토다오실레이터

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2012년 7월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

물리학에서 토다 오실레이터는 특별한 종류의 비선형 오실레이터다.그것은 이웃들 사이의 기하급수적인 잠재적 상호작용을 가진 일련의 입자들을 나타낸다.^[1]이러한 개념들은 도다 모리카즈(Toda)의 이름을 따서 명명되었다.토다 발진기는 과도체에서 고체상태 레이저의 출력강도의 준주기적 펄스인 자기펄스 현상을 이해하기 위한 간단한 모델로 사용된다.

정의

토다 오실레이터는 모든 원점의 동적 시스템으로, 종속 좌표 ${\displaystyle x}$ ${\$과(와) ${\displaystyle 독립}$좌표 z {\$displaystyle$~z~}을(를) 사용하여 설명할$$수 있으며, ${\displaystyle 독립}$ 좌표$$z {\$displaystyle$~z~}을(를$)$를 따라 진화를 방정식으로 근사할 수 있다는$$ 특징이 있다.

${\displaystyle {{\rm {{d^{2}}x}{{\rm{d}z^{2}}+D(x){\rm {{d}x}{{\rm{d}z}}+\Phi '(x)=0,}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 ${\displaystyle D(}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle u^{}}$ x${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle v}$ ${\$~$D(x)=ue^{x}+v~},$${\displaystyle ,(x}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle e^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\$ prime는 파생상품을$$ 나타낸다.

물리적인 의미

독립 좌표 ${\displaystyle z}$ ${\$은(는) 시간 감각을 가지고$$ 있다.실제로 시간 ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle ~t$$~}$에 비례할 수 있으며$,$ ${\displaystyle 여기}$서 t${\displaystyle }$${\displaystyle 0{}_{}}$ $displaystyle ~z=t_$${0}$은(는) 일정하다${\displaystyle .}$

The derivative ${\displaystyle ~{\dot {x}}={\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}}$ may have sense of velocity of particle with coordinate ${\displaystyle ~x~}$; then ${\displaystyle ~{\ddot {x}}={\frac {{\rm {d}}^{2}x}{{\rm {d}}z^{2}}}~}$ can은 가속으로 해석된다; 그리고 그러한 입자의 질량은 통일과 같다.

소멸 함수 ${\displaystyle D}$ ${\$은(는) 속도 비례 마찰 계수의 감각을 가질 수 있다$$.

일반적으로 ${\displaystyle u}$ ${\$과 v ${\$ 두 파라미터 모두 양수여야 하며, 그러면$$ 이 속도 비례 마찰 계수는 좌표 ${\displaystyle x}$ ${\$의 큰 양의 값에서 기하급수적으로 증가한다$.$

잠재적 ${\displaystyle \phi \mathrm{}(x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle \mathrm{x}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\$은 고정 함수로서$$ 좌표 ${\displaystyle x}$ ${\$의 큰 양의 값에서도 지수 성장을 나타낸다$.$

레이저 물리학의 응용에서 ${\displaystyle x}$ ${\$은(는) 레이저 캐비티 내 광자 수의 로그 감각을 가질 수 있으며$$, 그 안정 상태 값과 관련이 있을 수 있다.그런 다음 이러한 레이저의 출력 출력은 ${\displaystyle \exp \exp }$( x${\displaystyle }$) ${\$에 비례하며$$ ${\displaystyle x}$ ${\$의 진동에서 펄스를 나타낼 수 있다$.$

단일 질량 입자와 광자 수의 로그가 있는 두 유사점은 모두 토다 발진기의 거동 분석에 유용하다.

에너지

엄밀히 말하면, 진동은 ${\displaystyle \mathrm{u}}$ =${\displaystyle }$0 ${\$에서만 주기적이다$.$실제로 토다오실레이터를 자가 펄스 레이저로 실현하는 과정에서 이들 파라미터의 순서는 ${\displaystyle 10{\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 4^{}}$ $displaystyle ~10^{-4}]$가 될 수 있다$.$ 여러 펄스 동안 펄스 진폭은 크게 변하지 않는다.이 경우 ${\displaystyle 함수}$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$( $){\$가 거의 주기적이기$$ 때문에 맥동 기간을 말할 수 있다.

In the case ${\displaystyle ~u=v=0~}$, the energy of the oscillator ${\displaystyle ~E={\frac {1}{2}}\left({\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}\right)^{2}+\Phi (x)~}$ does not depend on ${\displaystyle ~z~}$, and can be treated as a constant of motion.그런 다음, 맥동 기간 중 ${\displaystyle x}$ ${\$x~}과$($와) ${\displaystyle z}$ ${\$ 사이의 관계를 분석적으로 표현할 수 있다$$.

${\displaystyle z=\pm \int _{x_{\min }^{x_{\max }\!\!{\frac {{\rm{d}a}{{\sqrt{2}}:{\sqrt{E-\Phi(a)}}}}}$

여기서 ${\displaystyle {xmin}_{}}$ $displaystyle ~x_{\min }~}$ 및$$ x ${\displaystyle {max}_{}}$ ${\displaystyle \{\backslash {}_{}}$$displaystyle$ $~$$x_{\$$max$ $}~}$은(는) x${\displaystyle \stackrel{}{}}$˙ ($0{\displaystyle \stackrel{}{}}$)${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$ ${\dotyle {\x}=0$의 최소 및 최대값인 경우에$$ 대해 이 솔루션이 작성된다$.$

그러나, 다른 해결책들은 변환 불변성의 원리를 사용하여 얻을 수 있다.

비율 ${\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle {max}_{}}$/ ${\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle {min}_{}}$= 2 ${\displaystyle 2}$ ${\$는 펄스 진폭의 특성을 나타내는 편리한 매개 변수다.Using this, we can express the median value ${\displaystyle \delta ={\frac {x_{\max }-x_{\min }}{1}}}$ as ${\displaystyle \delta =\ln {\frac {\sin(\gamma )}{\gamma }}}$; and the energy ${\displaystyle E=E($$\property )={\frac {\frac$(\property $}}}{\tanh(\property )}}}+\ln {\frac {\sinh \property$ $}{\$$1}$은(으)의 기본 기능이기도 하다$$$.$

응용 프로그램에서는 수량 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$이(가) 시스템의 물리적 에너지가 될 필요가$$ 없으며, 이러한 경우 이 치수 없는 양을 퀘이시에너지라고 할 수 있다.

맥동기간

맥동 기간은 진폭 ${\displaystyle \gamma }$ ${\$의 증가 함수다$.$

When ${\displaystyle ~\gamma \ll 1~}$, the period ${\displaystyle ~T(\gamma )=2\pi \left(1+{\frac {\gamma ^{2}}{24}}+O(\gamma ^{4})\right)~}$

${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gg }$ ${\displaystyle 1}$ ${\$일 때 기간 ${\displaystyle T}$ (${\displaystyle \gamma }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle O}$( ${\displaystyle 1}$ + O ( 1${\displaystyle }$+ O (${\displaystyle }$1 / ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle )\}}$ $displaystystyle ~T(\gamma )=4\gamma$^{$1/2}\1/2$}\$lifteft$(1$+O (1/\gma$ )~$오른쪽)}$

In the whole range ${\displaystyle ~\gamma >0~}$, the period ${\displaystyle ~{T(\gamma )}~}$ and frequency ${\displaystyle ~k(\gamma )={\frac {2\pi }{T(\gamma )}}~}$ can be approximated by

${\displaystyle k_{\text{fit}(\gamma )={\frac {2\pi }{T_{\text{fit}}(\gamma )}}}=}$

$\displaystyle \lefts\frac {3030+674\reason +695.2419\1909 ^{2}+191.4489\cHB ^{3}+16.86221\cHB ^{4}+4.082607\7\cHB ^{5}+\cHB ^6}{6}}{630+674\cHB +2467\cHB ^{2}+303}2428\1901 ^{3}+180.6842\i1\i1\{4}+36.6434\i1^{5}+3.9596\i1\i1}{6}+0.8983\i1}{7}+{16}{\pi ^4}\i^{8}}\right)^{1/4}}}$

최소 8개의 유의미한 수치까지.이 근사치의 상대적 오차는 ${\displaystyle 22}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {10}^{}}$- ${\displaystyle 9^{}}$ ${\$를 초과하지 않는다$.$

맥동 붕괴

${\displaystyle u}$ ${\$ 및 ${\displaystyle v}$ ${\$의 작은(그러나 여전히 양의) 값에서$$맥동은 천천히 분해되며, 이러한 붕괴는 분석적으로 설명할 수 있다.첫 번째 근사치에서 ${\displaystyle 매개변수}$ ${\$와 v ${\$는 붕괴에 대한 추가 기여를 제공하며$$, 붕괴율과 비선형 진동의 진폭 및 위상은 위의 기간과 유사한 방식으로 기본 함수와 근사치를 계산할 수 있다.이상화된 토다 오실레이터의 동작을 기술할 때, 그러한 근사치의 오차는 광학 벤치에서 자체 펄스 레이저로서 이상과 그 실험 실현의 차이보다 작다.그러나 자가펄스레이저는 질적으로 매우 유사한 행동을 보인다.^[3]

연속한계

토다 체인 운동 방정식은 이웃 간의 거리가 0이 되는 연속 한계에서 코르테웨그-데 브리스 방정식(KdV) 방정식이 된다.^[1]여기서 체인의 입자에 라벨을 붙이는 지수는 새로운 공간 좌표가 된다.

이와는 대조적으로, Toda 필드 이론은 체인 인덱스 라벨과 독립된 새로운 공간 좌표를 도입함으로써 달성된다.이것은 상대론적으로 불변적인 방법으로 행해져 시간과 공간이 동등한 토대 위에서 다루어지게 된다.^[4]이것은 토다장 이론이 토다 사슬의 연속적인 한계가 아니라는 것을 의미한다.

참조