스튜어트의 정리

기하학에서 스튜어트의 정리는 삼각형에서 옆면의 길이와 세비아인의 길이 사이의 관계를 산출한다. 그것의 이름은 1746년 정리를 발표한 스코틀랜드 수학자 매튜 스튜어트를 기리기 위한 것이다.^[1]

성명서

${\displaystyle a$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$및 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$을 삼각형 변의 길이가 되도록 한다. $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$은(는$)$ 길이의 측면에 대한 세비아인의 길이가 $되도록$ 한다$(\{\backslash$$displaystyle$ a$}).$ 세비아인이 $길이$의 $측면$을 $길이{\displaystyle }$ $m{\displaystyle }$$$${\displaystyle m}$과 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 두 세그먼트로 나누는$$ 경우$,$ c ${\displaystystyle c}$ 및${\displaystyle }$$n{\displaystyle }$ b ${\displaystyle b}$에 인접한$$ n $[\displaystyle n$$\},$ 그러면 스튜어트의 정리에는 다음과 같이 명시되어 있다.

${\displaystyle b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}$

정리는 부호화된 세그먼트 길이를 사용하여 더 대칭적으로 작성할 수 있다. 즉, 어떤 고정된 방향에서 A가 B의 왼쪽인지 오른쪽인지에 따라 AB 길이를 양수 또는 음수로 한다. 이 공식에서 정리는 A, B, C가 콜린어 점이고, P가 어떤 점이라면 그 점이라고 기술하고 있다.

${\displaystyle PA^{2}\cdot BC+PB^{2}\cdot CA+PC^{2}\cdot AB+AB\cdot BC\cdot CA=0.}$^[2]

cevian이 중위(즉, 반대쪽을 같은 길이의 두 부분으로 나눈다)인 특별한 경우, 그 결과를 아폴로니우스의 정리라고 한다.

학생들이 정리를 외우기 위해 사용하는 일반적인 니모닉은 다음과 같다: 한 남자와 그의 아버지가 싱크대에 폭탄을 설치했다(${\displaystyle man}$ + ${\displaystyle d}$ = b m ${\displaystyle b}$ + c = ${\displaystyle b}$ m b${\displaystyle }$+ ${\displaystyle c}$ = b m b + ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaysty man+daddad=bmb+cnc$}$$

그 정리는 코사인 법칙의 적용으로서 증명될 수 있다.^{[3][better source needed]}

m과 d의 각도가 되게 하고 n과 d의 각도가 되게 한다. 그러면 θ′은 θ의 보충물이고, 그래서 cos θ = -cos θ. 각 θ과 θ을 이용하여 두 개의 작은 삼각형 안에 코사인의 법칙을 적용하면 생산된다.

${\displaystyle {\signified}c^{2}&=m^{2}+dm^{2}-dm\cos \\\theta \b^{2}&=n^{2}+dn^{2}-dn^{2}-dn^{2}+dn^{2}}}+2dndndndndndn1}}}}}}cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \c$

첫 번째 방정식에 n을 곱하고 세 번째 방정식에 m을 더하면 cos θ이 제거된다. 얻는다

${\displaystyle {\n+c^{2}m+c^{2}n\\&=nm^{2}m+{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+d^{2}),\&=a(mn+d^{2}),\end{liged}}$

그게 필요한 방정식이야

또는 삼각형의 꼭지점에서 밑단까지 수직으로 그리고 피타고라스의 정리를 이용하여 고도 측면에서 거리 b, c, d를 적음으로써 정리를 증명할 수 있다. 그런 다음 방정식의 좌우측을 대수적으로 같은 표현으로 줄인다.^[2]

역사

허튼앤 그레고리(1843, 페이지 220)에 따르면 스튜어트는 1746년 에든버러대 수학학부 교수로 콜린 매클라우린 후임 후보 시절 이 결과를 발표했다. Coxeter & Greitzer(1967, 페이지 6)는 그 결과가 아마도 기원전 300년경에 Archimedes에게 알려졌을 것이라고 말한다. 그들은 계속해서 최초의 알려진 증거가 R에 의해 제공되었다고 말한다. 1751년 심슨. 허튼앤 그레고리(1843)는 그 결과가 1748년 심슨과 1752년 심슨에 의해 사용되고 1803년 라자레 카르노가 준 유럽에서의 첫 등장이라고 말한다.

참고 항목

• 매스 포인트 기하학

메모들

참조

• Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, New Mathematical Library #19, The Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-619-0
• Hutton, C.; Gregory, O. (1843), A Course of Mathematics, vol. II, Longman, Orme & Co.
• Russell, John Wellesley (1905), "Chapter 1 §3: Stewart's Theorem", Pure Geometry, Clarendon Press, OCLC 5259132

추가 읽기

• I.S 아마라싱허, 문제해결 43.3: 스튜어트의 정리(Protolemy의 정리를 이용한 스튜어트의 정리에 대한 새로운 증명), 수학 스펙트럼, 제43권(03) 페이지 138 – 139, 2011.
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by Its History, Springer, p. 112, ISBN 978-3-642-29162-3

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Stewart's Theorem". MathWorld.
• PlanetMath에서 스튜어트의 정리.