전문화(사전)순서

Specialization (pre)order

위상이라고 알려진 수학의 가지에서 특화(또는 표준) 선순서는 위상학적 공간의 점 집합에 관한 자연적인 사전순서다.실제로 고려되는 대부분의 공간, 즉 T 분리0 공리를 만족하는 모든 공간에 대해 이 사전 순서는 부분 순서(특화 순서라고 한다)일 정도다.반면 T공간의1 경우 순서는 사소한 것이 되어 별 관심도 없다.

전문화 순서는 흔히 컴퓨터 과학의 응용에서 고려되는데, 여기서0 T 공간은 변이적 의미론에서 발생한다.전문화 순서는 순서 이론에서와 같이 부분 순서 집합에서 적합한 위상들을 식별하는 데도 중요하다.

정의와 동기 부여

위상학적 공간 X를 고려하십시오.X에 대한 전문화 사전주문 ≤은 하나가 다른 것의 폐쇄에 놓여 있을 때 X의 두 지점과 관련이 있다.그러나, 다양한 저자들은 그 질서가 어떤 '방향'으로 가야 하는지에 대해 동의하지 않는다.합의된[citation needed] 것은 다음과 같다.

x는 cl{y}에 포함되어 있다.

(여기서 cl{y}는 싱글톤 집합 {y}, 즉 {y}을(를) 포함하는 모든 닫힌 집합의 교차점을 나타냄) x는 y의 전문화이며 y는 x의 생성화이며, 이는 일반적으로 y ⤳ x라고 쓰여 있다.

불행히도 속성 "x는 y의 전문화"는 여러 저자에 의해 "x ≤ y"와 "y ≤ x"로 대체적으로 쓰여진다(각각 참조, 및 ).

두 정의 모두 직관적인 정당성을 가지고 있다: 전자의 경우, 우리는

x cl{x} ⊆ cl{y}인 경우에만 해당.

그러나, 우리의 공간 X가 (대수 기하학과 관련된 응용에서 동기적 상황인) 정류 링 R의 주요 스펙트럼 Spec R인 경우, 그 다음, 우리의 두 번째 순서 정의에 따라, 우리는 다음과 같이 한다.

y ≤ x if 및 if y ⊆ x가 링 R의 주요 이상일 경우에만.

일관성을 위해 이 글의 나머지 부분에 대해서는 "x는 y의 전문화"라는 첫 번째 정의를 x ≤ y로 쓰도록 하겠다.그리고 나서 우리는 본다.

x ≤ y가 포함된 모든 닫힌 집합에 x가 포함된 경우에만.
x가 포함된 모든 오픈 세트에 y가 포함된 경우에만 x if y.

이러한 재작성은 왜 "특수화"를 말하는지 설명하는데 도움이 된다. y는 x보다 더 일반적이다. x는 좀 더 오픈 세트에 포함되어 있기 때문이다.한 뷰가 닫힌 특성을 점 x가 가질 수도 있고 갖지 않을 수도 있는 특성으로 설정하는 경우 이는 특히 직관적이다.닫힌 집합이 점을 많이 포함할수록 점의 속성이 많아지고, 특수성이 높아진다.이 용도는 속과 종의 고전적 논리적 개념과 일치한다. 또한 닫힌 점이 가장 구체적인 대수 기하학에서 일반적인 점의 전통적인 사용과도 일치한다. 반면 공간의 일반적인 점은 비어 있지 않은 모든 열린 부분 집합에 포함되어 있다.아이디어로서의 전문화는 가치평가 이론에도 적용된다.

상위 요소들이 보다 구체적이라는 직관은 전형적으로 컴퓨터 과학에 응용할 수 있는 질서 이론의 한 분야인 도메인 이론에서 발견된다.

상부 및 하부 세트

X를 위상학적 공간으로 하고 ≤을 X의 전문화 사전주문으로 삼자.모든 오픈 세트는 ≤에 대한 어퍼 세트, 모든 클로즈드 세트는 하위 세트다.그 회화들은 일반적으로 사실이 아니다.사실 위상학적 공간은 모든 상위 집합이 열린 경우(또는 동등하게 모든 하위 집합도 닫힌 경우) 알렉산드로프-분해된 공간이다.

A를 X의 부분집합으로 하자.A가 포함된 가장 작은 상부 세트는 ↑A로 표시되고, A가 포함된 가장 작은 하부 세트는 otedA로 표시된다.A = {x}이(가) 싱글톤인 경우 notationx와 ↓x라는 표기법을 사용한다.x ∈ X의 경우 다음과 같다.

  • ↑x = {y ∈ X : x ≤ y} = ∩{x}가 포함된 오픈 세트.
  • ↓x = {y ∈ X : y ≤ x} = ∩{x} = x} = cl{x}.

하위 집합 ↓x는 항상 닫히지만, 상위 집합 xx는 열거나 닫을 필요가 없다.위상학적 공간 X의 폐쇄점은 points에 관한 X의 최소 요소들이다.

예

  • 오픈 세트 { {, {1}, {0,1}이(가) 있는 시에르핀스키 공간 {0,1}에서 전문화 순서는 자연적인 순서(0 ≤ 0, 0 ≤ 1, 1 ≤ 1)이다.
  • p, q가 Spec(R)의 요소인 경우(상호환 R의 스펙트럼) 그리고 q q if와 q ⊆ p (주요 이상)인 경우에만 p ≤ q.따라서 Spec(R)의 폐쇄적인 지점은 정확히 최대 이상이다.

중요 특성

이름에서 제시된 바와 같이 전문화 사전 주문은 사전 주문, 즉 반사적이고 전이적이다.

전문화 사전 순서에 의해 결정되는 동등성 관계는 위상학적으로 구별할 수 없는 관계일 뿐이다.즉, x와 y는 x와 y의 경우에만 위상학적으로 구별할 수 없다.따라서 ≤의 대칭은 정확하게 T0 분리 공리인데, x와 y를 구별할 수 없다면 x = y이다.이 경우 전문화 순서를 말하는 것이 정당하다.

한편, 전문화 사전 주문의 대칭은 R 분리0 공리: x ≤ y 만일 x와 y가 위상학적으로 구분할 수 없는 경우에만 해당된다.이는 기초 위상이 T인1 경우 전문화 순서는 별개의 것이며, 즉 x = y인 경우에만 x y y가 있는 것이다.따라서 전문화1 순서는 T 토폴로지, 특히 모든 하우스도르프 공간에는 별 관심이 없다.

두 위상학적 공간 사이의 모든 연속적인 기능은 이러한 공간의 전문화 사전 순서와 관련하여 단조롭다.그러나 그 반대는 일반적으로 사실이 아니다.범주 이론의 언어에서, 우리는 위상학적 공간의 범주에서 위상학적 공간의 전문화 사전 순서를 할당하는 사전 정렬된 집합의 범주에 이르는 functor를 가진다.이 펑터는 알렉산드로프 토폴로지를 미리 정렬된 세트에 배치하는 좌편향이다.

이0 순서가 흥미로운 T 공간보다 더 구체적인 공간들이 있다: 냉정한 공간들.전문화 질서에 대한 그들의 관계는 더욱 미묘하다.

전문화 질서가 있는 어떤 냉정한 공간 X에 대해서도, 우리는 다음과 같은 것을 가지고 있다.

하나는 오픈세트가 연출된 우월주의자에 의해 접근하기 힘들다는 말로 두 번째 속성을 묘사할 수도 있다.위상은 topology을 그것의 전문화 질서로 유도하고 ≤에서 지시된 집합의 (기존)우월성과 관련하여 위의 접근불가능성을 가진 경우 ≤의 특정 질서와 일치하는 순서다.

주문의 토폴로지

전문화 순서는 모든 토폴로지에서 사전 순서를 얻을 수 있는 도구를 산출한다.그 반대의사를 묻는 것도 당연하다.모든 사전주문이 어떤 토폴로지의 전문화 사전주문으로 획득되었는가?

실제로 이 질문에 대한 답은 긍정적이며 일반적으로 정해진 X에 주어진 순서 ≤을 그들의 전문화 순서로 유도하는 많은 토폴로지가 있다.알렉상드로프 위상은 ≤을 유도하는 가장 훌륭한 위상이라는 특수한 역할을 한다.다른 극단, 즉 ≤을 유도하는 가장 강력한 위상은 상부 위상이며, 그 안에서 ↓x(일부 X의 경우) 집합의 모든 보완물이 열려 있는 최소 위상이다.

또한 이 두 극단 사이에는 흥미로운 토폴로지가 있다.주어진 주문 ≤에 대해 위의 의미에 일관적인 순서에 부합하는 가장 훌륭한 정상 위상은 스콧 위상이다.그러나 상위 위상은 여전히 가장 엄숙한 질서 정합성이 높은 위상이다.사실, 그것의 오픈 세트는 어떤 우월주의자도 접근할 수 없다.따라서 전문화 순서가 ≤인 모든 냉정한 공간은 상위 위상보다 더 정교하고 스콧 위상보다 더 복잡하다.그러나 그러한 공간은 존재하지 않을 수 있다. 즉, 질서 정합성이 보장되는 토폴로지가 존재하지 않는 부분적인 순서가 존재한다.특히 스콧 위상은 반드시 정신이 맑지 않은 것은 아니다.

참조

  • M.M. 본상구, Semantics의 위상학적 이중성, 이론 컴퓨터 과학의 전자 노트 제8권, 1998.저자의 박사 논문 수정본.온라인에서 이용할 수 있으며, 특히 5장을 참조해 컴퓨터 과학의 변이적 의미론적 관점에서 동기를 설명한다.저자의 홈페이지도 참조하십시오.
  1. ^ Hartshorne, Robin (1977), Algebraic geometry, New York-Heidelberg: Springer-Verlag
  2. ^ Hochster, Melvin (1969), Prime ideal structure in commutative rings (PDF), vol. 142, Trans. Amer. Math. Soc., pp. 43–60