상태 공간 표현

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제어공학에서 상태공간표현은 1차 미분방정식 또는 차분방정식에 의해 관련된 입력, 출력 및 상태변수의 집합으로서 물리시스템의 수학적 모델이다.상태 변수는 주어진 시간에 가지고 있는 값과 외부에서 부과된 입력 변수의 값에 따라 달라지는 방식으로 시간이 지남에 따라 값이 진화하는 변수입니다.출력 변수의 값은 상태 변수의 값에 따라 달라집니다.

"상태 공간"은 축의 변수가 상태 변수인 유클리드^{[citation needed]} 공간입니다.시스템 상태는 해당 공간 내에서 상태 벡터로 나타낼 수 있습니다.입력, 출력 및 상태 수에서 추상화하기 위해 이러한 변수는 벡터로 표현됩니다.

동적 시스템이 선형, 시간 불변, 유한 차원일 경우, 미분 방정식과 대수 방정식은 행렬 ^[1][2]형식으로 작성될 수 있습니다.상태-공간 방법은 크로네커 벡터 매트릭스 구조를 사용할 수 있는 일반적인 시스템 이론의 대수화에 의해 특징지어진다.이러한 구조의 용량은 ^[3]변조 여부와 관계없이 연구 시스템에 효율적으로 적용될 수 있다.상태-공간 표현('시간 영역 접근법'이라고도 함)은 여러 입력과 출력이 있는 시스템을 모델링하고 분석할 수 있는 편리하고 콤팩트한 방법을 제공합니다.p개의$$\$displaystyle$p 입력$$ $및{\displaystyle }$q\$displaystyle$q} 출력의$$ $경우{\displaystyle }$ 시스템에 대한 모든 정보를 인코딩하기 위해${\displaystyle }$q ×$$ {$displaystyle$q\$times$ p$}$ 라플라스$$ 변환을 $기록$해야 합니다.주파수 영역 접근법과는 달리 상태 공간 표현 사용은 선형 구성요소가 있고 초기 조건이 0인 시스템으로 제한되지 않습니다.

국가 공간 모델은 경제학,^[4] 통계학,^[5] 컴퓨터 공학과 전기 공학,^[6] 신경 과학 ^[7]등의 과목에 적용될 수 있다.예를 들어, 계량경제학에서는 상태 공간 모델을 사용하여 시계열을 추세와 사이클로 분해하고, 개별 지표를 복합 ^[8]지수로 구성하며, 경기 주기의 전환점을 식별하고, 잠재 ^[9][10]시계열과 관측되지 않은 시계열을 사용하여 GDP를 추정할 수 있습니다.많은 응용 프로그램이 Kalman 필터를 사용하여 이전 ^[11][12]관측치를 사용하여 현재 알 수 없는 상태 변수의 추정치를 생성합니다.

상태 변수

내부 상태 변수는 시스템 변수의 가능한 최소 부분 집합으로,^[13] 언제든지 시스템 전체 상태를 나타낼 수 있습니다.특정 시스템을 나타내기 위해 $필요$한 상태 변수의 최소 수 n$\displaystyle$n은 일반적으로 시스템의 정의 미분 방정식의 순서와 동일하지만 반드시 필요한 것은 아닙니다.시스템이 전달함수 형태로 표현될 경우, 최소 상태 변수 수는 전달함수가 적절한 분수로 축소된 후 전달함수의 분모 순서와 같다.상태 공간 실현을 전송 함수 형식으로 변환하면 시스템에 대한 일부 내부 정보가 손실될 수 있으며 특정 지점에서 상태 공간 실현이 불안정할 때 안정적인 시스템에 대한 설명이 제공될 수 있음을 이해하는 것이 중요합니다.전기 회로에서 상태 변수의 수는 항상은 아니지만 콘덴서 및 인덕터와 같은 회로 내 에너지 저장 소자의 수와 같은 경우가 많습니다.정의된 상태 변수는 선형 독립적이어야 합니다. 즉, 어떤 상태 변수도 다른 상태 변수의 선형 조합으로 쓸 수 없고, 그렇지 않으면 시스템을 해결할 수 없습니다.

선형 시스템

p$\displaystyle$p $입력$,$$q\$displaystyle$ q$}$ 출력$$ 및 $\displaystyle$n} 상태 변수를 가진$$ $선형{\displaystyle }$ 시스템의 가장 일반적인 상태 공간 표현은 다음과 같은 ^[14]형식으로 작성됩니다.

${\displaystyle {\mathbf {x}}(t)=\mathbf {A}(t)+\mathbf {B}(t)\mathbf {u}(t)$

$\displaystyle \mathbf {y}(t)=\mathbf {C}(t)\mathbf {x}(t)+\mathbf {D}(t)\mathbf {u}(t)}$

여기서:

${\displaystyle \mathbf{x}}$($$ ) \ $displaystyle$\$mathbf { x$} ( \ $cdot$)는$$ "상태 벡터",${\displaystyle }$x (${\displaystyle t}$ )${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$n \ $displaystyle$\$mathbf${ $x$} ( $t$) \ $in$\ $mathbb${$R ^$ { $n$} ;

${\displaystyle \mathbf{y}}$($$ ) \ $displaystyle$\$mathbf { y$} ( \ $cdot$)는$$ "출력 벡터",${\displaystyle }$y (${\displaystyle t}$ )${\displaystyle {}^{}}$ R$$q \ $displaystyle$\ $mathbf {$ y } ( $t$) \ $in$\ $mathbb${$R ^$ {$q$} ;

${\displaystyle \mathbf{u}}$($$ ) \ $displaystyle$\ $mathbf { u$} ( \ $cdot$)는$$ "입력(또는 제어) 벡터",${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ (${\displaystyle t}$ ${\displaystyle )\in }$ ${\displaystyle {}^{}}$p \ $style$\ $mathbf {$ $u$ } ( $t$) \ $in$\ $mathbb${$R ^$ { $p$} ;

${\displaystyle \mathbf{A}}$($$ ) \ $displaystyle$\$mathbf { A$} ( \ $cdot )$는 "상태(또는 시스템) 매트릭스", ${\displaystyle \dim }$ ${\displaystyle [}$ [${\displaystyle A\mathbf{}}$ ( ${\displaystyle )}$) ${\displaystyle =n}$ × ${\displaystyle n}$\ $displaystyle$ \$dim$[ \ $mathbf { A$} ( \ $cdot$ ) $=$$n$ \ $times$n ,

${\displaystyle \mathbf{B}}$($$ ) { \ $displaystyle$\$mathbf { B$} ( \ $cdot )$는 "입력 $",$ dim ${\displaystyle [}$ [${\displaystyle B\mathbf{}}$ ( ${\displaystyle )}$) ${\displaystyle =n}$ ×$$ \ $dim$[ \ $mathbf${ $B }$ ( \ $cdot$ ) $= n$ \ $times$p$$,

${\displaystyle \mathbf{C}}$($$ ) { \ $displaystyle$\$mathbf { C$} ( \ $cdot )$는 "출력 ${\displaystyle \mathrm{매트릭스}}$", dim ${\displaystyle }$ [${\displaystyle C\mathbf{}}$ ( ${\displaystyle )}$ )${\displaystyle =q}$ ×$$ ( \ $displaystyle$\$dim$[ \ $mathbf { C$} ( \ $cdot$ ) $= q$ \ $times$n$$,

${\displaystyle \mathbf{D}}$(${\displaystyle }$display )$${ $displaystyle \mathbf {D }$ ( \ $cdot$)는$$ "피드스루(또는 피드포워드) 매트릭스"입니다(시스템 모델에 직접 피드스루가 없는 $경우{\displaystyle \mathbf{}}$ D ${\displaystyle (}$display$$) \ $displaystyle$\ $mathbf {D}$ ( \ $cdot$)는 ${\displaystyle \mathrm{제로}}$ 매트릭스, dim $displaystyle$

$t ){$$t$$=paramfrac${d}{$dt}}\mathbf {x}($t$)\}.$

이 일반적인 공식에서 모든 행렬은 시간 가변(즉, 요소에 따라 시간에 의존할 수 있음)이 허용된다. 그러나 공통 LTI의 경우 행렬은 시간 불변성이 된다.시간 $변수{\displaystyle }$t {\$displaystyle$ t$}$는 연속형($예{\displaystyle }$: t${\displaystyle r\mathbb{}}$R {\$displaystyle$ t$\in$ \$mathbb {R$ 또는 이산형($예{\displaystyle }$: t${\displaystyle z\mathbb{}}$Z {\$displaystyle$ t$\in \mathbb {Z})$일 수 있습니다.후자의 경우 보통 t$\displaystyle$t$$대신 $시간{\displaystyle }$ $변수{\displaystyle }$k\$displaystyle$k가$$ 사용됩니다.하이브리드 시스템에서는 연속 부품과 이산 부품을 모두 가진 시간 영역을 사용할 수 있습니다.전제 조건에 따라 상태 공간 모델 표현은 다음과 같은 형식을 취할 수 있습니다.

시스템 타입	상태-공간 모형
연속 시간 불변	${\displaystyle {\mathbf {x}}(t)=\mathbf {A}\mathbf {x}(t)+\mathbf {B}\mathbf {u}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)}$
연속 시간 변수	${\displaystyle {\mathbf {x}}(t)=\mathbf {A}(t)+\mathbf {B}(t)\mathbf {u}(t)$ $\displaystyle \mathbf {y}(t)=\mathbf {C}(t)\mathbf {x}(t)+\mathbf {D}(t)\mathbf {u}(t)}$
명시적 이산 시간 불변	${\displaystyle \mathbf {x}(k+1)=\mathbf {A} \mathbf {x}(k)+\mathbf {B} \mathbf {u}(k)}$ ${\displaystyle \mathbf {y} (k)=\mathbf {C} \mathbf {x} (k)+\mathbf {D} \mathbf {u} (k)}$
명시적 이산 시간 변수	${\displaystyle \mathbf {x} (k+1)=\mathbf {A} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {B} (k)\mathbf {u} (k)}$ $\displaystyle \mathbf {y} (k)=\mathbf {C} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {D} (k)\mathbf {u} (k)}$
라플라스 도메인 연속 시간 등가물	${\displaystyle s\mathbf {X} (s)-\mathbf {x} (0)=\mathbf {A} \mathbf {X} (s)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s)}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {C} \mathbf {X} (s)+\mathbf {D} \mathbf {U} (s)}$
Z 도메인 이산 시당량	${\displaystyle z\mathbf {X} (z)-z\mathbf {x} (0)=\mathbf {A} \mathbf {X} (z)+\mathbf {B} \mathbf {U} (z)$ $\displaystyle \mathbf {Y}(z)=\mathbf {C}\mathbf {X}(z)+\mathbf {D}\mathbf {U}(z)}$

예: Continuous-time LTI 케이스

연속시간 LTI 시스템(즉, 시간에 대해 일정한 행렬과 선형)의 안정성 및 자연응답 특성은 $행렬{\displaystyle \mathbf{}}$A의 고유값(\$displaystyle \mathbf {A}$$})$에서 연구할 수 있다. 시간 불변 상태 공간 모델의 안정성은 시스템의 전달 func를 통해 결정할 수 있다.인수적 형식그런 다음 다음과 같이 표시됩니다.

${\displaystyle {\textbf {G}=k{(s-z_{1})(s-z_{3})(s-p_{1}(s-p_{3})(s-p_{3})(s-p_{4})}.}$

전달함수의 분모는 s ${\displaystyle I\mathbf{}}$- A$$\ $display style$s \ $mathbf${ $I$} - \ $mathbf${ $A$의 행렬식을 취함으로써 구한 특성 다항식과 같다.

${\displaystyle \displayda (s)= s\mathbf {I} -\mathbf {A} .}$

이 다항식(고유값)의 근은 시스템 전달 함수의 극(즉, 전달 함수의 크기가 무제한인 특이점)입니다.이러한 극을 사용하여 시스템이 점근적으로 안정적인지 또는 한계적으로 안정적인지 분석할 수 있습니다.고유값 계산을 수반하지 않는 안정성을 결정하는 다른 접근법은 시스템의 랴푸노프 안정성을 분석하는 것입니다.

G${\displaystyle (}$ ${\displaystyle s}$)의 $분자{\displaystyle }$(\$displaystyle${\$textbf {G}})$에 있는 0도 마찬가지로 시스템이 최소 단계인지 여부를 판단하기 위해 사용할 수 있습니다.

시스템은 내부적으로 안정적이지 않더라도 입출력 안정적일 수 있습니다(BIBO 안정 참조).이는 불안정한 극이 0으로 상쇄되는 경우(즉, 전달 기능의 특이점이 제거 가능한 경우)에 해당될 수 있다.

제어성

상태 제어 가능성 조건은 허용 가능한 입력에 의해 상태를 일부 유한한 시간 범위 내에서 초기 값에서 최종 값으로 조정할 수 있음을 암시한다.연속 시간 불변 선형 상태 공간 모델은 다음과 같은 경우에만 제어할 수 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {rank} {bmatrix} \mathbf {B} &\mathbf {A} ^{2} \mathbf {B} &\cdots &\mathbf {A} ^{n-1} \mathbf {B} =\matrix}$

여기서 rank는 행렬에서 선형 독립 행의 수이고 n은 상태 변수의 수입니다.

관찰 가능성

관측가능성은 외부 출력에 대한 지식을 통해 시스템의 내부 상태를 얼마나 잘 추론할 수 있는지를 나타내는 척도입니다.시스템의 관측가능성과 제어가능성은 수학적 이중화이다(즉, 제어가능성은 초기상태를 원하는 최종상태로 만드는 입력을 이용할 수 있도록 제공하므로, 관측가능성은 출력궤적을 아는 것이 시스템의 초기상태를 예측하기에 충분한 정보를 제공한다).

연속 시간 불변 선형 상태 공간 모델은 다음과 같은 경우에만 관찰할 수 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {rank}({bmatrix}\mathbf {C}\mathbf {A}\vdots \\mathbf {C}\mathbf {C}\mathbf {A}^{n-1}\end{bmatrix}=n}).}$

전송 함수

연속 시간 불변 선형 상태 공간 모델의 "전송 함수"는 다음과 같은 방법으로 도출할 수 있습니다.

첫째, Laplace의 변혁을 통해

${\displaystyle {\mathbf {x}}(t)=\mathbf {A}\mathbf {x}(t)+\mathbf {B}\mathbf {u}(t)}$

수율

$\displaystyle s\mathbf {X} (s)-\mathbf {x} (0)=\mathbf {A} \mathbf {X} (s)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s)}$

${\displaystyle \mathrm{다음}}$으로 X${\displaystyle }$(${\displaystyle }$s$$) { $displaystyle$\ $mathbf${ $X$ ($s$ )에 $대해{\displaystyle \mathbf{}}$ 단순화하고,

$\displaystyle (s\mathbf {I} - \mathbf {A} )\mathbf {X} (s)=\mathbf {x} (0)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s)}$

그래서

$\displaystyle \mathbf {X}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A})^{-1} \mathbf {X}(0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {B} \mathbf {U} (s)}$

출력 ${\displaystyle \mathrm{방정식}}$에서 X ${\displaystyle (}$s$$) {$style \mathbf {X}$ ($s)}$을(를) 대신합니다.

${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {C} \mathbf {X} (s)+\mathbf {D} \mathbf {U} (s),}$

부여

$\displaystyle \mathbf {Y}(s)=\mathbf {C}((s\mathbf {I} -\mathbf {A})^{-1}\mathbf {x}(0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A})^-1}\mathbf {B}}$

초기 $조건{\displaystyle \mathbf{}}$ x${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$ ) $=$ ${\displaystyle 0\mathbf{}}$ ${\$ (0) =\$mathbf$ {0$}$} 및$$ 단일 입력 단일 출력(SISO) 시스템을 가정할 때, 전송 함수는 $출력{\displaystyle }$및 입력 ${\displaystyle G}$ ( ${\displaystyle s}$ )$=$ (${\displaystyle }$) / $U$( s$$) \$display$ G ( s / $U$ ( ${\displaystyle s}$ ) （ s ) ${\displaystyle =}$ U ( s ) （ \ display $style$ ） （ s ) $）$ ） 。비율은 정의되어 있지 않습니다.따라서, 초기 조건이 0이라고 가정할 때, 전달 함수 행렬은

${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {G} (s)\mathbf {U} (s)}$

산출되는 계수를 계산하는 방법을 사용하여

${\displaystyle \mathbf{G}}$(${\displaystyle s}$ ) $=$ ( s${\displaystyle I\mathbf{}}$ -${\displaystyle {}^{}A\mathbf{}{}^{}}$) - ${\displaystyle {}^{}\mathbf{}}$B +$$ (\$displaystyle \mathbf {G}$ (s) =\$mathbf {C}$ ($s\mathbf {I}$ -$\mathbf {A})^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D$$$)

따라서 G${\displaystyle }$(${\displaystyle s}$) \$style \mathbf {G}$ ($s)$는 각 입력 출력 조합에 대한 전송 함수를 포함하는${\displaystyle q}$ ×$$p {\$displaystyle q\times$ p$$$}$ $치수$의 행렬이다.이 매트릭스 표기법은 단순하기 때문에 상태 공간 표현은 다중 입력, 다중 출력 시스템에 일반적으로 사용됩니다.Rosenbrock 시스템 매트릭스는 상태-공간 표현과 그 전달 함수 사이의 브리지를 제공합니다.

표준 실현

엄밀하게 적절한 임의의 전송 함수는, 다음의 어프로치에 의해서 간단하게 상태 공간에 전송 할 수 있습니다(이 예에서는, 4 차원 싱글 입력 싱글 출력 시스템의 경우).

전달 함수를 지정하면 분자와 분모의 모든 계수가 표시되도록 함수를 확장합니다.그 결과, 다음과 같은 형식이 됩니다.

${\displaystyle {\textbf {G}}(s)=param frac {n_{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}.}$

이제 다음 방법으로 계수를 상태 공간 모델에 직접 삽입할 수 있습니다.

$({displaystyle {dot {mathbf {x}}}(t)=param {bmatrix} 0&0&0&1&1&0&1\d_{3}&-d_{2}&-d_{1}\end{bmatrix}{t}) {t}$

$\displaystyle \mathbf {y}(t)=syslog {bmatrix}n_{4}&n_{3}&n_{1}\end {bmatrix}\mathbf {x}(t)}$

이 상태 공간 실현은 결과 모델이 제어 가능하도록 보장되기 때문에 제어 가능한 표준 형식이라고 불립니다(즉, 제어가 적분자의 체인으로 들어가므로 모든 상태를 이동할 수 있습니다).

전달 함수 계수는 또한 다른 유형의 표준 형식을 구성하는 데 사용될 수 있습니다.

${\displaystyle {\dot\textbf {x}(t)=param{bmatrix}0&-d_{3}\\0&1&-d_{2}\0&1&-d_{1}\end{bmatrix}{t}{textf}{t}{t}}$

${\displaystyle {textbf {y}}(t)=syslog {bmatrix} 0&0&1\end {bmatrix}{\textbf {x}}(t)}$

이 상태 공간 실현은 결과 모델이 관찰 가능함을 보증하기 때문에 관찰 가능한 표준 형식이라고 불립니다(즉, 출력이 적분자의 체인에서 나오기 때문에 모든 상태가 출력에 영향을 미칩니다).

적절한 전송 기능

적절한(엄밀하게는 적절하지 않은) 전달 기능도 매우 쉽게 실현할 수 있습니다.여기서 요령은 전달 함수를 엄밀하게 적절한 부분과 상수라는 두 부분으로 나누는 것입니다.

${\displaystyle {\textbf {G}}=mathrm {SP}}(s)+{\textbf {G}}(infty)}$

그 후, 엄밀하게 적절한 전송 함수는 위에 나타낸 기술을 사용하여 표준 상태-공간 실현으로 변환할 수 있습니다.상수의 상태 공간 실현은 $trivally{\displaystyle }$y (${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle =G}$ ( ${\displaystyle )}$ )${\displaystyle u}$( t$$) \ $displaystyle$\$textbf${ $y$} ( t ) = space $textbf${ $G}$ ( $infty ){\textbf {u}$ ( t$)$ u } 입니다. 그런 다음 행렬 A, B, C를 사용하여 상태 공간 실현하고, 행렬에 의해 엄밀하게 결정됩니다.

다음은 조금 더 명확하게 하기 위한 예입니다.

${\displaystyle {\textbf {G}}}(s)=flac {s^{2}+3s+3}{s^{2}+2s+1}}=svfrac {s+2}{s^{2}+2s+1}}+1}$

이것은 다음과 같은 제어 가능한 실현을 낳는다.

$\displaystyle {\dot {textbf {x}(t)=param {bmatrix}-2&-1\1&0\\end {bmatrix}{\textbf {x}(t)+{\dot {bmatrix}}{\end {bmatrix}}{\textbf {t}}(t}}})$

${\displaystyle {textbf {y}}(t)=param{bmatrix}1&2\end{bmatrix}{\textbf {x}}(t)+{\param{bmatrix}1\textbf {u}(t)}(t)}$

출력도 입력에 직접 의존합니다.이는 전송 함수의 G${\displaystyle (}$ ${\displaystyle )}$)(\$displaystyle {G}(\infty)}$ 상수$$ $때문$입니다.

피드백

일반적인 피드백 방법은 출력에 행렬 K를 곱하고 이를 시스템에 대한 입력으로 $설정$하는 것입니다.${\displaystyle u}$( t ) ${\displaystyle =}$ y${\displaystyle }$($$t ) { $displaystyle \mathbf {u}$ (t) =$K \mathbf {y}$ (t$)$} 。K 값은 제한되지 않으므로 음의 피드백에 대해 쉽게 부정할 수 있습니다.음수 기호(일반 표기법)의 존재는 단순한 알림일 뿐이며 부재는 최종 결과에 영향을 미치지 않습니다.

$(\displaystyle\dot\mathbf {x}}}(t)=A\mathbf {x}(t)+B\mathbf {u}(t)}$

$\displaystyle \mathbf {y}(t)=C\mathbf {x}(t)+D\mathbf {u}(t)}$

된다

$(\displaystyle\dot\mathbf {x}}}(t)=A\mathbf {x}(t)+BK\mathbf {y}(t)}$

$\displaystyle \mathbf {y}(t)=C\mathbf {x}(t)+DK\mathbf {y}(t)}$

y${\displaystyle (}$ ${\displaystyle t}$)의 $출력{\displaystyle \mathbf{}}$ 방정식을 풀고$(\style$\mathbf$$ {y}($t)}$ 상태 방정식을 대입하면 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle {\mathbf {x}}(t)=\left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x}(t)}$

${\displaystyle \mathbf {y}(t)=\left(I-DK\오른쪽)^{-1}C\mathbf {x}(t)}$

이 방법의 장점은 (${\displaystyle A}$+ ${\displaystyle B{}^{}}$K (${\displaystyle I^{}}$ - ${\displaystyle {DK}^{}}$) - ${\displaystyle 1^{}{}^{}}$ )$(\backslash {\displaystyle }$ displaystyle $\ left$( A +$BK$ \ right ( I - DK \ right $)^$ -$1C$ right )의 eigendecomposition을 통해 K를 적절히 설정함으로써 A의 고유값을 제어할 수 있다는 것입니다.이것은 폐쇄 루프 시스템이 제어 가능한지 또는 K의 적절한 선택을 통해 A의 불안정한 고유값을 안정시킬 수 있는지 가정합니다.

예

엄밀하게 적절한 시스템의 경우 D는 0입니다.다른 꽤 일반적인 상황은 모든 상태가 출력일 때, 즉, y = x이며, 이 경우 C = I, 즉 동일 행렬이 생성됩니다.그러면 더 간단한 방정식이 나올 것이다.

${\displaystyle {\mathbf {x}}(t)=\left(A+BK\right)\mathbf {x}(t)}$

$\displaystyle \mathbf {y}(t)=\mathbf {x}(t)}$

이것에 의해, 필요한 eigendecomposition이 A${\displaystyle +B}$ K$(\displaystyle$ A$+BK$$만$으로 감소합니다.

설정값(참조) 입력 피드백

피드백 외에 입력${\displaystyle }r{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$${\displaystyle t}$)$$\ $displaystyle$r ($t$ )$$${\displaystyle =}$ - K${\displaystyle y\mathbf{}}$ (${\displaystyle t}$) +${\displaystyle r\mathbf{}}$ (${\displaystyle t}$) \ $displaystyle$\$mathbf { u$} ( t ) = -$K$ \ mathbf {$y$} ( $t$) + \ $mathbf${ $r$} ( $t$) $\}$ 를 $추가$할 수 있습니다.

$(\displaystyle\dot\mathbf {x}}}(t)=A\mathbf {x}(t)+B\mathbf {u}(t)}$

$\displaystyle \mathbf {y}(t)=C\mathbf {x}(t)+D\mathbf {u}(t)}$

된다

$(\displaystyle\dot\mathbf {x}}}(t)=A\mathbf {x}(t)-BK\mathbf {y}(t)+B\mathbf {r}(t)}$

$\displaystyle \mathbf {y}(t)=C\mathbf {x}(t)-DK\mathbf {y}(t)+D\mathbf {r}(t)}$

y${\displaystyle (}$ ${\displaystyle t}$)의 $출력{\displaystyle \mathbf{}}$ 방정식을 풀고$(\style$\mathbf$$ {y}($t)}$ 상태 방정식을 대입하면 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle {\mathbf {x}}(t)=\left(A-BK\left(I+DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x}(t)+B\left(I-K\left(I+DK\오른쪽)^{-1}D\오른쪽)\mathbf {r}(t)}$

${\displaystyle \mathbf {y}(t)=\left(I+DK\right)^{-1}C\mathbf {x}(t)+\left(I+DK\right)^{-1}D\mathbf {r}(t)}$

이 시스템에 대한 매우 일반적인 단순화 중 하나는 D를 제거하는 것입니다. D는 방정식을 다음과 같이 줄입니다.

${\displaystyle {\mathbf {x}}(t)=\left(A-BKC\right)\mathbf {x}(t)+B\mathbf {r}(t)}$

$\displaystyle \mathbf {y}(t)=C\mathbf {x}(t)}$

이동 객체 예시

고전적인 선형 시스템은 물체(예: 카트)의 1차원 이동이다.평면상에서 수평으로 움직이고 스프링이 달린 벽에 부착된 물체에 대한 뉴턴의 운동 법칙:

${\displaystyle mbcdot {y}(t)=u(t)-bbcdot {y}(t)-ky(t)}$

어디에

• ${\displaystyle y(}$ $)$ {$displaystyle$ y$(t)}$는 위치, $)$ {$displaystyle {y}(t)$는 속도, $)$ {$displaystyle {y}(t)$는 가속도
• ${\displaystyle }$u${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$) { $displaystyle$u ($t$ )는$$ 가해지는 ${\displaystyle 힘}$입니다.
• $(\displaystyle$ b$)$는 비스코스 마찰 계수입니다.
• $(\displaystyle$ k$)$는 스프링 상수입니다.
• $\displaystyle$m은$$ 객체의 질량입니다.

그러면 상태 방정식은

${\displaystyle {\dot {bmatrix}{\dot {mathbf {x}}_{1}(t)}}_{2}(t)\end {bmatrix}=syslog {bmatrix}0&1\-{\frac {k}{bmatrix}}-{matrix}{m}}}}}}{m}}}{{m}}}}}}}}$

$\displaystyle \mathbf {y}(t)=\left[{\display{f}1&0\end{f}\right]\left[{\mathbf {x_{1}}(t)\\mathbf {x_{2}}(t)\end{f}\right}$

어디에

• ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1 (${\displaystyle t}$ )$${ $displaystyle x_{1}(t)}$ 은 객체의 위치를 나타냅니다$$.
• ${\displaystyle {}_{}x{}_{}}$2 (${\displaystyle }$t ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}\mu }_{\mathrm{}}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle t}$) { $displaystyle x_{2}(t$) $= scapsdot {x}_{$1}($t)}$ 은$$ 객체의 속도입니다.
• ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}{\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\dot{}}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}（}$ ${\displaystyle t}$ ） ${\displaystyle {\stackrel{}{=}}_{}}$ ${\displaystyle x_{\mathrm{}}}$( ${\displaystyle 1}$（ t ）{$displaystyle$ { $dot { x$} _ {2} ( t ) $= speciddot${ $x } _$ {$1}$ ($t$ )는$$ 객체의 가속도입니다.
• $출력{\displaystyle \mathbf{}}$ y${\displaystyle (}$ $)$ {$displaystyle \mathbf {y}(t)}$는 객체의 위치입니다.

제어성 테스트는 다음과 같습니다.

$(\displaystyle\begin{bmatrix}B&)AB\end{bmatrix}=begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}0\{\frac{1}{m}}\end{bmatrix}&{\frac{k}{m}}&{\frac{b}}{bmatrix}{\frac{bmatrix}}{\frac{matrix}}}}{\frac{b}}}}}{\frac{\frac}}}}}}}}{\frac{\frac{b}}}}}}}}}}$

모든 $($디스플레이 스타일 $b)$와 m$(디스플레이 스타일$ m$)$에 대해 풀랭크를 갖습니다.$즉$, ${\displaystyle \mathrm{시스템}}$의 초기 상태가 알려진 경우( ${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$)$$\ $displaystyle$y ($t$)$$,$$$y$ (${\displaystyle \stackrel{}{}}$t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$\$$$displaystyle$ {$$$y$} 、 ${\displaystyle y}$ $（$ t$$） ),$$$b$ \$$$displaystyle$ b$$$displaydisplaydisplay{\displaystyle }$ m \$$$displaystyle$ m$$$displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ $kstyle$displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$$카트를 시스템의 다른 위치로 이동할 수 있습니다.

관측 가능성 검정은 다음과 같습니다.

$(\displaystyle\begin{bmatrix}C\\)CA\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-{\frac}{matrix}}{matrix}}}$

순위는 정석이다.따라서 이 시스템은 제어할 수 있고 관찰할 수 있습니다.

비선형 시스템

보다 일반적인 형태의 상태-공간 모델은 두 가지 함수로 작성될 수 있습니다.

$\displaystyle \mathbf {x}(t)=\mathbf {f}(t,x(t),u(t))}}}}}$

$(\displaystyle \mathbf {y}(t)=\mathbf {h}(t,x(t),u(t))))},$

첫 번째는 상태 방정식이고, 두 번째는 출력 방정식입니다.$함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (}$ ${\displaystyle ,,,,}$ $))$ {$displaystyle$ f$(\cdot,\cdot,\cdot)}$가 상태와 입력의 선형 조합일 경우 위와 같은 행렬 표기로 방정식을 작성할 수 있습니다.시스템에 입력이 없는 경우(즉, 입력이 없는 경우) 함수에 대한${\displaystyle }$u($)\displaystyle$u($t)$ 인수를$$ $삭제$할 수 있습니다.

진자 예시

고전적인 비선형 시스템은 단순한 비원칙 추이다.

${\displaystyle m\ell ^{2}{\ddot {\theta }(t)=-m\ell g\sin \theta (t)-k\ell {dot {\theta }(t)}$

어디에

• ${\displaystyle \theta }$($t$ ) {$displaystyle$ \$theta ($t$$ )는 중력 방향에 대한 진자의 각도입니다.
• ${\displaystyle m}${$displaystyle$ m$}$은 진자의 질량입니다(봉의 질량은 0으로 간주됩니다).
• $(\displaystyle$g)는$$ 중력 가속도입니다.
• $(\displaystyle$ k$)$는 피벗점에서의 마찰계수입니다.
• $θ {\$$displaystyle$ell$}$은 진자의 반지름($m$의 무게 중심까지)입니다.

상태 방정식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {x}_{1}(t)=x_{2}(t)}$

${\displaystyle {dot {x}_{2}(t)=-{\frac {g}{\ell}}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m\ell}}{x_{2}}(t)}$

어디에

• ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1 (${\displaystyle t}$ ) $=$ (${\displaystyle t}$) { $displaystyle x_{1}(t$)=\$theta(t)}$는 진자의 각도입니다.
• ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$2 (${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}\delta }_{\mathrm{}}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle t}$) { $displaystyle x_{2}(t$) =$scapdot {x}_{1}(t)}$는 진자의 회전 속도입니다.
• ${\displaystyle {\stackrel{}{}x}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\dot{}}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{¨}}_{}}$ $({style {dot${x}$_{2$} =$displaydot {x}_{1})$은 진자의 회전 가속도입니다.

대신, 상태 방정식은 일반적인 형태로 작성될 수 있다.

$\displaystyle {\dot {mathbf {x}_{1}(t)\{\dot {x}_{2}(t)\end {bmatrix}=\mathbf {f}(t)=mathbf {f}(t)=mathbmatrix}_{b2}(t)\frac}{\dot {x}}$

$시스템$의 평형/정지점은 x${\displaystyle \stackrel{}{}}$µ$= 0일 때$이며, 따라서 진자의 $평형점$은 다음을 만족하는 지점이다$.$

${\displaystyle {bmatrix}x_{1}\x_{2}\end{bmatrix}=sys{bmatrix}n\pi \\0\end{bmatrix}}$

(정수 n의 경우

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

추가 정보

외부 링크

• 선형 상태-공간 모델, 아핀 상태-공간 모델 및 비선형 상태-공간 모델을 위한 울프램 언어 함수.