바이젠보크의 부등식

수학에서$,$ Roland Weitzenböck의 $이름$을 딴 $Weitzenböck$의$$불평등은 측면 $길이$의 $삼각형$에 대해 $다음$과 같은 $불평등$이 유지된다고 말한다$.$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\geq 4{\sqrt {3}\\Delta .}$

평등은 삼각형이 등각형일 경우에만 발생한다.페도의 불평등은 바이젠보크의 불평등을 일반화한 것이다.하드와이거-핀슬러 불평등은 웨이젠보크의 불평등을 강화한 것이다.

기하학적 해석과 증명

위의 불평등을 다시 쓰는 것은 보다 구체적인 기하학적 해석을 가능하게 하고, 이는 다시 즉각적인 증거를 제공한다.^[1]

${\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}+{4}b^{3}+{\frac {\sqrt{3}}{4}c^{2}\geq 3\,\Delta .}}$

이제 왼쪽의 산수는 원래 삼각형의 측면에 세워진 정삼각형의 영역이며, 따라서 불평등은 정삼각형의 면적의 합이 항상 정삼각형의 면적의 3배보다 크거나 같다고 말한다.

${\displaystyle \Delta _{a}+\Delta _{b}+\Delta _{c}\geq 3\,\Delta .}$

이것은 이제 정삼각형 내에서 삼각형의 면적을 세 번 복제함으로써 보여질 수 있다.Fermat 지점이 $㎛[\$각으로$$ 삼각형을 세 개의 둔부하각으로 분할하는 데 사용되며, 그러한 각 부분하각은 그 옆에 있는 등변 삼각형 내에서 세 번 복제된다.이것은 페르마트 지점이 삼각형의 내부에 위치하지 않고 대신 꼭지점이 되기 때문에 삼각형의 각도가 $㎛{\$ $\}\}\}$보다 작은 경우에만 효과가 있다.그러나 한 각도가 $㎛([\$ 120$^{\circle }})$보다 크거나 같으면 가장$$ 큰 정삼각형 내에서 세 번 전체 삼각형을 복제할 수 있으므로, 어쨌든 모든 정삼각형의 면적 합은 삼각형의 3배 면적보다 큰 상태를 유지할 수 있다.

추가 증거

이러한 불평등의 증거는 1961년 국제수학올림피아드에서 질문으로 설정되었다.그렇다 하더라도, 결과는 삼각형 영역에 대한 헤론의 공식을 이용하여 도출하는 데 그리 어렵지 않다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\Delta &}={\frac {1}{4}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(c+a-b)}}}\\[4pt]&{}={\frac{1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}c^{2}+b^{2}-(a^{4}+b^{4}}+b^{4}}}}}}}}}}.\end{정렬}}}$

첫 번째 방법

음이 아닐 수밖에 없는 내면의 나폴레옹 삼각형의 면적이 음성이라는^[2] 것을 알 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\sqrt{3}}{24}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt{3}\Delta }),}$

따라서 괄호 안의 식이 0보다 크거나 같아야 한다.

두 번째 방법

이 방법은 모든 사각형이 음성이 아닌 것을 제외하고는 불평등에 대한 지식이 없다고 가정한다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{}&,(a^{2}-b^{2})^ᆵ+(b^{2}-c^{2})^ᆶ+(c^{2}-a^{2})^{2}\geq 0\\[5pt]{}\iff&2(a^{4}+b^{4}+c^{4})-2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})\geq 0\\[5pt]{}\iff&{\frac{4(a^{4}+b^{4}+c^{4})}{3}}\geq{\frac{4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\\[5pt]{}\iff&{\frac{(a^{4}+b^{4}+c^{4})+2({2a^}b^{2}+a^{2}c^.{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\geq 2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\[5pt]{}\iff &{\frac {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}}\geq (4\Delta )^{2},\end{aligned}}}$

그리고 결과는 즉시 양쪽의 양의 제곱근을 취함으로써 나타난다.첫 번째 불평등에서 우리는 또한 평등이 ${\displaystyle a}$= b${\displaystyle }$= ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a=b=c}$과 삼각형이 등각일 때에만 일어난다는 것을 알 수 있다.

제3법

이 증거는 AM-GM 불평등에 대한 지식을 전제로 한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&&(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}&\geq &&0\\\Rightarrow &&2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}&\geq &&2ab+2bc+2ac\\\iff &&3(a^{2}+b^{2}+c^{2})&\geq &&(a+b+c)^{2}\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}}&\geq &>{\sqrt {3(a+b+c)\left\frac {a+b+c}{3}}}\{3}\\\오른쪽 화살표 &&a^{2}+b^{2}+c^{2}}&\geq &>{\sqrt {3(a+b+c)(-a+b+c)(a+b+c)(a+b-c)}}}\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}}}&\geq &&4{\sqrt{3}\Delta .\end{정렬}}}$

우리가 산술-기하학 평균 불평등을 사용해 왔듯이, $평등$은 a${\displaystyle }$= ${\displaystyle b}$= c$$= ${\displaystyle c}$ {\$displaystyle a$=$b=c$}와 삼각형이$$ 등각형일 때만 발생한다.

네 번째 방법

)침대 ⁡ A, c)침대 x 쓰⁡ A+침대 ⁡ B>0{\displaystyle x=\cot A,c=\cot A+\cot B>0}서 합 S)침대 ⁡ A+침대 ⁡ B+침대 ⁡ C)댁+1−)(c−))c{\displaystyle S=\cot A+\cot B+\cot C=c+{\frac{1-x(c-x)}{c}}}과c S)c2− x댁+x2+1)()− c2)2+(c32− 1)2.+c${\displaystyle cS=c^{2}-xc+x^{2}+1=\left(x-{\frac {c}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {c{\sqrt {3}}}{2}}-1\right)^{2}+c{\sqrt {3}}\geq c{\sqrt {3}}}$ i.e.${\displaystyle S\geq {\sqrt {3}}}$. But ${\displaystyle \cot A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4\Delta }}}$, so ${\displaystyle S={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4\Delta }}}$.

참고 항목

• 삼각 불평등 목록
• 등측 부등식
• 하드와이거-핀슬러 불평등

메모들

참고자료 & 추가 판독

• 클라우디 알시나, 로저 B넬슨:적은 것이 더 많을 때: 기본적인 불평등을 시각화한다.MAA, 2009년 ISBN9780883853429, 페이지 84-86
• 클라우디 알시나, 로저 B넬슨:Weitzenbök와 Hadwiger-Fin슬러 불평등의 기하학적 증명.수학잡지, 제81권, 제3권(2008년 6월), 페이지 216–219 (JSTOR)
• D. M. Batinetu-Giurgiu, Nicusor Minculette, Nevulai Stanciu:Ionescu-Weitzeböck 유형의 기하학적 불평등.국제 기하학 저널, 제2권(2013), 제1호, 4월
• D. M. 바티네투-기우르기우, 네불라이 스탠치우:불평등 Ionescu - Weitzenböck.MateInfo.ro, 2013년 4월 (사본 사본)
• 대니얼 페도: 기하학적 불평등에 대해서.The Matheal Gazette, 26권, 272호 (1942년 12월, 페이지 202-208 (JSTOR)
• 롤랑 웨이트젠보크: 드레이크게오메트리에 있는 위버 에인 운글리충.Mathematische Zeitschrift, 1919년 5권, 페이지 137-146(Göttinger Digitalisierungszentrum의 온라인 사본)
• Dragutin Svrtan, Darko Veljan: 비유클리드 버전의 고전 삼각형 불평등.포럼 기하학, 2012년 12권, 페이지 197–209 (온라인 사본)
• 미할리 벤체, 니쿠소르 민쿠르테, 오비디우 T.팝: 삼각관계에 대한 새로운 불평등.옥토곤 수학 잡지 제17권, 제1권, 2009년 4월, 페이지 70-89 (온라인 카피)

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Weitzenböck's Inequality". MathWorld.
• 제이 와렌도르프 울프램 데모프로젝트의 인터랙티브 데모 프로젝트 「위첸뵈크의 불평등」.