cos ^{2}\theta}}

최적 발사 각도를 위한 발사체의 최대 범위 ( θ $\theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)$ = $\theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)$ $\theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)$ ⁡ $\theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)$ ( $\theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)$ ~ 2 $\theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)$ / $\theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)$ ( $\theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)$ - $\theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)$ ~ $\theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)$ ) $\theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)$ ) ${\displaystyle \theta$ = {\ $tfrac {1}{2}}\arccos \left$ ({\ $tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v})^{2}\right)}:$

d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

v<{\sqrt {Rg}}

d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

v<{\sqrt {Rg}}

d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

=

v

d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

/

d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

-

d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

v

d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

~

d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

)

{\

displaystyle

d_{\

mathrm {m

d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

x

}}

= {\

frac {v^{2}}{g}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)},

v<{\sqrt {Rg}}

첫 번째 우주 속도입니다

.

행성 표면 위로 발사체의 최대 높이:

h={\frac {v^{2}\sin ^{2}\theta}{g}}{\Big /}\left(1-{\tilde {v}}^{2}+{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}^{2}\cos ^{2}\theta }\right)

수직 발사를 위한 발사체의 최대 높이 ( θ $\theta =90^{\circ }$ = $\theta =90^{\circ }$ ∘ ${\displaystyle \theta$ = $90^{\circ }):$

h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

v<{\sqrt {2Rg}}

h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

=

h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

v<{\sqrt {2Rg}}

/

h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

(

h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

2

h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

v ~

h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

2

h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

) {\

displaystyle

h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

h_{\

mathrm

{

m

=

{\

frac

{

v

^{2}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{

2}\

right)},

두 번째

v<{\sqrt {2Rg}}

우주 속도.

비행시간:

t={\frac {2v\sin \theta}{g}}\cdot {\frac {1}{2-{\tilde {v}}^{2}}\left(1+{\frac {1}{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}\,{\tilde {v}^{2}}\arcsin {\frac {2-{\tilde {v}},{\tilde {v}}\sin \theta}{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}^{2}\cos ^{2}\theta}}\right)

참고 항목

메모들

^ g는 중력에 의한 가속도입니다. ( $9.81\,\mathrm {m/s^{2}}$ $9.81\,\mathrm {m/s^{2}}$ $9.81\,\mathrm {m/s^{2}}$ ${\$ 지구 표면 근처 $9.81\,\mathrm {m/s^{2}}$ ).
^ 물체가 위로 올라갈 때 감소하고 아래로 내려갈 때 증가하는 것
^ $2\cdot \sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )=\sin(2\alpha )$

참고문헌

^ 갈릴레오 갈릴레이, 투 뉴 사이언스, 레이던, 1638, p.249
^ 놀트, 데이비드 D., 갈릴레오 언바운드 (옥스퍼드 대학 출판부, 2018) pp. 39-63
^ Tatum (2019). Classical Mechanics (PDF). pp. ch. 7.
^ Stephen T. Thornton; Jerry B. Marion (2007). Classical Dynamics of Particles and Systems. Brooks/Cole. p. 59. ISBN 978-0-495-55610-7.
^ Atam P. Arya; Atam Parkash Arya (September 1997). Introduction to Classical Mechanics. Prentice Hall Internat. p. 227. ISBN 978-0-13-906686-3.
^ Rginald Cristian, Bernardo; Jose Perico, Esguerra; Jazmine Day, Vallejos; Jeff Jerard, Canda (2015). "Wind-influenced projectile motion". European Journal of Physics. 36 (2): 025016. Bibcode:2015EJPh...36b5016B. doi:10.1088/0143-0807/36/2/025016. S2CID 119601402.
^ ^a ^b ^c Walter Greiner (2004). Classical Mechanics: Point Particles and Relativity. Springer Science & Business Media. p. 181. ISBN 0-387-95586-0.
^ 탄도 미사일 방어, 용어집, v. 3.0, 미국 국방부, 1997년 6월

[3] g는 중력에 의한 가속도입니다. ( $9.81\,\mathrm {m/s^{2}}$ $9.81\,\mathrm {m/s^{2}}$ $9.81\,\mathrm {m/s^{2}}$ ${\$ 지구 표면 근처 $9.81\,\mathrm {m/s^{2}}$ ).

[4] 물체가 위로 올라갈 때 감소하고 아래로 내려갈 때 증가하는 것

[5] $2\cdot \sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )=\sin(2\alpha )$

[1] 갈릴레오 갈릴레이, 투 뉴 사이언스, 레이던, 1638, p.249

[2] 놀트, 데이비드 D., 갈릴레오 언바운드 (옥스퍼드 대학 출판부, 2018) pp. 39-63

[6] Tatum (2019). Classical Mechanics (PDF). pp. ch. 7.

[ThorntonMarion2007-7] Stephen T. Thornton; Jerry B. Marion (2007). Classical Dynamics of Particles and Systems. Brooks/Cole. p. 59. ISBN 978-0-495-55610-7.

[AryaArya1997-8] Atam P. Arya; Atam Parkash Arya (September 1997). Introduction to Classical Mechanics. Prentice Hall Internat. p. 227. ISBN 978-0-13-906686-3.

[Bernardo-9] Rginald Cristian, Bernardo; Jose Perico, Esguerra; Jazmine Day, Vallejos; Jeff Jerard, Canda (2015). "Wind-influenced projectile motion". European Journal of Physics. 36 (2): 025016. Bibcode:2015EJPh...36b5016B. doi:10.1088/0143-0807/36/2/025016. S2CID 119601402.

[Greiner2003-10] Walter Greiner (2004). Classical Mechanics: Point Particles and Relativity. Springer Science & Business Media. p. 181. ISBN 0-387-95586-0.

[11] 탄도 미사일 방어, 용어집, v. 3.0, 미국 국방부, 1997년 6월

[1]

[2]

[note 1]

[note 2]

[note 3]

[3]

[5]

[6]

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