수페렐립스

가브리엘 라메의 이름을 따서 라메 곡선으로도 알려진 초페렐리원은 타원을 닮은 닫힌 곡선으로, 반장축과 반장축의 기하학적 특징과 그에 대한 대칭을 유지하지만 전체적인 형태는 다릅니다.

데카르트 좌표계에서 곡선의 모든 점 집합(x, y)은 다음 방정식을 만족한다.

$\displaystyle \left \frac {x} {a} \right ^{n} \!+\왼쪽 {frac {y}{b}}\오른쪽 ^{n}\!=1,}$

여기서 n, a, b는 양수이고 숫자 주위의 세로 막대는 숫자의 절대값을 나타냅니다.

구체적인 경우

이 공식은 직사각형 -a x x + +a 및 -b y y + +b에 포함된 닫힌 곡선을 정의합니다.파라미터 a와 b를 곡선의 세미다이아메터라고 부릅니다.곡선의 전체 모양은 다음 표와 같이 지수 n의 값에 의해 결정됩니다.

${\displaystyle 0<n1}$	초페렐리원은 오목한(안쪽으로 구부러진) 면이 있는 네 개의 팔로 된 별처럼 보입니다. 특히 n = 1/2의 경우, 4개의 호 각각은 포물선의 세그먼트이다.아스트로이드는 특별한 경우 a = b, n = 2/3이다.	n =인 초환원1µ2, a = b = 1
${\displaystyle n=1}$	곡선은 모서리(±a, 0)와 (0, ±b)가 있는 마름모꼴이다.
${\displaystyle 1\n<2}$	곡선은 모서리가 같지만 볼록한(밖으로 구부러진) 면이 있는 마름모꼴로 보입니다. 곡률은 극점에 가까워질수록 무제한으로 증가합니다.	n = 3⁄2, a = b = 1인 초환원
${\displaystyle n=2}$	곡선은 일반적인 타원(특히 a = b인 경우 원)입니다.
$\displaystyle n > 2$	곡선은 표면적으로는 둥근 모서리가 있는 직사각형처럼 보입니다. 곡률은 (±a, 0) 및 (0, ±b) 지점에서 0입니다.	squigupple, n = 4, a = b = 1인 초환원

n < 2일 경우 하이포타일리프, n > 2일 경우 하이포타일리프라고도 합니다.

n 1 1 및 a = b일 때, 초페렐리원은 n-norm에서 R의² 공 경계이다.

초환원의 극점은 (±a, 0) 및 (0, ±b)이며, 4개의 "극점"은 (±sa, ±solar)이며, $여기$서 s ${\displaystyle ={}^{\mathrm{}}}$ -${\displaystyle 1^{}}$ /$$ {\$displaystyle$ s=$2^{-1/n}$ ("슈퍼니스"^[1]라고도 함)이다.

수학적 특성

n이 양의 유리수 p/q일 때(가장 낮은 항), 초펠리원의 각 사분면은 pq ^[2]차수의 평면 대수 곡선이다.특히 a = b = 1 및 n이 짝수 정수일 경우 n도의 페르마 곡선이다.이 경우 단수가 아니지만 일반적으로 단수가 됩니다.분자가 짝수가 아닐 경우, 곡선은 다른 방향으로 동일한 대수 곡선의 일부에서 함께 결합됩니다.

곡선은 파라메트릭 방정식($기본{\displaystyle }$ 기하학적 해석이 없는 $파라미터$ t\$displaystyle$ t$)$에 의해 제공됩니다.

$(\displaystyle\왼쪽).\frac { aligned }x \ left ( t \ right )& = pm a \ cos ^ { \ frac { } t \ y \ left ( t \ right )& = \ pm b \ sin ^ { \ frac { 2 } t \ } t \ } \ end { } \ qquad 0 \ leq t \ leq leq leq lepi { {\ {\ {\ {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\$

여기서 각 ±을 개별적으로 선택할 수 있으므로 t$\displaystyle$t의$$ $각{\displaystyle }$ 값이 곡선에서 4점을 얻을 수 있습니다.$마찬가지$로$t$의 범위가$$ $$< {$displaystyle$ 0 \$leq$t <$2$ \ $pi$} 。

${\displaystyle {displaystyle}x\left(t\right)&={\cos t }^{\frac {2}{n}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)&{\y\left(t\right)&{\cdot b\operatorname {sin}{sin}(\sin})$

기호 함수가 있는 곳

$\displaystyle \operatorname {sgn}(w)=param {case}-1,&w <0\\0,&w=0\+1,&w>0.\end {case}}$

$여기$서 t$${$displaystyle$ t$}$는 y $\frac{x}{}$ $=$ $\frac{b}{}$a ( $\tan t{}^{}$t )${2\mathrm{}}^{}$ / $n^{}\tan$ t$t$ t .$${ $textstyle${ $frac$ { y } { x } =$frac${ b } { x } { x } （ $tan$） = frac { a } { a } { n } { $tan$ } { $tan$ } { $tan$ } { tan } } （ n ） ） （ n ） ） ） 。

초환원 내부의 영역은 감마 함수의 관점에서 다음과 같이 표현될 수 있다.

${{displaystyle \mathrm {Area} = 4ab frac {left (\Gamma \left (1+{\tfrac {1}{n}}\right)} {\Gamma \left (1+{\tfrac {2}{n}}\right}}}}},$

또는 베타 기능의 관점에서 보면

${\displaystyle \mathrm {Area} = specfrac {4ab}{n}}\mathrm {B} \!\leftfac\frac {1}{n}, {\frac {1}{n}+1\right}.}$

페달 곡선은 비교적 쉽게 계산할 수 있습니다.구체적으로는, 의 페달은

$\displaystyle \left \frac {x} {a} \right ^{n} \!+\왼쪽 {frac {y}{b}}\오른쪽 ^{n}\!=1,}$

는 에 의해 극좌표로^[3] 주어진다.

${{displaystyle (a\cos \theta)^{n-1}+(b\sin \theta)^{\tfrac {n}{n-1}=r^{\tfrac {n}{n-1}}}.}$

일반화

이 섹션은 확장해야 합니다.추가함으로써 도움이 될 수 있습니다. (2008년 6월)

초환원은 다음과 같이 더욱 일반화됩니다.

$\displaystyle\left\frac{x}{a}\right ^{m}+\left\frac {y}{b}\right ^{n}=1;\qquad m,n>0.}$

또는

${\displaystyle {displaystyle}x\left(t\right)&={\frac {2}{m}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\y\left(t\right)&=cdot t\sin t\right }{\cdot bames}{\cdot n}{\cdot}\end { aligned}}$

$\displaystyle$t는 기본 기능을$$ 통해 물리적 각도에 연결되지 않은 파라미터입니다.

역사

이 형태의 일반적인 데카르트 표기법은 타원에 대한 방정식을 일반화한 프랑스 수학자 가브리엘 라메 (1795–1870)에서 유래했다.

1952년에 출판된 헤르만 자프의 서체 멜리오르는 o와 같은 글자에 초페렐립스를 사용한다.30년 후 Donald Knuth는 진정한 줄임표와 초퍼렐립스(둘 다 입방 스플라인으로 근사함) 사이에서 선택할 수 있는 능력을 컴퓨터 모던 타입의 패밀리에 구축했습니다.

이 초페렐리원은 덴마크의 시인이자 과학자인 피에트 하인(1905-1996)에 의해 명명되었지만, 그는 때때로 주장되는 것처럼 발견하지 못했다.1959년 스웨덴 스톡홀름의 도시 계획자들은 도시 광장 세르겔스 토르그에 있는 회전식 교차로에 대한 디자인 도전을 발표했습니다.Piet Hein의 수상 제안은 n = 2.5 및 a/b = 6/^[4]5인 초박수를 기반으로 했습니다.그가 설명했듯이:

인간은 스스로 선을 긋고 넘어지는 동물이다.문명 전반에 걸쳐 두 가지 경향이 있었는데 하나는 직선과 직사각형 무늬로, 다른 하나는 원형으로 향하는 것이었다.두 가지 성향 모두 기계적인 이유와 심리적인 이유가 있습니다.직선으로 만든 물건들은 서로 잘 맞고 공간을 절약한다.또, 동그란 선으로 만들어진 물건의 주위를, 육체적으로나 정신적으로도 간단하게 이동할 수 있습니다.그러나 우리는 종종 중간 형태가 더 좋을 때 둘 중 하나를 받아들여야 하는 구속에 처해 있다.스톡홀름에서 시도했던 패치워크 트래픽 서클과 같은 프리핸드로 그림을 그리는 것은 불가능합니다.고정된 것도 아니고, 동그라미나 정사각형 같은 것도 아닙니다.넌 그게 뭔지 몰라.그것은 미학적으로 만족스럽지 않다.초타원이 그 문제를 해결했다.그것은 동그랗지도 않고 직사각형도 아니고 그 사이에 있다.하지만 그것은 고정되어 있고, 확실합니다. 그것은 단결성을 가지고 있습니다.

Sergels Torg는 1967년에 완공되었다.한편, Piet Hein은 침대, 접시, 테이블 ^[5]등과 같은 다른 공예품들에 초페렐립스를 사용했다.가장 긴 축을 중심으로 초페레그를 회전시킴으로써 그는 평평한 표면에 똑바로 설 수 있는 단단한 달걀 모양의 초페레그를 만들어 새로운 장난감으로 판매했다.

1968년 파리에서 베트남전 협상대표들이 협상테이블의 모양에 동의하지 않자 발린스키, 키런 언더우드, 홀트는 뉴욕타임스에 보낸 ^[4]편지에서 초인종적인 협상테이블을 제안했다.초페렐리원은 1968년 멕시코시티의 아즈테카 올림픽 스타디움의 모양에 사용되었다.

월도 R. Tobler는 ^[6]1973년에 출판된 지도 투영법인 Tobler 초초음속 투영법을 개발했습니다. 이 그림에서 경맥은 초음속 원호입니다.

뉴스 회사 The Local의 로고는 Sergels Torg의 비율과 일치하는 기울어진 초퍼렐립스로 구성되어 있습니다.피츠버그 스틸러스의 로고에는 세 개의 연결된 초페렐립이 사용됩니다.

컴퓨팅에서 모바일 운영 체제 iOS는 앱 아이콘에 초평형 곡선을 사용하여 버전 ^[7]6까지 사용된 둥근 모서리 스타일을 대체합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 아스트로이드(Astroid)는 n = 2⁄3 및 a = b인 초환원으로, 4개의 쿠스를 가진 저환원체이다.
  • 델토이드 곡선, 세 개의 쿠스의 저사이클로이드.
• n = 4 및 a = b로 이루어진 초승사자인 스부기클은 "사각형 바퀴"처럼 보입니다.
  • '삼각형 바퀴'의 룰로 삼각형이네요
• 슈퍼포뮬라, 초환원의 일반화입니다.
• 슈퍼 쿼드릭과 초페렐립소이드, 초페렐립소의 3차원 "친족"입니다.
• 초감각 곡선, Y = f(X) 형식의ⁿ 방정식.
• L^p 스페이스
• 수페렐립소이드

레퍼런스

• Barr, Alan H. (1983), Geometric Modeling and Fluid Dynamic Analysis of Swimming Spermatozoa, Rensselaer Polytechnic Institute (초페렐립토이드를 이용한 박사학위 논문)
• Barr, Alan H. (1992), "Rigid Physically Based Superquadrics", in Kirk, David (ed.), Graphics Gems III, Academic Press, pp. 137–159 (code: 472–477), ISBN 978-0-12-409672-1
• Gielis, Johan (2003), Inventing the Circle: The Geometry of Nature, Antwerp: Geniaal Press, ISBN 978-90-807756-1-9

외부 링크

• Sokolov, D.D. (2001) [1994], "Lamé curve", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• 매스커브의 '라메커브'
• Weisstein, Eric W. "Superellipse". MathWorld.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Lame Curves", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
• 2dcurves.com의 "Super Ellipse
• Superellipse 계산기 및 템플릿 생성기
• 초퍼렐립을 장착하기 위한 C 코드