열 용량 간의 관계

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열역학에서, 일정 부피에서의 열 용량, ${\displaystyle C_{}}$ V ${\$및 일정 압력에서의 열 용량, $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ ${\$는 에너지의 크기를 온도로 나눈 광범위한 특성이다$.$

관계

열역학 법칙은 이러한 두 열 용량 사이의 다음과 같은 관계를 암시한다(Gaskell 2003:23).

${\displaystyle C_{P}-C_{V}=VT{\frac {\alpha ^{2}}:{\beta _{T}\,},}$

${\displaystyle {\frac {C_{{V}}={\frac {\beta _{T}{\beta _{S}},}$

여기서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$은$$ 열팽창 계수:

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{V}\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial T}\오른쪽)_{P}\,}$

${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\$는 등온 압축성(벌크 계수의 역)이다$$.

${\displaystyle \beta _{T}=-{\frac {1}{V}\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial P}\오른쪽)_{T}\,}$

및 $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\$는 등방성 압축성이다.

${\displaystyle \beta _{S}=-{\frac {1}{V}\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial P}\오른쪽)_{S}\,}$

일정한 체적과 일정한 압력에서 특정 열 용량(집약 속성)의 차이를 나타내는 표현식은 다음과 같다.

${\displaystyle c_{p}-c_{v}={\frac {T\alpha ^{2}}:{\rho \beta _{T}}}}}}}$

여기서 ρ은 해당 조건 하에서 물질의 밀도를 말한다.

열역학적 시스템 크기 의존적인 양이 질량 당 또는 몰 당에 상관 없이 특정 열 용량은 집중적인 특성이기 때문에 비율에서 상쇄되기 때문에 특정 열 용량 비율에 대한 해당 식은 그대로 유지된다. 따라서 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {c_{p}}{c_{v}}={\frac {\beta _{T}{\beta _{S}}\,}$

차이 관계는 일정한 부피에서 고형물의 열 용량을 얻을 수 있게 하는데, 이 열 용량은 더 쉽게 측정할 수 있는 양으로 쉽게 측정되지 않는다. 비율 관계를 통해 열 용량 비율 측면에서 등방성 압축성을 표현할 수 있다.

파생

극소량의 열 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \delta Q}$을(를) 가역적으로 시스템에 공급할 경우 열역학 제2법칙에 따라 다음과 같이 시스템의 엔트로피 변화가 주어진다.

${\displaystyle dS={\frac {\delta Q}{T}}\,}$

이후

$\delta Q=CdT\,}$

여기서 C는 열 용량이며 다음과 같다.

${\displaystyle TdS=CdT\,}$

열 용량은 열이 공급될 때 시스템의 외부 변수가 어떻게 변경되는지에 따라 달라진다. 시스템의 유일한 외부 변수가 볼륨이라면, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle dS=\왼쪽({\frac {\partial S}{\partial T}\오른쪽)_{V}dT+\put({\frac {\partial S}{\partial V}\right)_{\partial V}{\partial V}}}{partial S}}}{{{{{{partial S}}}}}}}}}}}}}}}}}T}dV}$

이로부터 다음과 같이 한다.

${\displaystyle C_{V}=T\왼쪽({\frac {\partial S}{\partial T}\오른쪽)_{V}\,}$

dS를 dT와 dP의 관점에서 위에서와 유사하게 표현하면 다음과 같은 표현이 나오게 된다.

${\displaystyle C_{P}=T\왼쪽({\frac {\partial S}{\partial T}\오른쪽)_{P}\,}$

${\displaystyle {dS}_{}}$에 대한 위의 표현에서 dV를 dP, dT 단위로 표현함으로써$$ $C{\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{C}_{}}$ V ${\$에 대한 위의 표현을 찾을 수 있다.

${\displaystyle dV=\좌({\frac {\partial V}{\partial T}\우)_{P}dT+\좌({\partial V}{\partial P}\우)__{T}dP\,}$

결과를 낳다

${\displaystyle dS=\왼쪽[{\frac {\partial S}{\partial T}\오른쪽)_{V}+\왼쪽({\frac {\partial S}{\partial V}\오른쪽)_{T}\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial T}\오른쪽)_{P}\오른쪽]dT+\왼쪽({\frac {\partial S}{\partial V}\오른쪽)_{T}\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial P}\오른쪽)_{T}dP}$

그리고 그것은 다음과 같다.

${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial T}\오른쪽)_{P}=\왼쪽({\frac {\partial S}{\partial T}\오른쪽)_{V}+\왼쪽({\frac {\partial S}{\partial V}\오른쪽)_{T}\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial T}\오른쪽)_{P}\,}$

그러므로

${\displaystyle C_{P}-C_{V}=T\왼쪽({\frac {\partial S}{\partial V}\오른쪽)_{T}\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial T}\오른쪽)_{P}=VT\alpha \left({\frac {\partial S}{\partial V}\오른쪽)_{T}\,}$

부분파생상품${\displaystyle {(\partial \frac{\mathrm{}S}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{V}{}}_{}}$) $T {\$)_${$$T}$은(는) 적절한 맥스웰 관계를 이용하여 엔트로피를 수반하지 않는 변수의 관점에서 다시 쓸 수 있다$$. 이러한 관계는 근본적인 열역학적 관계에서 비롯된다.

${\displaystyle dE=TdS-PdV\,}$

여기에서 헬름홀츠 $자유{\displaystyle }$ 에너지 F${\displaystyle }$= ${\displaystyle E}$- T ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F=E-TS}$의 차이는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle dF=-SdT-PdV\,}$

라는 뜻이다.

${\displaystyle -S=\왼쪽({\frac {\partial F}{\partial T}\오른쪽)_{V}\,}$

그리고

${\displaystyle -P=\왼쪽({\frac {\partial F}{\partial V}\오른쪽)_{T}\,}$

T와 V에 관한 F의 두 번째 파생상품의 대칭성은 다음을 함축한다.

${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}\오른쪽)_{T}=\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial T}\오른쪽)_{V}\,}$

쓰기 허용:

${\displaystyle C_{P}-C_{V}=VT\알파 \left({\frac {\partial P}{\partial T}\right)_{V}\,}$

r.h.s는 일정한 부피로 파생상품을 포함하고 있어 측정하기 어려울 수 있다. 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. 대체적으로.

${\displaystyle dV=\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial P}\오른쪽)_{T}dP+\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial T}\오른쪽)_{P}dT\,}$

부분파생상품${\displaystyle {(\partial \frac{\mathrm{}P}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{T}{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ V ${\$ P$}{\partial T}\right)_$${{V}}}$은 dV = 0에 대한 dP와 dT의 비율일$$ 뿐, 위의 방정식에 dV = 0을 넣고 이 비율을 풀면 얻을 수 있다.

${\displaystyle \left({\frac {\partial P}{\partial T}\right)_{V}=-{\prac {\partial V}{\partial T}\right)_{\pressional T}}{\partial T}\right)_{{{{{\fracP}{{\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial P}\오른쪽)_{T}}}={\frac {\alpha }{\beta _{T}\,}$

이 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle C_{P}-C_{V}=VT{\frac {\alpha ^{2}}:{\beta _{T}\,},}$

열 용량 비율에 대한 표현은 다음과 같이 구할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {C_{{V}}={\frac {\partial S}{\partial T}\right)_{\pressure}{\frac {\partial T}}}{\partial T}}}}{\p}}}}}{\prec_{{{prec_}}}}}}}}P}{{\왼쪽({\frac {\partial S}{\partial T}\오른쪽)_{V}}\,}$

분자의 부분파생상품은 압력의 부분파생상품과 온도 및 엔트로피의 비율로 표현할 수 있다. 만약 관계가 있다면

${\displaystyle dP=\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial S}\오른쪽)_{T}dS+\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial T}\오른쪽)_{S}dT\,}$

${\displaystyle \mathrm{d}}$ ${\displaystyle P}$= 0 ${\displaystyle dP=0}$을(를) 넣고 d ${\displaystyle \frac{S}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{T}{}}$ ${\$) 비율에 대해 해결함$T$$}}}$ (${\displaystyle {\partial \frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{S}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{T}{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 얻는다.${P$ 그렇게 하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial T}\right)_{P}=-{\frac {\partial P}{\partial T}\right)_{\pressional T}}{\partial T}\right)_{{{{\p}S}{{\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial S}\오른쪽)_{T}}}\,}$

마찬가지로 부분파생상품$({\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {\frac{S}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{T}{}}_{}}$) V ${\$을 다시 쓸 수 있다.$dV$를 dS와 dT 단위로 표현하여$$dV를 0으로 하고 ${\displaystyle \frac{\mathrm{dS}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{T}{}}$ ${\$.$T$ 위의 엔트로피 부분파생물의 비율로 표현된 열용량비에서 그 표현을 대체하면 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {C_{P}}{V}}={\frac {\partial P}{\partial T}\right)_{{\prac {\partial P}{\partial T}}}}}{\prec_{\}}}}}}}{{prec_{partfrac}}}}}S}{{\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial S}\오른쪽)_{T}}{\frac {\frac({\frac {\partial V}{\partial S}\오른쪽)_{{T}}{{\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial T}\오른쪽)_{S}}\,}$

상수 S에 있는 두 파생상품을 종합하면:

${\displaystyle {\frac {\frac({\frac {\partial P}{\partial T}\오른쪽)_{S}{{\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial T}\오른쪽)_{S}}}=\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial T}\오른쪽)_{S}\왼쪽({\frac {\partial T}{\partial V}\오른쪽)_{S}=\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial V}\오른쪽)_{S}\,}$

상수 T에 있는 두 파생상품을 종합하면:

${\displaystyle {\frac {\frac({\frac {\partial V}{\partial S}\오른쪽)_{T}{{\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial S}\오른쪽)_{T}}}=\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial S}\오른쪽)_{T}\왼쪽({\frac {\partial S}{\partial P}\오른쪽)_{T}=\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial P}\오른쪽)_{T}\,}$

여기서 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\frac {C_{P}}{C_{V}}=\왼쪽({\frac {\partial P}{\partial V}\오른쪽)_{S}\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial P}\오른쪽)_{T}={\frac {\beta _{T}{\beta _{S}\,}$

이상기체

이상 기체에 대한$$ $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$- ${\displaystyle C_{}}$ V $displaystyle C_{P}-C_{V}\,}$의 식을 얻기 위한 파생어다.

이상적인 기체는 상태 방정식을 가지고 있다: ${\displaystyle P}$ V${\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$ R ${\displaystyle T}$ ${\$

, where

P = 압력

V = 볼륨

n = 두더지 수

R = 범용 가스 상수(가스 상수)

T = 온도

주의 이상적인 가스 방정식은 다음을 제공하도록 배열될 수 있다.

${\displaystyle V}$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$/ P ${\$ 또는$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$= ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$/ T ${\displaystyle \,nR=$PV$/T}$

위와 같은 상태 방정식에서 다음과 같은 부분파생상품을 얻는다.

${\displaystyle \left({\frac {\partial V}{\partial T}\오른쪽)_{P}\ ={\frac {nR}{P}\}\\왼쪽({\frac {VP}){T}\오른쪽)\왼쪽({\frac {1}{P}\오른쪽)={\frac {V}{T}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial V}{\p}{\partial P}\오른쪽)_{T}\ =-{\frac {nRT}{P^{2}}\ =-{\frac {PV}{P^{2}}\}\ =-{\frac {V}{P}}}}}$

열팽창 계수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 대해 다음과 같은 간단한 식을 구한다$.$

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{V}\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial T}\right)_{{\partial V}{\partial T}\right)_{\}P}\ ={\frac {1}{V}\왼쪽({\frac {V}{T}\오른쪽)}$

${\displaystyle \alpha =1/T\,}$

등온 압축성 $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\$:

${\displaystyle \beta _{T}=-{\frac {1}{V}\왼쪽({\frac {\partial V}{\partial P}\right)_{{\partial P}}}{\partial P}\right)_{{\}}}}}{{}T}\ =-{\frac {1}{V}\왼쪽(-{\frac {V}{P}\오른쪽)}$

${\displaystyle \beta _{T}=1/P\,}$

이제 C $P{\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ $displaystyle C_{P}-C_{V}\,}$을(를) 계산할 수 있다. 이전에 규정된 일반 공식에서 이상적인 가스에 대한$$ C ${\displaystyle P_{}}$ - C V {\displaystyle C_{P}-C_{V}\,}:

${\displaystyle C_{P}-C_{V}=VT{\frac {\frac ^{2}}:{\beta _{T}\=VT{\frac {(1/T)^{2}}:{1/P}={\frac {VP}{\frac {V}{{}}}}}{{}}}}}}}}}}{T}}$

이상적인 가스 방정식에서 대체하면 마지막으로 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle C_{P}-C_{V}=nR\,}$

여기서 n = 고려 중인 열역학 시스템의 가스 몰 수 및 R = 범용 가스 상수. 몰당 어금니 열 용량의 차이에 대한 표현은 다음과 같이 이상적인 기체에 대해 간단히 R이 된다.

${\displaystyle C_{P,m}-C_{V}={\frac {C_{P}-C_{V}}}{n}}={\frac {nR}{n}}=R}$

$c{\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ $displaystyle c_{p}-c_{v}\,}$에 대한 일반 표현식에서 직접 특정 차이를 도출한 경우 이 결과는 일관적일 것이다$.$

참고 항목

• 열용량비

참조

• 데이비드 R. 가스켈(2008) , 재료의 열역학 소개, Fifth Edition, Taylor & Francis. ISBN1-59169-043-9