슈퍼포뮬라

슈퍼포뮬라(superformula)는 초페렐립스를 일반화한 것으로, 2000년경 요한 기엘리스에 의해 제안되었다.^[1]지엘리스는 이 공식을 자연에서 발견되는 많은 복잡한 모양과 곡선을 설명하는 데 사용할 수 있다고 제안했다.지엘리스는 슈퍼포뮬라에서 생성된 패턴의 합성과 관련된 특허 출원을 했다.^[2]

극좌표에서$,$ $r$ {\$displaystyle$ r$}$ $및{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \varphi$} 각도를$$ 사용하면, 슈퍼포뮬라는 다음과 같다.

${\displaystyle r\좌(\varphi \우)=\좌(\좌)\frac(\frac {\cos \좌){m\varphi }{4}\우)}}{a}\오른쪽 ^{n_{2}}+\왼쪽 {\sin \frac \prac\\frac {m\varphi }}{4}\오른쪽 ^{n_}}{3}}}^{-{\frac {1}{n_{1}:{1}}}}}}}}}}}}}}}.}$

파라미터 $a{\displaystyle }$ ,${\displaystyle b}$ ,${\displaystyle }$m${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle a,b,m,n_{1},$${\displaystyle {n\_\mathrm{}}_{}}$${2$},$$n $3$ , ${\displaystyle n_{3}$에 대해 다른 값을 선택하면 다른 형상을$$ 생성할 수 있다.

이 공식은 덴마크 수학자 피에트 하인이 이름을 짓고 대중화한 초페렐리프스를 일반화함으로써 얻은 것이다.

2D 그림

다음 예에서 각 그림 위에 표시된 값은 m, n, n₂, n이어야₁₃ 한다.

이러한 수치를 생성하기 위한 GNU 옥타브 프로그램

function sf2d(n, a)  u = [0:.001:2 * pi];  raux = abs(1 / a(1) .* abs(cos(n(1) * u / 4))) .^ n(3) + abs(1 / a(2) .* abs(sin(n(1) * u / 4))) .^ n(4);  r = abs(raux) .^ (- 1 / n(2));  x = r .* cos(u);  y = r .* sin(u);  plot(x, y); end

더 높은 차원으로 확장

슈퍼포뮬라의 구형 제품을 이용하여 3, 4 또는 n차원으로 공식을 확장할 수 있다.예를 들어, 3D 파라메트릭 표면은 두 개의 슈퍼포뮬라 r과₁ r을₂ 곱하여 얻는다.좌표는 다음과 같은 관계에 의해 정의된다.

${\displaystyle x=r_{1}(\theta )\cos \theta \cdot r_{2}(\phi )\cos \phi ,}$

${\displaystyle y=r_{1}(\theta )\sin \theta \cdot r_{2}(\phi )\cos \phi ,}$

${\displaystyle z=r_{2}(\phi )\sin \phi ,}$

여기서 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }($으)는 -π/2와 π/2 사이에서, θ(으)는 -π//과 π 사이에 차이가 있다.

3D 그림

3D 슈퍼포뮬라: a = b = 1; m, n, n₂, n이₁₃ 그림에 표시된다.

이러한 수치를 생성하기 위한 GNU 옥타브 프로그램:

function sf3d(n, a)  u = [- pi:.05:pi];  v = [- pi / 2:.05:pi / 2];  nu = length(u);  nv = length(v);  for i = 1:nu  for j = 1:nv  raux1 = abs(1 / a(1) * abs(cos(n(1) .* u(i) / 4))) .^ n(3) + abs(1 / a(2) * abs(sin(n(1) * u(i) / 4))) .^ n(4);  r1 = abs(raux1) .^ (- 1 / n(2));  raux2 = abs(1 / a(1) * abs(cos(n(1) * v(j) / 4))) .^ n(3) + abs(1 / a(2) * abs(sin(n(1) * v(j) / 4))) .^ n(4);  r2 = abs(raux2) .^ (- 1 / n(2));  x(i, j) = r1 * cos(u(i)) * r2 * cos(v(j));  y(i, j) = r1 * sin(u(i)) * r2 * cos(v(j));  z(i, j) = r2 * sin(v(j));  endfor;  endfor;  mesh(x, y, z); endfunction;

일반화

슈퍼포뮬라는 슈퍼포뮬라의 두 용어로 구별되는 m 매개변수를 허용함으로써 일반화할 수 있다.첫 번째 $매개{\displaystyle }$ 변수 m ${\displaystyle m}$을(를) y로, 두 번째 매개 변수 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$을(를) z로 교체하는 방법:^[3]

${\displaystyle r\왼쪽(\varphi \오른쪽)=\왼쪽(\frac {\cos \left\frac {y\varphi }}{4}\오른쪽)}}{a}\오른쪽 ^{n_{2}}+\왼쪽 {\sin\leftac\frac\{z\varphi }}{4}\오른쪽 ^{n_}}{3}}^{-{\frac {1}{n_{1}}}}}}}}}}$

이를 통해 회전 비대칭 구조와 내포 구조를 만들 수 있다.다음 예에서 a, b, ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$및$$ n ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 1이다$$.

참조

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 슈퍼포뮬라와 관련된 미디어가 있다.

• 세계최적화를 위한 시뮬레이션된 어닐링과 입자 군집법에 의한 지엘리스 곡선부착에 관한 실험적 연구
• 최적화를 위한 입자 군집법에 의한 차콘-지엘리스 곡선의 최소 제곱 피팅
• 슈퍼포뮬라 2D 플로터 & SVG 제너레이터
• JSXGraph를 사용한 대화형 예제
• SuperShaper: OpenSource, OpenCL 가속화된 대화형 3D SuperShaper 기반 시각화(OpenGL3)
• Simpel, WebGL 기반 SuperShape 구현