무위험채권

무위험 채권은 이자와 원금을 절대적으로 확실하게 상환하는 이론적 결합이다. 수익률은 무위험 금리일 것이다. $그것$은 1차 ${\displaystyle \mathrm{보안}}$으로, 경제 상태가${\displaystyle }$t + 1에 실현되더라도 $1단위$를 지불한다$.$ 그래서 그것의 보수는 어떤 상태가 발생하든 상관없이 동일하다. 따라서 투자자는 그러한 자산에 투자하여 위험을 경험하지 않는다.

실제로 정부가 세금을 올리거나 실제로 돈을 찍어 자국 통화 부채를 상환할 수 있기 때문에 재정적으로 안정된 국가들의 국채는 무위험 채권으로 취급된다.^[1]

예를 들어, 미국 재무부 채권과 미국 재무부 채권은 종종 무위험 채권으로 간주된다.^[2] 비록 미국 재무부 증권의 투자자들이 실제로 적은 양의 신용위험에 직면하더라도,^[3] 이러한 위험은 종종 무시할 수 있는 것으로 간주된다. 이러한 신용위험의 한 예가 1998년 러시아 금융위기 당시 국내 부채를 채무불이행한 러시아에 의해 나타났다.

블랙-숄즈 모델에^[4] 의한 가격 모델링

금융 문헌에서는 옵션과 기초주식이 포함된 무위험 포트폴리오를 지속적으로 재조정하여 블랙-숄즈 공식을 도출하는 경우가 드물지 않다. 차익거래가 없는 경우 그러한 포트폴리오에서 생기는 수익은 무위험채권의 수익률과 일치해야 한다. 이 특성은 옵션의 차익거래가격으로 충족되는 블랙-숄즈 부분미분방정식으로 이어진다. 그러나, 무위험 포트폴리오가 자기 자금 조달 전략의 공식적 정의를 충족시키지 못하고, 따라서 블랙-스톨즈 공식을 도출하는 이 방법은 결함이 있는 것으로 보인다.

우리는 거래는 지속적으로 제때에 이루어지며, 동일한 고정 금리로 무제한의 자금 차입과 대출이 가능하다고 가정한다. 나아가 시장은 마찰이 없고, 거래비용이나 세금이 없으며, 공매도에 대한 차별도 없다는 뜻이다. 즉, 완벽한 시장의 경우를 다루겠다.

단기금리 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$이(가) 거래 간격${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle [0,T^{*}}}}$에 걸쳐 일정하지만 반드시 부정적이지는 않다고 가정하자$.$ 무위험한 $보안$은 r$${\$displaysty r$ 즉 $D{\displaystyle {}_{}{B}_{}}$ t = ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle T}$ d t t.${\displaystyle dB_{t}=rB_{t}~dt}$. We adopt the usual convention that ${\displaystyle B_{0}=1}$, so that its price equals ${\displaystyle B_{t}=e^{rt}}$ for every ${\displaystyle t\in [0,T^{*}]}$. When dealing with the Black-Scholes model, we may equally well replace the savings 무위험 채권으로 계산하다 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$에서 만기가 도래하는 단위 제로쿠폰 채권은 채권 만기가 도래하는 것으로, 향후 미리 정해진$$ 날짜 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$에서 보유자에게 현금 1단위를 지급하는 담보물이다$$. Let ${\displaystyle B(t,T)}$ stand for the price at time ${\displaystyle t\in [0,T]}$ of a bond maturing at time ${\displaystyle T}$. It is easily seen that to replicate the payoff 1 at time ${\displaystyle T}$ it suffices to invest ${\displaystyle B_{t}/B_{$$예금계좌{\displaystyle }$$$B ${\displaystyle B}$의 T$}{\displaystyle t}$ 현금 단위$$$.$ 이는 차익거래 기회가 없을 때 채권 가격이 충족됨을 보여준다.

${\displaystyle B(t,T)=e^{-r(T-t)}~~~~~~~~\all t\in [0,T]~}$

고정 T의 경우 채권 가격은 일반적인 미분 방정식을 해결한다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle dB(t,T)=rB(t,T)dt~~~~~~B(0,T)=e^{-rT}.}$

우리는 여기서 무위험 채권을 고려하는데, 이는 발행자가 만기일에 채권 보유자에게 액면가를 토닥거려야 하는 의무를 불이행하지 않을 것임을 의미한다.

무위험채권 vs. 화살-데브루 보안^[5]

무위험 채권은 애로우-드브루 증권 두 개의 포트폴리오에 의해 복제될 수 있다. 이 포트폴리오는 어떤 상태가 발생하든 상관없이 1단위를 지급하기 때문에 무위험 채권의 지급액과 정확히 일치한다. 만약 그것의 가격이 무위험 채권의 가격과 달랐다면, 우리는 경제에 존재하는 차익거래 기회를 갖게 될 것이기 때문이다. 차익거래 기회가 생기면 어떤 거래전략을 통해 무위험 수익을 낼 수 있다는 의미다. 이 특정한 경우, 애로우-드브레우 유가증권 포트폴리오가 무위험 채권의 가격과 가격 차이가 있다면, 차익거래 전략은 저가의 유가증권을 사서 고가의 유가증권을 매도하는 것이다. 각각이 정확히 동일한 지급 프로필을 가지고 있기 때문에, 이 거래는 우리에게 순위험을 0으로 남길 것이다(우리가 동일한 지급 프로필을 동일한 양으로 사고 팔았기 때문에 한 거래의 위험은 상대방의 위험을 상쇄한다). 하지만 싼값에 사고 비싼 값에 팔고 있기 때문에 이윤을 남길 것이다. 차익거래조건은 경제에서 존재할 수 없기 때문에 무위험채권의 가격은 포트폴리오의 가격과 같다.

가격^[5] 계산

이 계산은 Arrow-Debreu 보안과 관련이 있다. 시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$의 무위험 채권 $가격$을 P${\displaystyle (t,\mathrm{t}}$ + 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle P(t,t+1)$로 부르자$.$ $t{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle t+1}$은 $본드$가 t +$$1 $displaystyle$ t+$1} 시간에 성숙$한다는 사실을 가리킨다$$$.$ 앞서 언급했듯이 무위험 채권은 A(1 $){\$ $스타일 A(1)}$의 $1주{\displaystyle }$, $A{\displaystyle (2)}$ ${\디스플레이$ 스타일 $A(2)}$의 1주 등 2개의 Arrow-Debreu 유가증권 포트폴리오에 의해 복제될 수 있다$.$

n ${\displaystyle n}$ Arrow-Debreu$$ 유가증권 가격에 수식 사용

${\displaystyle A(k)=p_{k}{\frac {u^{\premium }(C_{t+1}(k))}}{u^{\premy }(C_{t}})},~~~~~~k=1,\dots,n}$

이것은 임시직간 한계대체율의 비율(시간에 걸친 한계효과의 비율, 주 가격밀도와 가격 커널이라고도 한다)과 화살표-데브루 보안이 1단위를 지불하는 주가발생 확률의 산물이다. 포트폴리오의 가격은 간단하다.

${\displaystyle P(t,t+1)=A(1)+A(2)=p_{1}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(1))}}{u^{\premy }(C_{t})}}+p_{2}{\frac {u^{\premy }(C_{t+1}(2))}}{u^{\premy }(C_{t}}}}}}}}}$

${\displaystyle P(t,t+1)=\mathb {E} _{t}^{\mathb {P}}{{\bigg [}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1})(k)}}{u^{\premy }(C_{t}}}}}}}{\Bigg ]}}}}$

따라서, 무위험 채권의 가격은 단순히 예상가치로, 기업간 한계대체율의 확률 $측정치{\displaystyle \mathbb{}}$P${\displaystyle }$= {${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ p ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$} ${\displaystyle \mathb{P}$ =\{$p_{1},p_{$2$\}\backslash \}\}\}\}\}$에 관한 것이다. 이자율 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r$은 이제 채권 가격의 역수를 사용하여 정의된다.

${\displaystyle 1+r_{t}={\frac {1}{P(t,t+1)}}}$

그러므로, 우리는 근본적인 관계를 가지고 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{1+r}=\mathb {E} _{t}^{\mathb {P}{}}{\bigg [}{\fract {u^{\premium }(C_{t+1})(k)}}{u^{\premy }(C_{t}}}}}}}{\Bigg ]}}}}$

그것은 모든 경제에서 금리를 규정한다.

예

상태 1의 발생 확률은 1/4인 반면 상태 2의 발생 확률은 3/4라고 가정하자. 또한 가격 커널이 상태 1의 경우 0.95이고 상태 2의 경우 0.92라고 가정하십시오.^[5]

가격 커널을 ${\displaystyle {Uk}_{}}$ ${\$로 표시하십시오.$$ 그러면 두 개의 Arrow-Debreu ${\displaystyle \mathrm{증권}}$ $A{\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{A}}$( 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle A(1$), $~A(2)$가 있고 파라미터가 있다$$.

${\displaystyle p_{1}=1/4~,~~U_{1}=0.95~,}$

${\displaystyle p_{2}=3/4~~,~~U_{2}=0.92~~}$

그럼 이전 공식을 이용해서 채권 가격을 계산할 수 있어.

${\displaystyle P(t,t+1)=A(1)+A(2)=p_{1}U_{1}+p_{2}U_{2}=1/4\cdot 0.95+3/4\cdot 0.92=0.9275~.}$

그 다음 이율은 다음에 주어진다.

${\displaystyle r={\frac {1}{P(t,t+1)}-1={\frac {1}{0.9275}-1=7.82\%~}$

따라서 우리는 일단 애로우-드브루 유가증권 가격인 애로우-드브루(Arow-Debreu)의 세트가 알려지면 채권의 가격 결정과 금리 결정이 간단하다고 본다.

참고 항목

• 무위험이자율
• 경제학 주제 목록
• 블랙-숄즈 모델
• 화살-데브루 보안

참조