반사원리(위너 공정)

확률적 과정에 대한 확률론에서, 위너 공정에 대한 반사 원리는 만약 위너 공정 f(t)의 경로가 f(s) = a 시간 t = s에 도달하면, 시간 s 이후의 후속 경로가 a 값에 대한 후속 경로의 반영과 동일한 분포를 갖는다고 명시한다.^[1] 보다 형식적으로, 반영원리는 위너 공정의 우월성 분포, 즉 브라운 운동과 관련된 보조원리를 가리킨다. 결과는 시간 t까지의 브라운 운동 우월성의 분포와 시간 t에서의 공정 분포와 관련이 있다. 브라운 모션의 강력한 마르코프 성질의 산물이다.

성명서

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$(${\displaystyle t}$ )${\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\displaystyle \ge }$ 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle (W(t):t$:t$\geq$ 0$)}$이(가) Wiener 공정이고 > {\$displaystyle a>0}$이 임계값(횡단점이라고도 함)이면 보조자는 다음과 같이 명시한다.

${\displaystyle \mathb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)=2\mathb {P}(W(t)\geq a)}}$

Assuming ${\displaystyle W(0)=0}$ , due to continuity of Wiener process, each path (one sampled realization) of Wiener process on (0,t) which ends up at or above value/level/threshold/crossing point 'a' the time t (${\displaystyle W(t)\geq a}$) must have crossed a threshold 'a' (${\displ$$aystyle W(t_{a}=a)}$)는 ${\displaystyle {일찍이}_{}}$ t $time{\displaystyle {}_{}}$ t ${\displaystyle t_{a}\leq t}$을(를) 처음으로 . (간격(0,t)으로 여러 번 'a' 레벨을 교차할 수 있으며, 가장 이른 시간을 택한다.) For every such path you can define another sampled path of Wiener process W' on (0,t) that is reflected or vertically flipped on the sub-interval ${\displaystyle (t_{a},t)}$ symmetrically around level 'a' from the original path.( ${\displaystyle a-W'(t)=W(t)-a}$ ) That reflected path also 도달 값 $W{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$)${\displaystyle }$= 간격 (0,t)에$$ ${\displaystyle \mathrm{대한}}$ ${\displaystyle W'(t_{a}=a$}=a$}}$이(가) 있으며, 또한 Wiener 프로세스 또는 Brownian 운동이기도 하다. 원래 경로와 반사 경로 모두 (0,t)의 'a' 값에 도달하는 경로 집합이며, 그것들은 시간 t에서 임계값 'a'(원래 경로만 해당)에 도달하는 경로 집합보다 두 배 더 많다. 각 경로가 동일하게 개연성이 있는 경우(0,t)는 언제든지 임계값 'a'에 도달할 가능성이 t 시간에서 임계값 'a' 또는 그 이상일 가능성이 2배 높다. (0,t)에서 레벨 'a'에 도달한 다음 값 ( t)< 시간 에서 어딘가에 도달하는 경로 {\$displaystyle W(t)<a}$ 그들이 회계처리가 되었는가? 응. 정확히 한계치 'a'에만 도달한 경로의 수로 계산되는 반사 경로가 있고, 그것들은 시간 t에서 한계치 'a'를 초과하게 된 경로와 정확히 일치한다. Wiener 공정이 임계치 'a'에 도달하면 대칭성 때문에 동일한 확률(p=0.5)이 존재하며, 미래 시간 t에서 임계치 'a'보다 높거나 낮을 것이다. 따라서 조건부 확률: $P{\displaystyle }$( W${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle a}$ W${\displaystyle }$( ${\displaystyle t_{}}$)${\displaystyle }$= a${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$.$(\displaystyle P(W)(t)\geq$a W$($${a}=a)=0.5$ ( t)가 있는 경로< ${\displaysty W(t)><a}$는 절대 임계값 'a'에 도달하지 않는다.

In a stronger form, the reflection principle says that if ${\displaystyle \tau }$ is a stopping time then the reflection of the Wiener process starting at ${\displaystyle \tau }$, denoted ${\displaystyle (W^{\tau }(t):t\geq 0)}$, is also a Wiener process, where:

${\displaystyle W^{\tau }}=W(t)\chi _{\left\{t\leq \tau \right\}+(2W(\tau )-W(t)\chi _{\left\{t}\right\}}}}}}}}$

and the indicator function ${\displaystyle \chi _{\{t\leq \tau \}}={\begin{cases}1,&{\text{if }}t\leq \tau \\0,&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$ and ${\displaystyle \chi _{\{t>\tau \}}}$is defined similarly. 더 강한 형태는 $\tau {\displaystyle }$= ${\displaystyle inf}${ ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\displaystyle \ge }$ 0${\displaystyle }$: ${\displaystyle W}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \}}$ ${\$을 선택하여 원래의 보조정리함을 암시한다$.$

증명

교차점 a에 도달하기 위한 가장 이른 정지 시간, ${\displaystyle {\tau }_{}}$ a ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \inf }${ ${\displaystyle t}$: ${\displaystyle W}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \}}$ ${\$$=\inf \left\{t:$$W(t)=a\right\}$는 거의 확실히 정해진 정지 시간이다$.$ Then we can apply the strong Markov property to deduce that a relative path subsequent to ${\displaystyle \tau _{a}}$, given by ${\displaystyle X_{t}:=W(t+\tau _{a})-a}$, is also simple Brownian motion independent of ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}}$. T마지막으로 $W{\displaystyle (s}$) ${\displaystyle W$$($$s)}$이(가) 임계값$$ 이상일 때 시간 간격 $[{\displaystyle 0}$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,t]}$에서 분해할 수 있는$$ $임계값$은 다음과 같다.

P)P≥ W≥(t)a)+P(저녁밥을 먹다 0≤ s≤ 있어 W(s)≥ W(t)<>a))P≥(W(t)a)+P(저녁밥을 먹다 0≤ s≤ 있어 W(s)≥, X(t− τ)<>0){\displaystyle{\begin{정렬}\mathbb{P}\left(\sup_{0\leq)t}W(s)\(저녁밥을 먹다 0≤ s≤ 있어 W(s)a)≥(저녁밥을 먹다 0≤ s≤ 있어 W(s).$geq a\\right)&=\mathb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)\geq a, {0\leq s\leq t(s)\leq a,W(t)a\$$right.$$\\&=\mathb {P} \left(W)(t)\geq$ a$\right)+\mathb {P} \left(\sup _{$0\$leq$ s\$leq$ t$}W)\geq$ a$,X($t-\$tau_{a$}오른쪽$)\\\\\end{aigned$

조건부 기대치에 대한 주탑재산에 의해, 두 번째 연기는 다음과 같이 감소한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0\right)&=\mathbb {E} \left[\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0 {\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}\오른쪽)\오른쪽]\\&=\mathb {E} \left[\chi _{\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a}\mathb {P} \left(X(t-\tau _{a}) \0 {\mathcal{F}{a}}^{a}{a}^{a}W}\오른쪽)\오른쪽]\\&={\frac {1}{1}:{2}}\mathb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W)\geq a\right,\end{aigned}}}}}$

$X{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ X$(t)}$은(는) ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{\tau }_{}}_{}^{}}$에 독립적인 브라운의 표준 운동이기 때문에$,$W {\$displaystyle${\$mathcal {F}$_{\$tau_{a}^{$a}^{}}{a}}}^{$W{\displaystyle \mathrm{}}$$}$ 및 확률$$ 1 /${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle 1/2}$이(가) $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0$ 미만임$.$ 이것을 제1차 방정식의 제2행으로 대체함으로써 보조마 증명이 완성된다.^[2]

P)Pa)≥(W(t)+12P(저녁밥을 먹다 0≤ s≤ 있어 W(s){a)P(저녁밥을 먹다 0≤ s≤ 있어 W(s)≥ a)=2P(W(t)≥ a){\displaystyle{\begin{정렬}\mathbb{P}\left(\sup_{0\leq)t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb{P}\left(W(t)\geq a\right)+{\frac{1}≥ a)≥(저녁밥을 먹다 0≤ s≤ 있어 W(s).$2}}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)\\\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=2\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)\end{aligned}}}$.

결과들

반사 원리는 종종 브라운 운동의 분포 특성을 단순화하기 위해 사용된다. Considering Brownian motion on the restricted interval ${\displaystyle (W(t):t\in [0,1])}$ then the reflection principle allows us to prove that the location of the maxima ${\displaystyle t_{\text{max}}}$, satisfying ${\displaystyle W(t_{\text{max}})$$=\sup _{0\leq s\leq 1}W$ 가 아크사인 분포를 가지고 있다. 이것은 레비 아크사인의 법칙 중 하나이다.^[3]

참조