QR 분해

선형대수학에서 QR분해는 QR인수분해 또는 QU인수분해라고도 하며 행렬 A를 직교행렬 Q의 곱 A = QR로 분해하는 것으로, 상부 삼각행렬 R의 분해는 종종 선형 최소제곱 문제를 풀기 위해 사용되며, 특정 고유값 알고리즘인 QR의 기초가 된다.썸

케이스와 정의

정사각형 행렬

임의의 실제 제곱행렬 A는 다음과 같이 분해될 수 있다.

${\displaystyle A=QR,}$

여기서 Q는 직교 행렬(열은 ${\displaystyle Q^{}}$ T $=$ -$1$을 $의미$하는 직교 단위 벡터$(\style$ Q$^{\$textsf {T}}=$Q^{-1$이고 R은 상부 삼각 행렬(오른쪽 삼각 행렬이라고도 함)입니다.A가 가역인 경우 R의 대각 원소가 양수여야 하는 경우에는 인수 분해가 고유합니다.

A가 복소수 정사각형 행렬인 경우, 분해 A ${\displaystyle {}^{}}$ QR이 존재하며, 여기서 Q는 단일 행렬이다($따라서{\displaystyle {}^{}}$ Q$=$ Q -$$ { $displaystyle$ Q^{*} = $Q^{-1$}).$$

A에 n개의 선형 독립 열이 있는 경우 Q의 처음 n개의 열은 A의 열 공간에 대한 정규 기저를 형성합니다.보다 일반적으로 Q의 첫 번째 k개 열은 임의의 1µk µn에 ^[1]대해 A의 첫 번째 k개 열의 범위에 대한 직교기저를 형성한다.A의 모든 열 k가 Q의 첫 번째 k개 열에만 의존한다는 사실은 ^[1]R의 삼각형 형태에 책임이 있습니다.

직사각형 행렬

보다 일반적으로 m×m 단위행렬 Q와 m×n 상부 삼각행렬 R의 곱으로서 m ≤ n의 복소수 m×n 행렬 A를 인수분해할 수 있다.m×n 상위 삼각행렬의 하단(m-n) 행은 모두 0으로 구성되므로 R 또는 R과 Q를 분할하는 것이 종종 유용합니다.

$({displaystyle A=QR=QR{\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}=bgin{bmatrix}Q_{1}&Q_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}})R_{1}R_0\end{0}R}{0}{\\bmatrix}}}}{0}}}}}$

여기서₁ R은 n×n 상부 삼각행렬, 0은 (m - n)×n 영행렬, Q는₁ m×n₂, Q는 m×(m - n), Q는₁₂ 모두 직교열을 가진다.

Golub & Van Loan(1996년, § 5.2)은 QR을 A의 얇은 QR 인수분해라고 부르고₁₁, Trefeten과 Bau는 이를 환원 QR ^[1]인수분해라고 부른다.A가 풀 랭크n이고 R의₁ 대각 요소가 양수여야 하는 경우₁ R과 Q는 고유하지만₁ 일반적으로 Q는₂ 고유하지 않습니다.그러면₁ R은 A*A의 콜레스키 분해의 상위 삼각 인자와 같다(A가 실재하는 경우 = AA^T).

QL, RQ 및 LQ 분해

마찬가지로 QL, RQ 및 LQ 분해를 정의할 수 있으며 L은 하위 삼각행렬입니다.

QR 분해 계산

QR 분해를 실제로 계산하는 방법에는 그램-슈미트 프로세스, 세대 변환 또는 기븐스 회전과 같은 몇 가지 방법이 있다.각각은 많은 장점과 단점을 가지고 있다.

그램-슈미트 프로세스 사용

;\cdots &, 내적 ⟨ v와 \mathbf{를}_{n}\end{bmatrix}}},, 아니 ⟩)대 Tw{w}\rangl ,\mathbf{\displaystyle\langle \mathbf{v}은 Gram–Schmidt 과정 전체 기둥 계급 기질의 A=[1을 n⋯]{\displaystyle A={\begin{bmatrix}\mathbf{를}_{1}&amp가 기둥에 적용된다.e=\math$bf {v}^{\mathbf {T}}\mathbf${${\displaystyle {}^{}\mathbf{}}$$}($복잡한 경우${\displaystyle }⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle v\mathbf{}}$, w$$ $displaystyle$\displaystyle $\mathbf {v},$ \$mathbf {w}$ \$rangle =$ \$mathbf {v$$} ^{*})$

투영을 정의합니다.

${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {u}\mathbf {a},\mathbf {a} \right\rangle }{\left\mathbf {u},\mathbf {u} =mathbf {u} {u}$

그 후, 다음과 같이 합니다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{u}_{1}&,=\mathbf{를}_{1},&,\mathbf{e}_{1}&, ={\frac{\mathbf{너}_{1}}{)\mathbf{너}_{1}\}}\\\mathbf{u}_{2}&, =\mathbf{를}_{2}-\operatorname{proj}_{\mathbf{너}_{1}}\mathbf{를}_{2},&,\mathbf{e}_{2}&, ={\frac{\mathbf{너}_{2}}{)\mathbf{너}_{2}\}}\\\mathbf{u}_{3}&, =\mathbf. {를}_{3}-\operatorname{proj}_{\mathbf{너}}\mathbf _{3}-\operatorname{proj}_{\mathbf{너}_{2}{를}}{를}_{3},& \mathbf,\mathbf{e}_{3}&, ={\frac{\mathbf{너}_{3}}{)\mathbf{너}_{3}\}}\\&.\와 같이^;\vdots &,&\와 같이^;\vdots{u}_{k}& \\\mathbf, =\mathbf}_{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\operatorname{proj}_{\mathbf{너}_{j}{를}\mathbf{를}_{k},&,\mathbf{e}_{k}&, _{1}.={\frac{\mathbf{너}_{k}}{\ma\.thbf {u} _{k}\}}\end{aligned}}$

이제 새로 계산된 직교 기준에서 i$\$를 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{를}_{1}&, =\left\langle \mathbf{e}_{1},\mathbf{를}_{1}\right\rangle \mathbf{e}_{1}\\\mathbf{를}_{2}&, =\left\langle \mathbf{e}_{1},\mathbf{를}_{2}\right\rangle \mathbf{e}_{1}+\left\langle \mathbf{e}_{2},\mathbf{를}_{2}\right\rangle \mathbf{e}_{2}\\\mathbf{를}_{3}&,=\left\langle \mathbf.{e}_{1},\mathbf {a} _{3}\right\rangle \mathbf {e} _{1}+\left\mathbf {e},\mathbf {a} _{3} \right\right\rangle \mathbf {e} _{2}+\left\right\mathbf {e} _3} _right}$

여기서${\displaystyle e{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$i , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle ={}_{}}$ ${\$ \ $displaystyle \ left$ \ $mathbf${ $e } _$ { $i$} , \ $mathbf${ $a } _$ { $i$} \ right \$rangle$= \ $left \ mathbf { u$ }$_$ { $i$} \ right \ $。$이거는 매트릭스 형식으로 작성할 수 있습니다.

${\displaystyle A=QR}$

여기서:

${\displaystyle Q=bgin{bmatrix}\mathbf {e}_{1}&\cdots&\mathbf {e}_{n}\end{bmatrix}}}$

그리고.

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\langle \mathbf, \langle \mathbf{e}_{1},\mathbf{를}_{2}\rangle&\langle \mathbf{e}_{1},\mathbf{를}_{3}\rangle&\cdots &, \langle \mathbf{e}_{1},\mathbf{를}_{n}\rangle \\0&, \langle \mathbf{e}_{2},\mathbf{를}_{2}\rangle&\mathbf{e}_{2},\mathbf \langle _{1},\mathbf{를}_{1}\rangle 및{e}.{를}_{3}\rangle&\cdots&\cdots \mathbf {e} _{2},\mathbf {a} _{n} \rangle \0&\mathbf {e} _{3} \cdots &\cdots \mathbf {e} _{3} \cdlangle \mathbf {a} \ngle \rangle \\rangle \\rangle \\c}}$

예

의 분해를 고려하다

$({displaystyle A=bgin{bmatrix}12&-51&4\6&-167&68\-44&-41\end{bmatrix})}$

직교 정규 $행렬{\displaystyle }$Q({$displaystyle$Q})는 Q T ${\displaystyle Q^{}}$ $=$ ${\displaystyle I}$({$displaystyle$Q^{\$textsf {T}}Q=$I$\})$의 특성을 가집니다.

다음으로 Q$(\displaystyle$ Q$)$를 Gram-Schmidt에 의해 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$디스플레이 스타일U=capbegin{bmatrix}\mathbf {u}_{1}&\mathbf {u}_{2}&\mathbf {u}_{3}\end{bmatrix}_=capbegin{bmatrix}12&-69&58/5\6/5\capb&6/5\capb}\capbatrix{u}_{u}{u}_capbmathbmatrix}_cap}_cap}_capbmatrix}Q=genbgin{bmatrix}{\frac {mathbf {u}_{1}\}}&{\frac {mathbf {u}_{2} {}}&{\frac {mathbf {u}_{3}\f}\end { aligned}}$

이렇게 해서

$디스플레이 스타일Q^{\textsf {T}}A&=Q^{\textsf {T}Q,R=R;\R&=Q^{\textsf {T}}A={begin{bmatrix}14&21&-14\0&175&-70\0&35\end{bmatrix}}}.\end { aligned}}$

RQ 분해와의 관계

RQ 분해는 행렬 A를 상부 삼각 행렬 R(우삼각형이라고도 함)과 직교 행렬 Q의 곱으로 변환합니다.QR 분해와 유일한 차이점은 이러한 행렬의 순서입니다.

QR 분해는 첫 번째 열부터 시작된 A 열의 그램-슈미트 직교화이다.

RQ 분해는 마지막 행에서 시작된 A 행의 그램-슈미트 직교화이다.

장점과 단점

그램-슈미트 과정은 본질적으로 수치적으로 불안정하다.투영의 적용은 직교화에 대한 매력적인 기하학적 유추이지만, 직교화 자체는 수치 오류가 발생하기 쉽다.그러나 구현의 용이성이 중요한 장점입니다. 따라서 사전 구축된 선형 대수 라이브러리를 사용할 수 없는 경우 프로토타이핑에 이 알고리즘을 사용하는 데 유용한 알고리즘이 됩니다.

세대주 리플렉션 사용

세대주 반사(또는 세대주 변환)는 벡터를 취하여 일부 평면 또는 초평면에 대해 반영하는 변환이다.이 연산을 사용하여 m µn을 갖는 $m-by-n$ $A$의 QR 인수분해를 계산할 수 있습니다.

Q는 하나의 좌표를 제외한 모든 좌표가 사라지도록 벡터를 반영하기 위해 사용할 수 있습니다.

x$(\$를 스칼라 α에 대해${\displaystyle \theta \mathbf{}}$ x${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle =}$α(\$displaystyle \mathbf {x}$ \ = \$alpha })$가 되도록$$A(\$displaystyle$A)의 임의의 실제 m차원 열 벡터라고 $하자{\displaystyle \mathbf{}}$.알고리즘이 부동소수점 연산을 사용하여 구현되는 경우 유의성 손실을 방지하기 위해 $α는$x의 k번째 좌표로서 $반대{\displaystyle \mathbf{}}$ 부호를 얻을 수 있습니다.${\displaystyle {여기}_{}}$서$$x k$(\$$displaystyle x_{$k$$$\})$는 피벗 좌표이며, 그 후 모든 엔트리가 0이 됩니다.복잡한^[2] 경우에는,

$\displaystyle \alpha =-e^{i\display x_{k}}\\mathbf {x} \ }$

그리고 아래 Q의 구성에서는 켤레 전이로 치환한다.

여기서 $e{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle \mathbf {e} _{1$}은$$ 벡터 [1 0 ÷ 0]^T이고, ·는 유클리드 $노름$이고$,$ I {\$displaystyle$I}는$$ m×m 아이덴티티 매트릭스입니다.

${\displaystyle {mathbf {u} &=\mathbf {x} -\alpha \mathbf {e} _{1},\\mathbf {u},\Q&=I-2\mathbf {v} \mathbf {v} \mathbf {e}\end { aligned}}$

또는 A$(\displaystyle$ A$)$가 복잡한 $경우{\displaystyle }$

${\displaystyle Q=I-2\mathbf {v} \mathbf {v} ^{*}.}$

$(\displaystyle$ Q$)$는 대칭 및 직교(복잡한 경우 은둔 및 유니터리)인 m-by-m 세대 행렬이다.

${\displaystyle Q\mathbf {x} = display{bmatrix}\alpha \\0\vdots \\0\end{bmatrix}}.}$

이를 사용하여 m-by-n 행렬 A를 삼각 상단으로 점진적으로 변환할 수 있습니다.첫째, x에 대한 첫 번째 행렬 열을 선택할 때 얻은 Householder 행렬₁ Q에 A를 곱한다.그러면 왼쪽 열에 0이 있는 행렬₁ QA가 생성됩니다(첫 번째 행 제외).

${\displaystyle Q_{1}}A=bgin{bmatrix}\alpha _{1}&\star &\cdots &\star \\0&\vdots &A'&\0&\end {bmatrix}$

이것은 A'에 대해 반복할 수 있으며(첫 번째 행과 첫 번째 열을 삭제하여 QA에서 취득₁), 결과적으로 Householder 매트릭스 Q'₂가 됩니다.Q'₂는 Q'보다₁ 작다는 점에 주의해 주십시오.실제로는 A'가 아닌 QA로₁ 동작하고 싶기 때문에 왼쪽 상단으로 확장하여 1 또는 일반적으로 다음과 같이 입력합니다.

${\displaystyle Q_{k}={bmatrix}I_{k-1}&0\\0&Q_{k}'\end {bmatrix}.}$

이 프로세스를 t$${\$displaystyle$ t$}$회$$ $반복$하면 $t{\displaystyle }$ $=$ ${\displaystyle min}$ ${\displaystyle (m}$ - ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle n}$ ) ${{displaystyle$ t=\$min$( $m-1$, n )$\},$

${\displaystyle R=Q_{t}\cdots Q_{2}Q_{1}A}$

는 상부 삼각행렬입니다.그래서...

$디스플레이 스타일Q^{\textsf {T}}&=Q_{t}\cdots Q_{1},\Q&=Q_{1}^{\textsf {T}{\textsf {T}}{\cdots Q_{t}{\textsf {T}}\Q_{1}},\=$

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{QR}}${$displaystyle$ A$=QR}$은 A$${$displaystyle$ A$\}$의 $QR{\displaystyle }$ 분해입니다.

이 방법은 위의 Gram-Schmidt 방법보다 수치 안정성이 높다.

다음 표는 크기가 n인 정사각형 행렬을 가정할 때 세대 변환에 의한 QR 분해의 k번째 단계의 연산 횟수를 나타낸다.

작동	k번째 단계의 작업 수
곱셈	${\displaystyle 2(n-k+1)^2}}$
추가 정보	${\displaystyle (n-k+1)^{2}+(n-k+1)+2}$
나누기	${\displaystyle 1}$
제곱근	${\displaystyle 1}$

n - 1단계(크기 n의 정사각형 행렬의 경우)에 걸쳐 이 숫자들을 합하면 알고리즘의 복잡도는 다음과 같이 계산된다.

${\displaystyle {{2}{3}+n^{2}+{\frac {1}{3}=O\left(n^{3}\오른쪽).}$

예

의 분해를 계산해 봅시다.

$({displaystyle A=bgin{bmatrix}12&-51&4\6&-167&68\-44&-41\end{bmatrix})}$

먼저, 우리는, T{\displaystyle \mathbf{}_{1}={\begin{bmatrix}12&[126− 4]를 유도 1=, 6&amp는 매트릭스 A의 첫번째 항을 구하는 반사를 찾는 것인데, 즉 -4\end{bmatrix}}^{\textsf{T}}}, ‖ 1‖ e1)[α 00]T{\displaystyle\left\ \mathbf{}_{1}\ri에 필요가 있다.ght\ \ma$thbf {e}$_{1$}=param$ {$bmatrix}\alpha$& $0\end$ {bmatrix$}^{\paramf$ {T

지금이다,

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {x} -\alpha \mathbf {e} _{1}$

그리고.

${\displaystyle \mathbf {v} = snarfrac {\mathbf {u} {\\mathbf {u} \ }.}$

여기서,

${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$ ${\displaystyle =}$ 14$${ $displaystyle \alpha$ $$} 및 x 1 [ 6 - ]T ${$ $displaystyle$\ $mathbf${ $x$} = \ $mathbf { a } _$ { $1 = scape$ { $bmatrix$} $12$& $4 \ end$ { $bmatrix$ }$}$

그러므로

U)T=2[− 13− 2]T{\displaystyle \mathbf{너}={\begin{bmatrix}-2&, 6&, -4\end{bmatrix}}^{\textsf{T}}=2{\begin{bmatrix}-1&, 3&, -2\end{bmatrix}}^{\textsf{T}}}그리고 v=114[− 13− 2]T={\frac{1}{\sqrt{1{\displaystyle \mathbf{v}[− 26− 4].4}}}{\begin{bmat$rix}-1&3&2\end{bmatrix}^{\textsf {T$ 그 후

$디스플레이 스타일Q_{1}={}&I-{\frac {2}{\fracrt {14}}{\begin {bmatrix}-1\\\\\\2\end {bmatrix}{\begin {bmatrix}-1&3&2\end {bmatrix}\={\frac1-i}&{\fr}\end { aligned}}$

다음 사항을 확인합니다.

${\displaystyle Q_{1}}A=begin{bmatrix}14&21&-14\\0&-49&-14\\0&168&-77\end{bmatrix}}$

그래서 우리는 이미 거의 삼각행렬을 가지고 있습니다.(3, 2) 엔트리만 제로로 하면 됩니다.

마이너(1, 1)를 취한 후 프로세스를 다시 적용합니다.

$({displaystyle A'=M_{11}=(begin {bmatrix}-49&-14\\168&-77\end {bmatrix})}$

위와 같은 방법으로 세대 변환 매트릭스를 구한다.

$\displaystyle Q_{2}=begin{bmatrix}1&0\\0&-7/25&24/25\\0&24&7/25\end{bmatrix}}$

공정의 다음 단계가 제대로 작동하는지 확인하기 위해 1과 직합을 수행한 후.

자, 이제

${{displaystyle Q={1}^{\textsf {T}^{\textsf {T}}=bgin {bmatrix}6/7/175&58/175&175&175/175/175\2/7&7/7/7/7&6/35&33/35/35/35\end{b} 행렬.}$

또는 소수점 이하 네 자리까지,

$디스플레이 스타일Q&=Q_{1}^{\textsf {T}^{\textsf {T}}=begin{bmatrix}0.8571&-0.3314&-0.4286&0.9029&0.0343&0.2857&0.14&0.94.R&=Q_{2}Q_{1}A=Q^{\textsf {T}A=bgin{bmatrix}14&21&-14\\0&175&-70\0&35\end{bmatrix}}.\end { aligned}}$

행렬 Q는 직교하고 R은 위쪽 삼각형이므로 A = QR이 필요한 QR 분해입니다.

장점과 단점

Householder 변환의 사용은 R 행렬에서 0을 생성하는 메커니즘으로 반사를 사용하기 때문에 수치적으로 안정적인 QR 분해 알고리즘 중 가장 단순하다.단, 새로운 제로 요소를 생성하는 모든 반사가 Q 및 R 매트릭스 전체를 변경하기 때문에 Householder reflection 알고리즘은 대역폭이 많고 병렬화할 수 없습니다.

기븐 회전 사용

QR 분해는 일련의 Givens 회전으로도 계산할 수 있습니다.각 회전은 행렬의 준대각선상의 요소를 0으로 하여 R 행렬을 형성한다.모든 Givens 회전의 연결은 직교 Q 행렬을 형성합니다.

실제로 기븐스 회전은 전체 행렬을 만들고 행렬 곱셈을 수행함으로써 실제로 수행되지 않습니다.대신 스파스 요소를 처리하는 추가 작업 없이 스파스 기븐스 행렬 곱셈과 동등한 기븐스 회전 절차를 사용한다.기븐스 회전 절차는 비교적 소수의 오프 대각 요소만 0으로 설정할 필요가 있는 상황에서 유용하며, Householder 변환보다 더 쉽게 병렬화할 수 있습니다.

예

의 분해를 계산해 봅시다.

$({displaystyle A=bgin{bmatrix}12&-51&4\6&-167&68\-44&-41\end{bmatrix})}$

첫째, 우리는 밑바닥의 왼쪽 요소, 31)− 4{\displaystyle a_{31}=-4}를 제로롤 수 있는 회전 행렬이 된다 우리는, G1{\displaystyle G_{1}매트릭스 이 매트릭스를 기븐스 회전 법을 사용하여}을 형성한다. 우리는 먼저-4가 벡터[12− 4]{\displaystyle{\begin{bmatrix}12& 순환될 것이 필요하다.\end${bmatrix$ X축을 따라 가리킵니다.이 벡터는 각도 $\theta$ $=$ $\arctan$θ$\frac{}{}$($\frac{}{}$-$\frac{}{}$( -$\frac{4}{}$ ) $){$ $textstyle \theta$= \$arctan \left frac$ { - (-$4)}{12$$right}$를 가지고 있습니다. 직교 기븐스 회전 행렬 $(\$

$디스플레이 스타일G_{1}&=bmatrix(\theta)&0&-sin(\theta)&0&1&0\sin(\theta)&0&\sin(\theta)&0&end{bmatrix}\&약 {bmatrix0.948&0&0-316&0221&0226&0}.31622&0.94868\end{bmatrix}\end{aligned}}$

${\displaystyle {그리고\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ A$(\displaystyle G_{1}A)$의 $결과$는 31$(\$ ${\displaystyle {\mathrm{요소}}_{}}$에 0이 됩니다.

$(\displaystyle G_{1}A\약 12.64911&-55.97231&16.76007&-68\0&6.64078&-37.6311\end{bmatrix})$

마찬가지로 Givens ${\displaystyle {매트릭스\mathrm{}}_{}}$G2({$displaystyle G_{$$2$}})와$G3$({$displaystyle G_$3})를 형성할 수 있습니다.이것에 의해, 서브 대각선 ${\displaystyle {\mathrm{요소}}_{}}$ a$21$({displaystyle $a_$${21$})과 $({$$displaystyle$$a_32$가 0이 되어, 직교 $매트릭스{\displaystyle {}^{}}$$$$({$$)$가 됩니다.$ystyle$ Q$^{\textsf {T}}}$는 모든 Givens $행렬{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle Q^{}}$ T ${\displaystyle {=}^{}}$ ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$1 {\$display Q^{\textsf {$T}}$$$= G_{2}G_{1$}의 곱으로 형성된다.따라서 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ A ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle Q^{}}$ T ${\displaystyle A^{}}$ ${\displaystyle =}$ { $display style$ G_${3}G_{2}G_{$$1$}가 $됩니다{\displaystyle {}_{}}$.$A=Q^{\textsf {T}}A=$${\displaystyle R}$$\}$이며, QR $분해$는 A$(\displaystyle A=$QR$)$이다.

장점과 단점

알고리즘을 완전히 이용하는 데 필요한 행의 순서가 간단하지 않기 때문에 Givens 회전을 통한 QR 분해는 구현이 가장 중요합니다.단, 각 새로운 $제로{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {요소}_{}}$ a$$(\$displaystyle a_{ij})$는 제로화되는 요소가 있는 행과 (i) 위의 행에만 영향을 준다는 점에서 큰 이점이 있습니다.따라서 Givens 회전 알고리즘은 Householder 반사 기술보다 더 효율적이고 병렬화할 수 있습니다.

행렬식 또는 고유값의 곱에 대한 연결

QR 분해를 사용하여 정사각형 행렬의 행렬식 절대값을 구할 수 있습니다.행렬이 A ${\displaystyle =}$ $({displaystyle$ A$=QR$로 분해된다고 가정합니다. 그러면 다음과 같이 됩니다.

Q$(\displaystyle$ Q$)$는 유니터리이므로 ${\displaystyle \det }$ Q ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle \det$ Q$=1$입니다.따라서,

${\displaystyle {\mathrm{여기}}_{}}$서 $(\$는 R$(\displaystyle$ R$)$의 대각선상에 있는 항목입니다. 또한, 행렬식이 고유값의 곱과 같기 때문에, 우리는

여기서 ${\displaystyle i_{}}$i \ $displaystyle$\ $lambda$_ {$i$}는$$ A$$\ $displaystyle$$A$의 고유값입니다.

비제곱 복소 행렬에 대한 QR 분해 정의를 도입하고 고유값을 단수로 대체하여 위의 특성을 비제곱 복소 $행렬{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$로 확장할 수 있습니다.

정사각형 행렬 A가 아닌 행렬 A에 대한 QR 분해부터 시작합니다.

${\displaystyle A=Q{\begin{bmatrix}R\0\end{bmatrix}},\qquad Q^{*}Q=나$

$여기$서 0$(\displaystyle$ 0$)$은 제로 매트릭스,$Q{\displaystyle }$(\$displaystyle$ Q$)$는 유니터리 매트릭스입니다.

SVD의 특성과 행렬의 행렬식으로부터, 우리는

$(\displaystyle\big }\displaystyle_{i}r_{ii}{\big }=\displaystyle_{i}\displaystyle_{i}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 i$(\$ _${i$})는$$ A$(\displaystyle$ A$)$의 단수값입니다.

A$(\displaystyle$ A$)$와 R$(\displaystyle$ R$)$의 단수값은 동일하지만 복잡한 고유값은 다를 수 있습니다.단, A가 정사각형일 경우

$({displaystyle_{i}\displaystyle_{i}=(크게)_{i}\displayda_{i}{\Big}})$

따라서 QR 분해를 사용하여 행렬의 고유값 또는 특이값의 곱을 효율적으로 계산할 수 있습니다.

기둥 피벗

피벗 QR은 각 새로운 단계(컬럼 피벗)^[3]의 시작 부분에서 가장 큰 남은 열을 취하기 때문에 치환 행렬 P를 도입한다는 점에서 일반 Gram-Schmidt와 다르다.

${\displaystyle AP=QR\quad\iff\display A=QRP^{\textsf {T}}}$

열 피벗은 A에 (거의) 순위가 부족하거나 부족할 것으로 의심되는 경우에 유용합니다.숫자 정확도도 향상할 수 있습니다.P는 보통 R의 대각 요소가 증가하지 않도록 선택됩니다.${\displaystyle {\mathrm{r}}_{}}$ ${\displaystyle {11}_{}{}_{}r{}_{}}$ r ${\displaystyle {22}_{}{}_{}}$≥${\displaystyle }$r${\displaystyle r_{}}$ r n \$displaystyle$\$left r$_ { $11$} \$right$ \ $geq$\ geq \ $r$_ { $22$} \$right$ \ $geq$ \ $cdots$\$geq$\$left r$_ { $n }$ \ $geq$ \$$comput of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of소위 순위 공개 QR 알고리즘의 기초를 형성하고 있습니다.

선형 역문제 해결에 사용

직접 행렬 역행렬과 비교하여, QR 분해를 사용하는 역해는 감소된 조건 수에서 입증되었듯이 수치적으로 더 안정적이다 [파커, 지구물리 역이론, Ch1.13].

Ax)b{\displaystyle A\mathbf{)}=\mathbf{b}은underdetermined(m<>n{\displaystyle m<, n})선형 문제를 해결하기 위해}이 매트릭스 A{A\displaystyle}이 치수 치고×n{\displaystyle m\times의 스녀}고 순위를 매기m{m\displaystyle}, 첫번째 찾을 수 있는 QR분해의 바꿔 놓다의{\d.isplay$style{\displaystyle {}^{}}$ A$\}$ : ${\displaystyle A^{}}$ $=$ ${\displaystyle Q}$ R$${\$displaystyle$ A$^{\textsf {$T}=$QR$$\}.$ 여기서 Q는 직교 매트릭스($즉$, Q ${\displaystyle {}^{}}$ $=$ ${\displaystyle {\mathrm{Q}}^{}}$- 1 {\$style$ Q$^{\textsf {T$}}})$$이며, R은 ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}\\ \mathrm{}\end{array}}$ 형식${\displaystyle \begin{array}{}\end{array}}$0${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{R}_{}\end{array}}$입니다.$isplaystyle R_{1}$은 $제곱{\displaystyle }$m × ${\displaystyle m}$(\$displaystyle$m\$times$m) 오른쪽$$ 삼각행렬이며, 제로행렬은 치수${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle m}$)${\displaystyle }$×$$ (\$displaystyle (n-m)\times$ m$\}$ 입니다.대수 후 역문제의 해답은 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle =Q\begin{array}{c}{}^{}\end{array}}$[ ((${\displaystyle \begin{array}{c}{{}_{}^{}}^{}\end{array}}$1${\displaystyle \begin{array}{c}{\mathrm{T}}^{}\end{array}}$ - ${\displaystyle \begin{array}{c}0\\ \mathrm{})]\end{array}}$로 나타낼 수 있습니다${\displaystyle .}$$\displaystyle \mathbf {x}$=$Q\left[{\begin{small$ matrix$}\left(R_{1}^{\textsf {T}}\right)^{-1}\mathbf {b}\0\end{small$ matrix$}}}\$right$]$ ${\displaystyle {여기}_{}^{}}$서 R$$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$- 1 {1-}^{-1$}$ 가우스 소거치$$ 중 $하나를 찾을$ 수 $.$포워드 치환으로 직접.후자의 기술은 더 높은 수치 정확도와 더 낮은 계산을 누린다.

지나치게 결정된 $문제{\displaystyle }$${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ \ $displaystyle$$m$ \ $geq$n$$)에 대한 $해답$을 $찾으려면 ,$ A ${\displaystyle x\stackrel{}{\mathbf{}}}$$$${\displaystyle =}$ \ $displaystyle$ A \ $mathbf { x$$$} = \ $mathbf { b }$ minimizes$$ minimizes ${\displaystyle minimizes}$ 、 A${\displaystyle \stackrel{}{}}$x - ${\displaystyle b\mathbf{}}$ ${\displaystyle 、}$ \$display styleft$A \ $mathb }$\\ \\\\\\\\\\\ a\\A 。$A$의$$QR 인수분해({$displaystyle$ A$\}$ : $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{QR}}${$displaystyle$ A ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$$\}$ 。해는${\displaystyle \stackrel{}{}}$x ^${\displaystyle {}_{}^{}}$=${\displaystyle {}_{}^{}}$R ${\displaystyle 1{}_{}^{}}$ - ${\displaystyle 1_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}}$ T $)$ {$displaystyle {mathbf {x}}$=$R_{1}^{-1}\left(Q_1F)$로 $나타낼{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ 수 있습니다.$isplaystyle$ m$\times$n$$매트릭스에는$$ 완전한 직교 $기준{\displaystyle }$Q(\$displaystyle$Q)의$$$$ 첫 $n개$의 컬럼과 $(\$이 $포함$되어 있습니다.충분히 결정되지 않은 경우와 마찬가지로 백 치환을 사용하여 ${\displaystyle {R\mathrm{}}_{}}$ 1$({$을 명시적으로$$ $반전$시키지 않고 $이{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ x$^({$displaystyle ${x})$를 빠르고 정확하게 찾을 수 있습니다.$$($Q$ 1({$displaystyle Q_$${$1} ${\displaystyle {및\mathrm{}}_{}}$R 1({$displaystyle R_1})$은 종종 숫자 라이브러리로부터 제공됩니다."경제적인" QR 분해로서 양자리).

일반화

이와사와 분해는 QR 분해를 반단순 거짓말 그룹으로 일반화한다.

「 」를 참조해 주세요.

• 극성 분해
• 고유값 분해
• 스펙트럼 분해
• LU 분해
• 특이값 분해

레퍼런스

추가 정보

• 를 클릭합니다Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9.
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, sec. 2.8, ISBN 0-521-38632-2
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 2.10. QR Decomposition", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

외부 링크

• Online Matrix Calculator 행렬의 QR 분해를 수행합니다.
• LAPACK 사용 설명서에서 QR 분해 계산을 위한 서브루틴에 대한 세부 정보를 제공합니다.
• 매스매티카 사용자 매뉴얼은 QR 분해 계산을 위한 루틴의 상세 및 예를 제공합니다.
• ALGLIB에는 C++, C#, Delphi 등에 대한 LAPACK의 일부 포트가 포함되어 있습니다.
• 고유::QR QR QR 분해의 C++ 구현을 포함합니다.