스미스 관리도

Phillip H. Smith(1905–1987)^[1]^[2]가 독자적으로^[3] 발명하고 미즈하시 토사쿠가 ^[4]독자적으로 개발한 스미스 차트는 전송선과 매칭 회로의 ^[5]^[6]문제를 해결하기 위해 무선 주파수(RF) 엔지니어링을 전문으로 하는 전기 전자 기술자를 위해 설계된 그래픽 계산기 또는 노모그램입니다.Smith 차트를 사용하여 임피던스, 어드미턴스, 반사 계수, $displaystyle S_{n}(\$ displaystyle $S_{nn}\,$ S_{n},}) 산란 매개변수, 노이즈 그림 원, 일정한 게인 등고선 및 기계적 진동 ^[7]^[8]^{: 93–103}분석을 포함한 무조건 안정성을 위한 영역을 동시에 표시할 수 있습니다.Smith 차트는 유니티 반지름 영역 또는 유니티 반지름 영역 내에서 가장 자주 사용됩니다.그러나 나머지는 예를 들어 발진기 설계 ^[8]^{: 98–101}및 안정성 분석에서 사용되는 등 여전히 수학적으로 관련이 있습니다.일치하는 문제에 관련된 복잡한 수학 문제를 해결하기 위해 종이 스미스 차트를 사용하는 것이 소프트웨어 기반 방법으로 대체되었지만, 스미스 차트는 여전히 표 형식의 정보를 사용하는 대안인 RF 매개변수가 하나 이상의 주파수에서 어떻게 동작하는지 보여주는 매우^[9] 유용한 방법입니다.따라서 대부분의 RF 회로 분석 소프트웨어에는 결과 표시를 위한 Smith 차트 옵션이 포함되어 있으며, 가장 단순한 임피던스 측정 기기를 제외한 모든 기기는 Smith 차트 ^[10]디스플레이에 측정 결과를 표시할 수 있습니다.

임피던스 Smith 관리도(데이터가 표시되지 않음)

개요

Smith 차트를 보여주는 네트워크 분석기(HP 8720A).

스미스 차트는 2차원 데카르트 복소 평면의 수학적 변환입니다.양의 실제 부품을 가진 복소수가 원 안에 매핑됩니다.음의 실제 파트를 가진 사람들은 원 밖으로 지도를 그립니다.만약 우리가 음이 아닌 저항성 성분의 임피던스만을 다루고 있다면, 우리의 관심은 원 내부의 영역에 집중된다.임피던스 Smith 관리도의 변환은 다음과 같습니다.

$\Gamma = specfrac {Z-Z_{0}} {Z+Z_{0}}=specfrac {z-1}{z+1}$

$z={\frac {Z}{Z_{0}}},$ 서 z $z={\frac {Z}{Z_{0}}},$ $z={\frac {Z}{Z_{0}}},$ $z={\frac {Z}{Z_{0}}},$ 0 $z={\frac {Z}{Z_{0}}},$ , {\ $displaystyle$ z = $flac {Z}{Z_$ ${0$ $}},$ 즉 $z={\frac {Z}{Z_{0}}},$ , 기준 $Z_{0}$ 에 의해 $Z,$ 정규화된 복합 $임피던스$ $Z_{0}$ , {\ $displaystyle$ Z $Z_{0}$ 임피던스 Smith 관리도는 변환된 임피던스의 Argand 플롯입니다.음이 아닌 저항 구성 요소가 있는 임피던스는 장치 반지름의 원 안에 나타나며, 원점은 기준 임피던스 $Z_{0}$ 0 $(\$ Z_ ${0$ 에 해당합니다.

스미스 차트는 복소 반사 계수 평면에 2차원으로 표시되며, 표준화 임피던스(가장 일반적인), 표준화 어드미턴스 또는 둘 다로 스케일링할 수 있다.이러한 관리도는 각각 ^[8]^{: 97}Z, Y 및 YZ Smith 관리도로 알려져 있습니다.정규화된 스케일링을 사용하면 Smith 관리도를 차트의 중앙점으로 나타나는 특성 또는 시스템 임피던스와 관련된 문제에 사용할 수 있습니다.가장 일반적으로 사용되는 정규화 임피던스는 50옴입니다.아래에 설명된 그래픽 구조를 통해 답을 얻으면 특성 임피던스(어드미턴스)를 곱하여 정규화된 임피던스(또는 정규화된 어드미턴스)와 대응하는 비정규화된 값 사이에서 변환하는 것이 간단합니다.반사 계수는 단위 없는 파라미터이므로 차트에서 직접 읽을 수 있습니다.

스미스 차트의 둘레 또는 둘레에는 파장과 각도로 눈금이 매겨져 있습니다.파장 척도는 분산 구성 요소 문제에 사용되며 제너레이터 또는 소스 사이에 연결된 전송 선로를 따라 측정된 거리 및 고려 중인 지점까지의 부하를 나타냅니다.도 스케일은 해당 지점의 전압 반사 계수의 각도를 나타냅니다.Smith 관리도는 또한 일괄 요소 일치 및 분석 문제에도 사용할 수 있습니다.

Smith 차트를 사용하고 이를 사용하여 얻은 결과를 해석하려면 AC 회로 이론과 송전선 이론을 잘 이해해야 합니다. 두 가지 모두 RF 엔지니어의 전제 조건입니다.

빈도에 따라 임피던스 및 어드미턴스가 변화하므로 Smith 관리도를 사용하는 문제는 한 번에 하나의 주파수를 사용하여 수동으로 해결할 수 있으며, 그 결과는 한 점으로 나타납니다.이는 협대역 어플리케이션(통상은 약 5~10%의 대역폭)에 적합한 경우가 많지만, 광대역폭에서는 통상 동작 주파수 대역 전체에서 여러 주파수로 Smith 차트 기법을 적용해야 합니다.주파수가 충분히 가까운 경우 결과 Smith 차트 점은 직선으로 결합되어 궤적을 생성할 수 있습니다.

주파수 범위를 포함하는 Smith 차트에서 점의 궤적을 사용하여 다음을 시각적으로 나타낼 수 있습니다.

부하가 주파수 범위에서 얼마나 용량적 또는 얼마나 유도적인가
다양한 주파수에서 매칭이 얼마나 어려울 것 같음
특정 컴포넌트가 얼마나 잘 일치하는지.

스미스 차트의 정확도는 임피던스 또는 어드미턴스의 큰 궤적을 수반하는 문제의 경우 감소하지만, 이러한 것들을 수용하기 위해 개별 영역에 대해 스케일링을 확대할 수 있다.

수학적 기초

임피던스 Smith 관리도의 가장 기본적인 사용.파형은 임피던스Z_L 및 정규화된 임피던스z=Z_L/Z의₀ 부하로 종단되는 특성 임피던스Z의₀ 전송로를 따라 이동한다.계수가 δ인 신호 반사가 있습니다.Smith 차트의 각 점은 z 값(왼쪽 아래)과 대응하는 Ω 값(오른쪽 아래)을 동시에 나타내며, z=(1 + Ω)/(1 - Ω)과 관련이 있습니다.

실제 및 정규화된 임피던스와 어드미턴스

특성 임피던스가 $displaystyle Z_{0},})$ 인 $Z_{0}\,$ 전송선은 일반적으로 $displaystyle Y_{0})$ 의 $Y_{0}\,$ $Y_{0}\,$ 어드미턴스를 갖는 것으로 간주됩니다.

{\displaystyle Y_{0}=black {1}{Z_{0}},

임의의 임피던스, $Z_{\text{T}}\,$ T $style$ Z_ ${\text})$ $옴$ 으로 표현되는 T $}},}$ 은 $Z_{\text{T}}\,$ 특성 임피던스로 나누어 정규화할 수 있으므로, 소문자_T z를 사용한 정규화된 임피던스는 다음과 같이 주어진다.

\displaystyle z_{\text{T}} = flac {Z_{\text{}T}} {Z_{0}},}

마찬가지로, 정규화된 입원의 경우

\displaystyle y_{\text{T}} = flac {Y_{\text{}T}} {Y_{0}},}

임피던스의 SI 단위는 그리스어 대문자 오메가(Ω) 기호의 옴이고 어드미턴스 SI 단위는 대문자 S 기호의 지멘스입니다.정규화된 임피던스와 정규화된 어드미턴스는 차원이 없습니다.Smith 차트에서 사용하기 전에 실제 임피던스와 어드미턴스를 정규화해야 합니다.결과를 얻으면 실제 결과를 얻기 위해 비정규화할 수 있습니다.

정규화된 임피던스 Smith 관리도

단선(상부) 및 단락(하단)으로 종단된 전송 선로.펄스는 두 종단 모두에서 완벽하게 반사되지만 반사된 전압의 부호는 두 경우 반대입니다.검은 점은 전자를 나타내고 화살표는 전기장을 나타냅니다.

전송 라인 이론을 사용하여 전송 라인이 임피던스로 종단된 경우( $Z_{\text{T}}\,$ T {\ $displaystyle Z_{\text})$ $특성$ 임피던스( $Z$ 0 $Z_{0}\,$ displaystyle $Z_{0},})$ 와는 다른 T $Z_{\text{T}}\,$ 입사 또는 순방향( $V_{\text{F}}\,$ F $displaystyle V_{\text})$ 의 결과로 구성된 라인에 정재파가 형성됩니다. $F$ 및 반사 또는 반전( $V_{\text{R}}\,$ R $V_{\text{R}}\,$ {\ $displaystyle V_{\text{\$ text}) $R$ 파도.복잡한 지수 표기법 사용:

display

F}}=A\exp(j\omega

t

)\exp\exp

\exp\exp\exp \

ell

)~,}

및

\displaystyle V_{\text{R}} = B \ exp ( j \ 메가 t ) \ exp \ exp \ exp \ }

어디에

\exp(j\omega t)\,

\exp(j\omega t)\,

( j

\exp(j\omega t)\,

t

\exp(j\omega t)\,

) {

display

\

exp

(

j

\

메가

t

\exp(j\omega t)\,

) }는

\exp(j\omega t)\,

파형의 시간 부분입니다.

\exp(\pm \gamma \ell )\,

exp

\exp(\pm \gamma \ell )\,

±

）{

displaystyle \exp(\pm

\exp

(\

pm \exp \

ell),}

는

\exp(\pm \gamma \ell )\,

파형의 공간 부분이며,

\omega =2\pi f\,

=

\omega =2\pi f\,

f ( \

displaystyle

\ omega =

\omega =2\pi f\,

2 \

pi

f

\omega =2\pi f\,

, )

\omega =2\pi f\,

{\

{

displaystyle

\

\omega \,

omega }는

\omega\,

초당 라디안(rad/s) 단위의 각 주파수입니다.

f\,

{\

displaystyle

f

}

는

f\,

헤르츠(Hz) 단위의 주파수입니다.

\

t

,

는

t\,

초단위의 시간입니다.

(

A

,)

와

A\,

B\,

B

(

B,)는 상수입니다.

§

{\displaystyle

\ell

}

은

\ell \,

부하에서 발전기까지 전송로를 따라 측정된 거리(m)입니다.

또한.

=

\gamma =\alpha +j\beta \,

+

β

{

displaystyle

\

displaystyle =\alpha +

j\display

}

는 1/m

\gamma =\alpha +j\beta \,

단위의 전파 상수입니다.

어디에

\alpha \,

α

(\

는

\alpha \,

미터당 네퍼 단위의 감쇠 상수(Np/m)입니다.

\beta \,

β

(\

\

displaystyle,

)는 위상 상수(rad/m)입니다.

Smith 차트는 한 번에 $\omega$ 의 주파수 $(\displaystyle \obega$ 로 사용되며, 한 번에 한 $모멘트$ $\exp(j\omega t)\,$ $displaystyle$ t $)$ 만 사용됩니다.따라서 위상(\ $displaystyle$ \ $exp(j\$ t $),\displaystyle$ \exp $(j$ \obe t $\exp(j\omega t)\,$ 의 시간 $\exp(j\omega t)\,$ 은 고정됩니다.실제로는 모든 항에 이를 곱하여 순간 위상을 구하지만, 이를 생략하는 것이 관례이며 이해되고 있습니다.그러므로,

V_{\text{F}}=A\exp(+\gamma \ell )\,

F}}=A\exp(+\gamma\ell),}

및

V_{\text{F}}=A\exp(+\gamma \ell )\,

\displaystyle V_{\text{R}}=B\exp(-\gamma\ell),}

$A\,$ 서 A $(\$ A $,)$ 와 $A\,$ B $(\$ B $)$ 는 $B\,$ 각각 부하 시 정방향 및 역방향 전압 진폭입니다.

선을 따라 위치에 따른 복합 반사 계수의 변동

무손실 전송선의 길이

\ell \,

(\

displaystyle\ell)

를

\ell \,

통해 부하를 바라보면 파란색 원에 이어

(\

가

\ell \,

증가함에 따라 임피던스가 변화합니다.(이 임피던스는

V_{\text{reflected}}/V_{\text{incident}}

V_{\text{reflected}}/V_{\text{incident}}

가

V_{\text{reflected}}/V_{\text{incident}}

반영됨/

V_{\text{reflected}}/V_{\text{incident}}

사고

(\

에 의해 특징지어집니다).

V_{\text{reflected}}/V_{\text{incident}}

임피던스 Smith 차트 내에서 중심에 있는 파란색 원을 SWR 원(정체파 비율의 약자)이라고 부르기도 합니다.

복소전압반사계수 $\Gamma \,$ (\ $displaystyle\Gamma)$ 는 $\Gamma \,$ 입사(또는 순방향)파에 대한 반사파의 비율로 정의됩니다.그러므로,

\displaystyle \Gamma = flac {V_{\text{R}}{V_{\text{F}}}} = flac {B\exp(-\gamma \ell)} {A\exp(+\gamma \ell)} = C\exp(-2\gamma \ell) ,}

$여기$ 서 C는 상수이기도 합니다.

균일전송선로( $\$ )는 $\gamma \,$ 정재파의 복소반사계수가 선로상의 위치에 따라 변화한다.선이 손실된 경우( $\alpha \,$ { $style$ \alpha $}$ 가 $\alpha \,$ 0이 아님) 이는 Smith 차트에 나선형 경로로 표시됩니다.그러나 대부분의 Smith 차트 문제에서 손실은 무시할 수 있다고 가정할 수 있으며( $\alpha =0\,$ $\alpha =0\,$ \ $displaystyle \alpha$ = $0,$ $\alpha =0\,$ ) 이러한 문제를 해결하는 작업은 매우 단순하다.따라서 무손실 사례의 경우, 복합 반사 계수에 대한 식은

\displaystyle \Gamma = \Gamma _{\text{L}}\exp(-2j\beta\ell),}

$\Gamma _{\text{L}}\,$ 서 L $displaystyle\Gamma_{\text{$ $L}},}$ 은 $\Gamma _{\text{L}}\,$ 하중에서의 반사계수이고, ${\$ { $displaystyle \ell }$ 은 $\ell \,$ 하중에서 반사계수가 측정되는 위치까지의 선길이입니다. $(\$ 는 $\beta \,$ 다음과 같이 기술할 수도 있습니다.

{\displaystyle \displaystyle = displayfrac {2\pi }{\displayda }},

여기서 $\lambda \,$ (\ $displaystyle \displayda$ )는 $\lambda \,$ 테스트 주파수에서 전송 라인 내의 파장입니다.

그러므로,

\displaystyle \Gamma = \Gamma _{\text{L}}\exp \left({\frac {-4j\pi }{\lambda}}}\ell \right},

이 방정식은 정재파의 경우 복잡한 반사계수와 임피던스가 전송선을 따라 매 반 파장마다 반복된다는 것을 보여줍니다.복소반사계수는 일반적으로 단순히 반사계수라고 한다.Smith 차트의 외주 척도는 발생기에서 부하까지의 거리를 파장 단위로 나타내며, 따라서 0에서 0.50까지 척도가 조정됩니다.

라인에 따른 위치에 따른 정규화된 임피던스의 변화

V $({$ V $})$ 와 $V\,$ $I\,$ I({ $displaystyle$ I})가 $I\,$ 각각 전송 라인의 끝에서 종단부에 들어가는 전압과 전류인 $V\,$ ,

V_{\text{F}}+V_{\text{R}}=V\,

F}}+V_{\text{

R}}=V,}

및

V_{\text{F}}+V_{\text{R}}=V\,

V_{\text{F}}-V_{\text{R}}=Z_{0}I\,

F}}-V_{\text{

R}}=Z_{0}I

이 방정식을 나누고 전압 반사 계수를 모두 대입하여

\displaystyle \Gamma = flac {V_{\text{R}}{V_{\text{F}}}}}}},

및 소문자 z, 첨자 T로 표현되는 종단부의 정규화된 임피던스

\displaystyle z_{\text{T}} = flac {V} {Z_{0}I}}},

결과는 다음과 같습니다.

displaystyle

T}}=paramfrac {1+\Gamma}{1-\Gamma

또는 반사계수의 관점에서

\displaystyle \Gamma = flac {z_{\text{T}}-1}{z_{\text{T}}+1}},

Z Smith 관리도를 구성하는 데 사용되는 방정식입니다.수학적으로 $\Gamma \,$ { $display$ style \ $Gamma$ } $z_{\text{T}}\,$ $z_{\text{T}}\,$ T $z_{\text{T}}\,$ { \ $display$ style z _ { \ $text$ } $T}},}$ 은 $z_{\text{T}}\,$ (는) 뫼비우스 변환을 통해 관련됩니다.

$\Gamma \,$ { $displaystyle$ \ $Gamma }$ $z_{\text{T}}\,$ z $z_{\text{T}}\,$ { \ $displaystyle$ z _ { \ $text$ } 둘 다 $T}},}$ 은 $z_{\text{T}}\,$ (는) 단위 없이 복소수로 표현됩니다.둘 다 주파수에 따라 변하기 때문에 특정 측정에 대해 수행된 주파수는 특성 임피던스와 함께 명시되어야 합니다.

$γ$ { $displaystyle$ \ Gamma $\Gamma \,$ }는 $\Gamma \,$ 극도상에 크기와 각도로 표현될 수 $\Gamma \,$ .모든 실제 반사 계수는 단일성 이하의 크기를 가져야 하므로 테스트 주파수에서 단일성 반지름의 원 안에 있는 점으로 나타낼 수 있습니다.스미스 차트는 실제로 그러한 극성 다이어그램에 구성되어 있습니다.Smith 차트 스케일링은 반사 계수를 정규화된 임피던스로 변환하거나 그 반대로 변환할 수 있도록 설계되었습니다.Smith 관리도를 사용하면 Smith 관리도를 극성 다이어그램으로 취급하는 반사 계수를 나타내는 점을 표시한 다음 특성 Smith 관리도의 스케일링을 사용하여 그 값을 직접 읽어냄으로써 정규화된 임피던스를 상당히 정확하게 얻을 수 있습니다.이 기술은 방정식의 값을 대체하는 그래픽 대안입니다.

비길 데 없는 무손실 전송로를 따라 반사 계수가 어떻게 변화하는지에 대한 식을 대체함으로써

({displaystyle\Gamma\exp(-\gamma\ell)}{A\exp(\gamma\ell)}={A\exp(-j\beta\ell)}}},

무손실 사례의 경우 반사 계수의 관점에서 정규화된 임피던스를 위한 방정식으로

displaystyle

T}}=paramfrac {1+\Gamma}{1-\Gamma

오일러의 공식을 이용해서

\displaystyle \exp(j\theta)=\cos \theta +j\sin \theta,}

는 무손실 경우의 ^[11]임피던스 버전 전송 라인 방정식을 나타냅니다.

Z_{\text{in}}=Z_{0}{\frac {Z_{\text{}L}}+jZ_{0}\tan(\beta\ell)}{Z_{0}+jZ_{\text{L}}\tan(\beta\ell)}},

$여기$ 서 \ $displaystyle Z_{\text{in}}$ 의 $Z_{\text{in}}\,$ $Z_{\text{in}}\,$ 는 길이 $\ell$ θ의 무손실 전송 $\ell$ 입력에서 나타나는 임피던스이며, $Z_{\text{L}}\,$ $Z_{\text{L}}\,$ L(\ $displaystyle Z_{\text})$ 로 끝납니다. $L}},},}$

전송로 방정식의 버전은 어드미턴스 손실 프리 케이스 및 임피던스 및 어드미턴스 손실 케이스에 대해 유사하게 도출될 수 있다.

Smith 차트는 전송 라인 방정식을 사용하는 것과 동등한 그래픽을 $Z_{\text{L}}\,$ 하여 Z $L을 정규화합니다.$ $L$ Z Smith 관리도에 결과 점을 표시하고 Smith 관리도의 중심을 중심으로 한 점을 통해 원을 그립니다.원의 호를 따른 경로는 전송 라인을 따라 이동하는 동안 임피던스가 어떻게 변화하는지 나타냅니다.이 경우 원주파(파장) 스케일링을 사용해야 하며, 이 스케일링은 전송선 내의 파장이며 자유 공간 파장과 다를 수 있습니다.

Z Smith 관리도의 영역

극좌표도가 데카르트 좌표계에 매핑된 경우, 양의 각도에 대해 시계 반대 방향으로 x축에 상대적인 각도를 측정하는 것이 일반적입니다.복소수의 크기는 원점에서 점을 나타내는 직선의 길이입니다.Smith 관리도는 정규화된 임피던스 평면에서 양의 x 축이 Smith 관리도의 중심에서 z $z_{\text{T}}=1\pm j0\,$ $z_{\text{T}}=1\pm j0\,$ $z_{\text{T}}=1\pm j0\,$ ± $z_{\text{T}}=1\pm j0\,$ 0(\ $displaystyle z_{\text{\$ text})으로 연장된다는 점에 주목하여 동일한 규칙을 사용합니다. $T}}=1\pm$ j0 $,}$ 에서 $z_{\text{T}}=1\pm j0\,$ z $z_{\text{T}}=\infty \pm j\infty \,$ $z_{\text{T}}=\infty \pm j\infty \,$ $z_{\text{T}}=\infty \pm j\infty \,$ ± $z_{\text{T}}=\infty \pm j\infty \,$ z_ ${\text{\$ text}) 지점까지T $}}=\infty \pm$ j $\infty$ $z_{\text{T}}=\infty \pm j\infty \,$ X축 위의 영역은 유도 임피던스(양수 가상 부분)를 나타내며, X축 아래의 영역은 용량 임피던스(음수 가상 부분)를 나타냅니다.

종단이 완벽하게 일치할 경우 반사 계수는 0이 되며, 사실상 0 반지름의 원 또는 스미스 관리도의 중심에 있는 점으로 효과적으로 표현됩니다.터미네이션이 완전 개방 회로 또는 단락 회로일 경우 반사 계수의 크기가 통일성이며 모든 전력이 반사되어 점이 통일 원주상의 어느 지점에 위치하게 됩니다.

일정한 정규화 저항과 일정한 정규화 리액턴스의 원

정규화 임피던스 스미스 관리도는 일정한 정규화 저항의 원과 일정한 정규화 리액턴스의 원이라는 두 개의 원 패밀리로 구성됩니다.복합 반사 계수 평면에서 스미스 관리도는 원점을 중심으로 하는 통일 반지름의 원을 차지합니다.따라서 데카르트 좌표에서 원은 x축의 점(+1,0)과 (-1,0)과 y축의 점(0,+1)과 (0,-1)을 통과합니다.

$(\displaystyle$ \ $Gamma)$ 와 $\Gamma$ z $(\$ z $,)$ 는 $z\,$ 모두 복소수이므로 일반적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

{{displaystyle z=a+jb}

{\displaystyle\Gamma=c+jd,}

a, b, c 및 d의 실수가 포함되어 있습니다.

이를 정규화된 임피던스와 복소반사계수에 관련된 방정식에 대입하면 다음과 같습니다.

{\displaystyle \Gamma = flac {z-1}{z+1},

는 다음과 같은 결과를 나타냅니다.

]({\displaystyle

}}\right]+j\left[{\frac {2b}{(a+1)^{2}+b

}}\right

이는 복소반사계수가 정규화된 임피던스에 따라 어떻게 변화하는지 설명하는 방정식으로,^[12] 두 원의 패밀리를 모두 구성하는 데 사용될 수 있습니다.

Y Smith 관리도

Y Smith 차트는 Z Smith 차트의 경우와 유사한 방식으로 구성되지만 정규화된 임피던스 대신 정규화된 어드미턴스로 전압 반사 계수 값을 표현합니다.정규화된 어드미턴스_T y는 정규화된 임피던스_T z의 역수입니다.

\displaystyle y_{\text{T}}=flac {1}{z_{\text{T}}}}}}}},

그 때문에,

\displaystyle y_{\text{T}}=paramfrac {1-\Gamma}{1+\Gamma}},}

그리고.

\displaystyle \Gamma = flac {1-y_{\text{\text}T}} {1+y_{\text{T}}}}}}}},

Y Smith 차트는 정규화된 임피던스 유형처럼 보이지만 그래픽 스케일링을 180° 회전시키면 숫자 스케일링은 변경되지 않습니다.

x축 위의 영역은 용량 어드미턴스를 나타내고 x축 아래의 영역은 유도 어드미턴스를 나타냅니다.용량 어드미턴스는 양의 가상 부분을 가지며 유도 어드미턴스는 음의 가상 부분을 가진다.

종단이 완벽하게 일치할 경우 반사 계수는 0이 되며, 반지름이 0인 '원' 또는 사실상 스미스 관리도의 중심에 있는 점으로 표시됩니다.터미네이션이 완전 개방 또는 단락 회로일 경우 전압 반사 계수의 크기는 통일성이며, 모든 전력이 반영되며 지점은 Smith 차트의 통일 원주상의 어느 지점에 위치하게 됩니다.

실용적인 예

정규화된 임피던스 Smith 관리도에 표시된 예제 점

반사계수 매그니튜드가 0.63이고 각도가 60°인 $0.63\angle 60^{\circ }\,$ 이 0 $.$ 60 $0.63\angle 60^{\circ }\,$ { \ $displaystyle$ 0 . $63$ \ angle $60$ ^ { \ circ $0.63\angle 60^{\circ }\,$ } , , , , $0.63\angle 60^{\circ }\,$ } 로서 극성 형태로 표현된 점은 Smith 관리도에 점 P₁ 로 표시됩니다.이를 플롯하기 위해 원주(반사계수) 각도 스케일을 $\angle 60^{\circ }\,$ 하여 $\angle 60^{\circ }\,$ § 60 $displaystyle \angle$ 60 $^{\circ },})$ 눈금을 $\angle 60^{\circ }\,$ 구하고 이 눈금 및 스미스 차트의 중심을 통과하는 선을 그릴 수 있습니다.그 후 Smith 차트의 반지름을 통일이라고 가정하여 선의 길이가 P로₁ 스케일링됩니다.예를 들어, 종이로 측정한 실제 반경이 100mm일 경우 길이₁ OP는 63mm가 됩니다.

다음 표에는 Z Smith 관리도에 표시된 점의 유사한 예가 나와 있습니다.각 반사계수는 대응하는 정규화 임피던스와 함께 직사각형 형태로 극성 형태로 주어진다.변환은 스미스 차트에서 직접 읽거나 방정식으로 대체하여 읽을 수 있다.

정규화된 임피던스 Smith 관리도에 표시된 점의 일부 예
포인트 아이덴티티	반사계수(극형식)	정규화된 임피던스(직사각형 형식)
P₁(유도)	$0.63\angle 60^{\display },$	$(\displaystyle 0.80+j1).40\,}$
P₂(유도)	$0.73\angle 125^{\display },$	$(\displaystyle 0.20+j0).50\,}$
P₃(용량)	$(\displaystyle 0.44\angle - angle^{\display },}$	$(\displaystyle 0.50-j0).50\,}$

Z Smith 관리도와 Y Smith 관리도를 모두 사용하여 작업

RF 회로 및 매칭 문제에서는 어드미턴스(컨덕턴스 및 감도 표시)로 작업하는 것이 더 편리할 때도 있고 임피던스(저항 및 리액턴스 표시)로 작업하는 것이 더 편리할 때도 있습니다.일반적인 일치 문제를 해결하려면 직렬 요소에 대해 정규화된 임피던스를 사용하고 병렬 요소에 대해 정규화된 어드미턴스를 사용하여 두 유형의 Smith 차트 간에 몇 가지 변경이 필요한 경우가 많습니다.이 경우 이중(정규화된) 임피던스 및 어드미턴스 스미스 차트를 사용할 수 있습니다.또는 한 유형을 사용하고 필요에 따라 스케일링을 다른 유형으로 변환할 수 있습니다.정규화된 임피던스에서 정규화된 어드미턴스로 또는 그 반대로 변화하기 위해 고려 중인 반사계수 값을 나타내는 점을 같은 반경에서 정확히 180도 이동시킨다.예를 들어 0 $0.63\angle 60^{\circ }\,$ $0.63\angle 60^{\circ }\,$ 60 $0.63\angle 60^{\circ }\,$ { $displaystyle$ 0. $63$ \ $angle$ 60^ { \ $argle }$ , , , } 의 $0.63\angle 60^{\circ }\,$ 예에서 P1 의 $z_{P}=0.80+j1.40\,$ P $=$ 0 $.$ 80 + $z_{P}=0.80+j1.40\,$ 1. $40$ { $displaystyle z_{P}$ = $z_{P}=0.80+j1.40\,$ 0.80+ $j1$ 입니다. $40$ 이를 동등한 정규화된 진입점(Q1)으로 그래픽으로 변경하려면 P1에서 스미스 차트 중앙을 지나 Q1까지, 반대 방향으로 동일한 반지름으로 선을 그립니다.이는 점을 정확히 180도의 원형 경로를 통해 이동하는 것과 같습니다.Smith 차트에서 Q1에 대한 값을 읽으면 스케일링이 이제 정규화된 어드미턴스 상태임을 기억하면 $y_{P}=0.30-j0.54\,$ P $=$ . $y_{P}=0.30-j0.54\,$ - $y_{P}=0.30-j0.54\,$ 0. $y_{P}=0.30-j0.54\,$ ${$ 0. $30-j0이$ . $54$ 계산 수행

\displaystyle y_{\text{T}}=flac {1}{z_{\text{T}}}}}}}},

수동으로 확인합니다.

임피던스에서 어드미턴스로의 변환이 실행되면 나중에 다시 정규화된 임피던스로의 변환이 실행될 때까지 스케일링이 정규화된 어드미턴스로 변경됩니다.

아래 표는 점을 180° 회전하여 얻은 정규화된 임피던스와 그에 상응하는 정규화된 어드미턴스의 예를 보여준다.다시 계산하거나 그림과 같이 스미스 차트를 사용하여 정규화된 임피던스와 정규화된 어드미턴스 평면을 변환하여 얻을 수 있습니다.

정규화된 임피던스 및 동등한 정규화된 어드미턴스로서의 반사계수 값
정규화된 임피던스 평면	정규화된 어드미턴스 플레인
P₁( $z=0.80+j1.40\,$ $z=0.80+j1.40\,$ $z=0.80+j1.40\,$ + $z=0.80+j1.40\,$ 1. $z=0.80+j1.40\,$ { $displaystyle$ z $= 0.80$ + $j1.$ $40$	$y=0.30-j0.54\,$ ( y $y=0.30-j0.54\,$ - $y=0.30-j0.54\,$ 0. $y=0.30-j0.54\,$ $\$ $displaystyle$ y $= 0.30$ - j0 $)$ $54$
P₁₀ ( $z=0.10+j0.22\,$ $z=0.10+j0.22\,$ $z=0.10+j0.22\,$ $z=0.10+j0.22\,$ 0. $z=0.10+j0.22\,$ ${$ z $= 0.10$ + $j0.$ $22$	$y=1.80-j3.90\,$ ( y $y=1.80-j3.90\,$ $y=1.80-j3.90\,$ $y=1.80-j3.90\,$ 3. $y=1.80-j3.90\,$ ${$ y $= 1.80$ - j3 $y=1.80-j3.90\,$ ） $90$

정규화 임피던스 스미스 관리도에 표시된 복합 반사 계수 값과 정규화 어드미턴스 스미스 관리도에 표시된 등가 값

Smith 관리도 유형 및 성분 유형 선택

특정 계산에 Z Smith 관리도를 사용할지 Y Smith 관리도를 사용할지 여부는 어느 것이 더 편리한지에 따라 달라집니다.직렬 임피던스와 병렬 어드미턴스는 상호 방정식으로 관련지어집니다. $Z_{\text{TS}}$ TS의 경우(\ $displaystyle Z_{\text{\$ text}) $TS}}$ 는 $Z_{\text{TS}}$ 직렬 임피던스와 $Z_{\text{TP}}$ $(\$ })의 $Z_{\text{TP}}$ 등가 임피던스입니다. $TP}}}$ 은 $Z_{\text{TP}}$ 병렬 임피던스의 등가 임피던스입니다.

\style Z_{\text{\displaystyle}TS}}=Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}+...\,}

{1}{Z_{\text}TP}}}}=flac {1}{Z_{1}}+{\frac {1}{Z_{2}}+{\frac {1}{Z_{3}}+...\,

입학의 경우 그 반대, 즉

\displaystyle Y_{\text{TP}}=Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}+...\,}

{\displaystyle\frac{1}{Y_{\text{\text}TS}}}}}=black{1}{Y_{1}}+{\frac {1}{Y_{2}}+{\frac {1}{Y_{3}}}+...\,}

특히 복소수에서의 역수를 처리하는 것은 선형 덧셈을 사용하는 것보다 시간이 많이 걸리고 오류가 발생하기 쉽습니다.따라서 일반적으로 대부분의 RF 엔지니어는 회선 지형이 선형 추가를 지원하는 평면에서 작업합니다.다음 표는 저항, 인덕턴스 및 캐패시턴스의 3가지 기본 패시브 회로 소자 각각에 대한 임피던스(실제 및 정규화)와 어드미턴스(실제 및 정규화)에 대한 복잡한 표현입니다.특성 임피던스(또는 특성 어드미턴스)와 테스트 주파수만을 사용하여 등가 회로를 찾을 수 있으며, 그 반대도 마찬가지입니다.

임피던스 및 어드미턴스 표현
*임피던스*₀ Z 또는 *어드미턴스*₀ Y로 정규화
요소 유형	임피던스(Z 또는 z) 또는 리액턴스(X 또는 x)		어드미턴스(Y 또는 y) 또는 서셉턴스(B 또는 b)
요소 유형	Real ( $\Omega \,$ \ $displaystyle$ \ $Omega$ , $\Omega \,$ )	정규화(단위 없음)	리얼(S)	정규화(단위 없음)
저항(R)	$Z=R,$	$z=syslogfrac {R}{Z_{0}}=RY_{0},$	${\displaystyle Y=G=black {1}{R}},$	${\displaystyle y=g=black{1}{RY_{0}}=black {Z_{0}}{R}},$
인덕턴스(L)	$Z=jX_{\text}L}}=j\omega L,$	$\displaystyle z=jx_{\text{L}}=j{\frac {\frac {{Z_{0}}=j\opega LY_{0},}$	$Y=-jB_{\text}L}} = flac {-j} {\omega L}$	$\displaystyle y=-jb_{\text{L}} = flac {-j} {\obega LY_{0}} = flac {-jZ_{0}} {\obega L}},$
캐패시턴스(C)	$Z=-jX_{\text{\text}C}} = flac {-j} {\omega C}},$	$z=-jx_{\text{C}} = specfrac {-j} {\omega CZ_{0}} = specfrac {-jY_{0}} {\omega C}},$	$Y=jB_{\text}C}}=j\omega C,$	$\displaystyle y=jb_{\text{C}}=j{\frac{{mega C}{Y_{0}}=j\omega CZ_{0},}$

Smith 관리도를 사용하여 분산된 성분의 켤레 일치 문제 해결

분산 매칭이 가능해지며 매칭 컴포넌트의 물리적인 크기가 동작 주파수에서 파장의 약 5%를 초과할 때 필요할 수 있습니다.여기서는 많은 구성 요소의 전기적 동작을 예측할 수 없게 됩니다.이는 마이크로파 회로에서 발생하며, 고출력으로 단파, FM 및 TV 방송의 대형 컴포넌트가 필요할 때 발생합니다.

분산된 구성 요소의 경우, 전송 라인을 따라 이동하는 반사 계수 및 임피던스에 대한 영향이 파장으로 보정된 스미스 차트의 외부 원주 척도를 사용하기 위해 허용되어야 합니다.

다음 예시는 임의의 부하로 종단된 전송선을 하나의 주파수에서 정확한 위치에 연결된 각 케이스의 직렬 또는 병렬 반응 구성요소와 일치시킬 수 있는 방법을 보여 줍니다.

일부 분산 전송 선로 매칭을 위한 Smith 차트 구성

800MHz의 주파수로 동작하는 특성 $Z_{0}=50\ \Omega$ $Z_{0}=50\ \Omega$ 0 $=$ $Z_{0}=50\ \Omega$ ${display Z_{0$ }= $50\$ Omega $Z_{0}=50\ \Omega$ 의 $\Omega$ 무손실 공기 주입 전송로를 6.5NHz의 직렬 17. $(\displaystyle \Omega})$ 저항으로 이루어진 회로로 종단한다.회선은 어떻게 조합할 수 있습니까?

위의 표에서 800MHz에서 종단부의 일부를 형성하는 인덕터의 리액턴스는

({displaystyle Z_{L}=j\omega L=j2\pi fL=j32.7\\Omega })

조합의 임피던스( $Z_{T}$ T { $displaystyle Z_{T$ 는 다음과 같습니다.

Z_{T}=17.5+j32.7 \ \ Omega \ ,

정규화된 임피던스( $z_{T}$ T $z_{T}$ { $style z_{T$ 는

{\displaystyle z_{T} = flac {Z_{T}}{Z_{0}}=0.35+j0.65},

이 값은 Z Smith 관리도의 P 지점에₂₀ 표시됩니다.어디 그것은 요점에서 L1=}0.098λ{\displaystyle L_{1}=0.098\lambda \,과 교차함에 따라 송신선 손실은 자유로워 있는 라인 OP20을 통해 파장이 크기로. 연장되면 원을 스미스 차트의 중심에 오도록 그 점을 통해 P20의 고질적인 진도 반사 계수 마치의 경로를 나타내도록 그려진다.eto 종료.P 지점에서₂₁ 원은 일정한 정규화 저항의 단일 원과 교차합니다.

=

52

라인₂₁ OP의 연장은 L $L_{2}=0.177\lambda \,$ $=$ 0. $L_{2}=0.177\lambda \,$ { $displaystyle L_{2}= 0$ .177\ $lambda$ \ , , , $L_{2}=0.177\lambda \,$ 에서 파장 스케일과 교차합니다. 따라서 라인상의 종단에서 이 지점까지의 거리는 다음과 같습니다.

({displaystyle L_{2}-L_{1}=0.177\lambda-0.098\lambda=0.079\lambda,})

전송 라인은 공극이기 때문에 라인 내의 800MHz 파장은 빈 공간과 동일하며 다음과 같이 표시됩니다.

\displaystyle \displayda = displayfrac {c}{f}},

$c\,$ 서 $c\,$ c {\ $displaystyle$ c $,}$ 는 $c\,$ 빈 공간에서의 전자파 복사 $f\,$ 이고 $f\,$ f {\ $displaystyle$ f $,}$ 는 $f\,$ 헤르츠 단위의 주파수입니다.그 결과 $\lambda =375\ \mathrm {mm} \,$ $\lambda =375\ \mathrm {mm} \,$ $displaystyle \displayda$ = $375\\mathrm {mm}$ $\lambda =375\ \mathrm {mm} \,$ 이 나와 일치하는 구성 요소의 위치가 하중으로부터 29.6mm가 됩니다.

P₂₁( $z_{match}\,$ $z_{match}\,$ $z_{match}\,$ $z_{match}\,$ c $z_{match}\,$ { $displaystyle z$ _ { $match$ } , $z_{match}\,$ )에서의 임피던스의 켤레 매칭은 다음과 같습니다.

z_{match}=-j(1.52),\!

Smith 차트는 여전히 정규화된 임피던스 평면에 있으므로 직렬 $C_{m}\,$ $displaystyle C_{m},})$ 위의 $C_{m}\,$ 테이블에서 다음과 같이 해야 합니다.

({displaystyle z_{match}=-j1.52=black {-j}{\obega C_{m}Z_{0}}=black {-j}{2\pi fC_{m}Z_{0}}},},}

재배열로, 우리는

C_{m}={\frac {1}{(1.52)\omega Z_{0}}}={\frac {1}{(1.52)(2\pi f)Z_{0}}}

m

C_{m}={\frac {1}{(1.52)\omega Z_{0}}}={\frac {1}{(1.52)(2\pi f)Z_{0}}}

C_{m}={\frac {1}{(1.52)\omega Z_{0}}}={\frac {1}{(1.52)(2\pi f)Z_{0}}}

52)

C_{m}={\frac {1}{(1.52)\omega Z_{0}}}={\frac {1}{(1.52)(2\pi f)Z_{0}}}

Z

C_{m}={\frac {1}{(1.52)\omega Z_{0}}}={\frac {1}{(1.52)(2\pi f)Z_{0}}}

C_{m}={\frac {1}{(1.52)\omega Z_{0}}}={\frac {1}{(1.52)(2\pi f)Z_{0}}}

1

C_{m}={\frac {1}{(1.52)\omega Z_{0}}}={\frac {1}{(1.52)(2\pi f)Z_{0}}}

52) (

C_{m}={\frac {1}{(1.52)\omega Z_{0}}}={\frac {1}{(1.52)(2\pi f)Z_{0}}}

C_{m}={\frac {1}{(1.52)\omega Z_{0}}}={\frac {1}{(1.52)(2\pi f)Z_{0}}}

)

C_{m}={\frac {1}{(1.52)\omega Z_{0}}}={\frac {1}{(1.52)(2\pi f)Z_{0}}}

Z 0 (

C_{m}={\frac {1}{(1.52)\omega Z_{0}}}={\frac {1}{(1.52)(2\pi f)Z_{0}}}

µf

C_{m}={\frac {1}{(1.52)\omega Z_{0}}}={\frac {1}{(1.52)(2\pi f)Z_{0}}}

0 (

1.52)

\

obega Z_{

0} =

superfrac

{1} {

1.

52) (

2\pi

f

C_{m}={\frac {1}{(1.52)\omega Z_{0}}}={\frac {1}{(1.52)(2\pi f)Z_{0}}}

알려진 값의 치환은 다음을 나타낸다.

C_{m}=2.6\\mathrm {pF},

800MHz에서 터미네이션과 일치시키려면 2.6pF의 직렬 캐패시터를 터미네이션에서 29.6mm 떨어진 전송선과 직렬로 배치해야 합니다.

정규화된 임피던스에서 정규화된 어드미턴스로 Smith 차트 변환을 수행한 후 대체 션트 일치를 계산할 수 있습니다.점₂₀ Q는 P와₂₀ 동일하지만 정규화된 어드미턴스로 표현됩니다.Smith 차트 스케일링을 읽고, 이제 정규화된 어드미턴스가 다음을 제공한다는 것을 기억하십시오.

(\displaystyle y_{Q20}=0.65-j1).20\,}

(실제로 이 값은 사용되지 않습니다).그러나 라인 OQ20의 파장 규모의 연장 L3=}. 이 발전기 쪽으로 Q21, 이전 P21와 같은 자리에 있을 것 아니라 0.152λ{\displaystyle L_{3}=0.152\lambda \,의 분권 켤레 시합을 도입할 수 있을 가장 이른 점을 준다 이번엔normalised admitta을 나타내는입니다.gnce곁을 지나가다

y_{Q21}=1.00+j1.52\,

52

이 경우 전송 라인을 따른 거리는 다음과 같습니다.

({displaystyle L_{2}+L_{3}=0.177\lambda+0.1720\lambda=0.329\lambda

123mm로 변환됩니다.

켤레 매칭 컴포넌트는 다음과 같은 정규화된 어드미턴스( $y_{match}$ $y_{match}$ a $y_{match}$ { $displaystyle y_{match$ 를 가져야 합니다.

y_{match}=-j1.52\,

m

y_{match}=-j1.52\,

t

y_{match}=-j1.52\,

y_{match}=-j1.52\,

y_{match}=-j1.52\,

-

y_{match}=-j1.52\,

1.

y_{match}=-j1.52\,

{

} = -

j1.52,

。

표에서 음의 어드미턴스를 얻으려면 전송 라인과 병렬로 연결된 인덕터가 필요하다는 것을 알 수 있습니다.값이 $L_{m}\,$ m { $display style$ L_ ${m}$ , $L_{m}\,$ 인 경우

- j1.52=param frac {-j}{\obega L_{m}Y_{0}}=black {-jZ_{0}}{2\pi fL_{m}},

이렇게 하면 결과가 나온다.

L_{m}=6.5\\mathrm {nH},

따라서 적절한 유도 션트 매칭은 부하에서 123mm 떨어진 라인과 평행한 6.5nH 인덕터입니다.

3D Smith 관리도

3D Smith 관리도 표현

확장 복소 평면(리만 구)과 역기하학에 기초한 일반화된 3D 스미스 차트가 2011년에 제안되었다.이 차트는 반사계수의 일반화 평면의 입체 등각 지도를 사용하여 단위구 표면의 작고 큰 원에 수동적이고 능동적인 회로 설계를 통합한다.무한대의 점을 고려하면 새 차트의 공간에는 가능한 모든 하중이 포함됩니다.북극은 완벽한 일치점이고 남극은 완벽한 불일치점입니다.^[13]3D Smith 차트는 그룹 지연, 품질 계수 또는 주파수 방향과 같은 다양한 스칼라 매개변수를 표시하기 위해 구면 밖으로 더욱 확장되었습니다.주파수 방향 시각화(시계/시계 반대)를 사용하면 음의 캐패시턴스와 양의 인덕터를 구별할 수 있습니다. 이 인덕터는 2D Smith 차트에 표시할 때 반사 계수가 동일하지만 주파수가 증가함에 ^[14]따라 방향이 달라집니다.

레퍼런스

^ Smith, Phillip H. (January 1939). "Transmission line calculator". Electronics. Vol. 12, no. 1. pp. 29–31.
^ Smith, Phillip H. (January 1944). "An improved transmission line calculator". Electronics. Vol. 17, no. 1. p. 130.
^ "Smith Chart". ETHW.org. Retrieved March 30, 2021.
^ Mizuhashi, T. (December 1937). "Theory of four-terminal impedance transformation circuit and matching circuit". The Journal of the Institute of Electrical Communication Engineers of Japan: 1053–1058.
^ Ramo; Whinnery; van Duzer (1965). Fields and Waves in Communications Electronics. John Wiley & Sons. pp. 35–39.
^ Smith, Philip H. (1969). Electronic Applications of the Smith Chart. Kay Electric Company.
^ Pozar, David M. (2005). Microwave Engineering (Third (Intl.) ed.). John Wiley & Sons, Inc. pp. 64–71. ISBN 0-471-44878-8.
^ ^a ^b ^c Gonzalez, Guillermo (1997). Microwave Transistor Amplifiers Analysis and Design (Second ed.). NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-254335-4.
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^ "Antenna Matching with a Vector Network Analyzer".
^ Hayt, William H Jr.; "엔지니어링 전자기학" 제4판; McGrow-Hill 국제도서회사; 페이지 428-433.ISBN 0-07-027395-2.
^ Davidson, C. W. (1989). Transmission Lines for Communications with CAD Programs. Macmillan. pp. 80–85. ISBN 0-333-47398-1.
^ Muller, Andrei; Soto, Pablo; Dascalu, D.; Neculoiu, D.; Boria, V.E. (2011). "A 3D Smith chart based on the Riemann sphere for Active and Passive Microwave Circuits". Microwave and Wireless Components Letters. 21 (6): 286–288. doi:10.1109/LMWC.2011.2132697. hdl:10251/55107. S2CID 38953650.
^ Muller, Andrei A.; Asavei, Victor; Moldoveanu, Alin; Sanabria-Codesal, Esther; Khadar, Riyaz A.; Popescu, Cornel; Dascalu, Dan; Ionescu, Adrian. M. (November 2020). "The 3D Smith Chart: From Theory to Experimental Reality". IEEE Microwave Magazine. 21 (11): 22–35. doi:10.1109/MMM.2020.3014984. S2CID 222296721.

추가 정보

'스미스 차트'라고 불리기 전의 이 그래픽 묘사를 초기에 표현하려면 , 특히 810페이지의 그림 13을 참조하십시오.

외부 링크

"Mathematical construction and properties of the Smith Chart". allaboutcircuits.com. technical articles.
"Smith Chart and Impedance Matching Tutorial with Examples". antenna-theory.com.
"The Mizuhashi-Smith chart". www.linkclub.or.jp/~morikuni. Archived from the original on 2013-03-03.
"Excel Smith chart". excelhero.com. August 2010. Excel 2007+에서 가장 잘 보이는 비상업적이고 인터랙티브한 Smith 차트.
"SimSmith". ae6ty.com. 비상용, Windows, Mac 및 Linux에서 사용 가능.많은 Smith 차트 튜토리얼 비디오.회선 사이즈 제한은 없습니다.사다리 회로에 국한되지 않습니다.
"Smith v3". fritz.dellsperger.net. Archived from the original on 2015-03-04. Windows용 상용 및 무료 Smith 차트
"QuickSmith". github.com/niyeradori. 2 November 2021. GitHub에서 무료 웹 기반 Smith Chart Educational 툴 사용 가능.
"3D Smith chart tool". 3dsmithchart.com. 2D 및 3D Smith 차트 능동 및 수동 회로용 일반 도구(학계/교육용 무료)

[1] Smith, Phillip H. (January 1939). "Transmission line calculator". Electronics. Vol. 12, no. 1. pp. 29–31.

[2] Smith, Phillip H. (January 1944). "An improved transmission line calculator". Electronics. Vol. 17, no. 1. p. 130.

[3] "Smith Chart". ETHW.org. Retrieved March 30, 2021.

[Mizuhashi1937-4] Mizuhashi, T. (December 1937). "Theory of four-terminal impedance transformation circuit and matching circuit". The Journal of the Institute of Electrical Communication Engineers of Japan: 1053–1058.

[5] Ramo; Whinnery; van Duzer (1965). Fields and Waves in Communications Electronics. John Wiley & Sons. pp. 35–39.

[Smith1969-6] Smith, Philip H. (1969). Electronic Applications of the Smith Chart. Kay Electric Company.

[7] Pozar, David M. (2005). Microwave Engineering (Third (Intl.) ed.). John Wiley & Sons, Inc. pp. 64–71. ISBN 0-471-44878-8.

[Gonzalez1997-8] Gonzalez, Guillermo (1997). Microwave Transistor Amplifiers Analysis and Design (Second ed.). NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-254335-4.

[9] "Smith Charts".

[10] "Antenna Matching with a Vector Network Analyzer".

[11] Hayt, William H Jr.; "엔지니어링 전자기학" 제4판; McGrow-Hill 국제도서회사; 페이지 428-433.ISBN 0-07-027395-2.

[12] Davidson, C. W. (1989). Transmission Lines for Communications with CAD Programs. Macmillan. pp. 80–85. ISBN 0-333-47398-1.

[13] Muller, Andrei; Soto, Pablo; Dascalu, D.; Neculoiu, D.; Boria, V.E. (2011). "A 3D Smith chart based on the Riemann sphere for Active and Passive Microwave Circuits". Microwave and Wireless Components Letters. 21 (6): 286–288. doi:10.1109/LMWC.2011.2132697. hdl:10251/55107. S2CID 38953650.

[14] Muller, Andrei A.; Asavei, Victor; Moldoveanu, Alin; Sanabria-Codesal, Esther; Khadar, Riyaz A.; Popescu, Cornel; Dascalu, Dan; Ionescu, Adrian. M. (November 2020). "The 3D Smith Chart: From Theory to Experimental Reality". IEEE Microwave Magazine. 21 (11): 22–35. doi:10.1109/MMM.2020.3014984. S2CID 222296721.

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