§ P-complete

♯P-complete
이 문서의 올바른 제목은 #P-complete입니다.# 를 치환하는 것은 기술적인 제약에 의한 것입니다.

#P-완전 문제('Sharp P complete' 또는 'Number P complete'로 발음)는 계산 복잡도 이론의 복잡도 클래스를 형성합니다.이 복잡도 클래스의 문제는 다음 두 가지 속성을 갖는 것으로 정의됩니다.

  • 문제는 #P에 있습니다. #P는 다항식 시간 비결정론적 튜링 기계의 수용 경로 수를 세는 것으로 정의될 수 있는 문제 클래스입니다.
  • 문제는 #P-hard입니다. 즉, #P의 다른 모든 문제는 튜링 감소 또는 다항식 시간 카운팅 감소를 가지고 있습니다.계수 감소는 다른 문제의 입력에서 주어진 문제의 입력으로, 그리고 주어진 문제의 출력에서 다른 문제의 출력으로, 주어진 문제에 대해 서브루틴을 사용하여 다른 문제를 해결할 수 있도록 하는 한 쌍의 다항 시간 변환입니다.튜링 리덕션은 주어진 문제에 대해 서브루틴에 다항식 수의 콜을 발신하고 이러한 콜의 외부에서는 다항식 시간을 사용하는 다른 문제에 대한 알고리즘입니다.경우에 따라서는, 정확한 수의 솔루션을 보존하는 보다 구체적인 종류의 삭감이 사용됩니다.

#P-완전 문제는 적어도 NP-완전 [1]문제만큼 어렵습니다.#P-완전 문제를 풀기 위한 다항식 시간 알고리즘이 존재한다면 P와 NP가 같다는 것을 암시함으로써 P 대 NP 문제를 해결합니다.이러한 알고리즘은 알려져 있지 않으며 그러한 알고리즘이 존재하지 않는다는 증거도 알려져 있지 않습니다.

예

#P-complete 문제의 예는 다음과 같습니다.

  • 주어진 일반적인 부울 공식을 만족시키는 변수 할당은 몇 개입니까?(#SAT)
  • 주어진 DNF 공식에 부합하는 변수 할당은 몇 개입니까?
  • 주어진 2-만족도 문제를 충족하는 변수 할당은 몇 개입니까?
  • 주어진 초당 그래프에 대해 몇 개의 완벽한 매칭이 있습니까?
  • 엔트리가 0 또는 1인 특정 매트릭스의 영속값은 얼마입니까?(01-영속성의 #P-완전성 참조).
  • 특정 그래프 G에 대해 k개의 색상을 사용하는 그래프 색칠은 몇 개 있습니까?
  • 주어진 부분 순서 집합에 대해 몇 개의 서로 다른 선형 확장이 존재합니까? 또는 그에 상응하는 방향 비순환 [2]그래프에 대해 몇 개의 서로 다른 위상 순서가 존재합니까?

이들은 모두 클래스 #P의 멤버이기도 합니다.비예시로, 각각 개별적으로 제약되지만 서로 관계가 없는 일련의 변수인 1-만족도 문제에 대한 솔루션을 계산하는 경우를 생각해 보십시오.각 변수의 옵션 수를 개별적으로 곱함으로써 솔루션을 효율적으로 계산할 수 있습니다.따라서 이 문제는 #P에 있지만 #P=FP가 아니면 #P-완료할 수 없습니다.이것은 P=NP=PH를 의미하기 때문에 놀랍습니다.

하드카운팅 버전의 간단한 문제

일부 #P-완전 문제는 쉬운(다항 시간) 문제에 해당합니다.DNF에서 부울 공식의 만족도를 결정하는 것은 간단합니다. 이러한 공식은 만족할 수 있는 결합(변수와 부정을 포함하지 않는 결합)을 포함하는 경우에만 만족할 수 있는 반면 만족할 수 있는 할당의 수는 #P-complete입니다.또한 만족스러운 과제 수를 세는 것보다 2-만족도를 결정하는 것이 쉽습니다.위상 정렬의 수를 세는 것과 대조적으로 위상 정렬은 쉽습니다.하나의 완전 일치는 다항 시간에 찾을 수 있지만 모든 완전 일치를 카운트하면 #P-완전입니다.완전일치 카운팅 문제는 1979년 레슬리 발리언트의 논문에서 #P-완전이라고 나타난 쉬운 P 문제에 대응하는 첫 번째 카운트 문제입니다.이 문제는 클래스 #P와 #P-완전 문제도 최초로 [3]정의되었습니다.

근사치

높은 확률로 일부 #P-완전 문제에 대한 근사치를 반환하는 확률론적 알고리즘이 있다.이것은 확률론적 알고리즘의 힘을 입증하는 것 중 하나이다.

많은 #P-완전 문제에는 완전 다항식 시간 랜덤화 근사 체계 또는 "FPRAS"가 있으며, 비공식적으로 문제의 크기와 필요한 정확도 모두에 대해 다항식인 시간에 임의의 정확도에 대한 근사치를 높은 확률로 생성한다.Jerrum, Valiant 및 Vazirani는 모든 #P-완전 문제가 FPRAS를 갖거나 기본적으로 근사하는 것이 불가능하다는 것을 보여주었다.정답 입력 크기의 다항식 비율 내에 #P-완전 문제의 근사치를 일관되게 생성하는 다항식 시간 알고리즘이 있다면, 그 알고리즘은 c.FPRAS를 [4]구축하기 위해 사용됩니다.

레퍼런스

  1. ^ Valiant, Leslie G. (August 1979). "The Complexity of Enumeration and Reliability Problems" (PDF). SIAM Journal on Computing. 8 (3): 410–421. doi:10.1137/0208032.
  2. ^ 를 클릭합니다Brightwell, Graham R.; Winkler, Peter (1991). "Counting linear extensions". Order. 8 (3): 225–242. doi:10.1007/BF00383444..
  3. ^ Leslie G. Valiant (1979). "The Complexity of Computing the Permanent". Theoretical Computer Science. Elsevier. 8 (2): 189–201. doi:10.1016/0304-3975(79)90044-6.
  4. ^ Mark R. Jerrum; Leslie G. Valiant; Vijay V. Vazirani (1986). "Random Generation of Combinatorial Structures from a Uniform Distribution". Theoretical Computer Science. Elsevier. 43: 169–188. doi:10.1016/0304-3975(86)90174-x.

추가 정보

  • Vazirani, Vijay V. (2003). Approximation Algorithms. Berlin: Springer. ISBN 3-540-65367-8.