위너지수

Wiener index

화학 그래프 이론에서, 해리 위너에 의해 도입된 위너 지수(또한 위너 수)는 분자의 위상학적 지수로서, 분자의 비수력 원자를 나타내는 화학 그래프에서 모든 정점 쌍 사이의 최단 경로 길이의 합으로 정의된다.[1]

Wiener 지수는 컴퓨터 네트워크의 표현과 격자 하드웨어 보안 강화에 사용될 수 있다.

역사

위너지수는 1947년 도입한 해리 위너(Harry Wiener)의 이름을 따온 것인데, 당시 위너(Wiener)는 이를 '경로번호'[2]라고 불렀다.분자분할과 관련된 가장 오래된 위상학적 지수다.[3]그 성공을 바탕으로, 그래프의 거리 매트릭스에 있는 정보를 바탕으로 한 화학 그래프의 다른 많은 위상학적 지표가 후속으로 개발되었다.[4]

총상태,[5] 그래프의 거리,[6] 전송을 포함한 다양한 이름으로 같은 양이 순수 수학에서도 연구되었다.[7]위너 지수는 또한 그래프에서 정점의 폐쇄 중심성과 밀접하게 관련되어 있는데, 이는 주어진 정점과 사회측정과 사회관계망 이론에서 자주 사용되어 온 다른 정점 사이의 모든 거리의 합에 반비례하는 양이다.[6]

예

부탄(CH410)은 4개의 탄소 원자의 선형 구조를 가진 n-부탄(n-butane)과 분기 구조를 가진 이소부탄(isobutane)이라는 두 가지 구조 이소무터를 가지고 있다.n부탄의 화학 그래프는 4Vertex 경로 그래프, 이소부탄의 화학 그래프는 하나의 중심 꼭지점이 3개의 잎에 연결된 나무다.

  • 부탄의 두 등가.

  • 엔부탄

  • 이소부탄

n-부탄 분자는 서로 1번 거리에 3쌍의 정점, 2번 거리에 2쌍, 3번 거리에 1쌍의 정점을 가지고 있기 때문에 그 위너 지수는 다음과 같다.

이소부탄 분자는 3쌍의 정점을 서로 1개씩 거리에 두고(세 쌍의 잎-중앙 쌍), 2번 거리에 3쌍(잎-잎 쌍)이 있다.따라서 위너 지수는 다음과 같다.

는 위너 지수의 특별한 경우에 공식의 이 숫자들은 인스턴스:n-butane,[8]의 그래프와 같은 어떤 n{n\displaystyle}-vertex 경로 그래프에(n3− n)/6{\displaystyle(n^{3}-n)/6}과 n에 대한 그래프 같은-vertex 스타{n\displaystyle}(n− 1)2{\displaystyle(n-1)^{2}}.의이소부탄의[9]

따라서 이 두 분자는 화학식이 같고 탄소-탄소-수소 결합의 수가 같더라도 서로 다른 구조는 서로 다른 위너 지수를 발생시킨다.

화학적 성질과의 관계

Wiener는 Wiener 지수 번호가 알칸 분자의 비등점과 밀접하게 연관되어 있음을 보여주었다.[2]이후 정량적 구조-활동 관계에 대한 연구는 그것이 임계 지점의 매개변수,[10] 액체 단계의 밀도, 표면 장력 및 점성,[11] 분자의 반 데르 발스 표면적을 포함한 다른 양과도 상관관계가 있다는 것을 보여주었다.[12]

임의 그래프에서의 계산

위너 지수는 그래프의 모든 쌍별 거리를 계산하기 위한 알고리즘을 사용하여 직접 계산할 수 있다.그래프가 비가중치인 경우(따라서 경로의 길이는 단지 가장자리 수일 뿐), 이러한 거리는 각 시작 정점에 대해 한 번씩 너비 우선 검색 알고리즘을 반복하여 계산할 수 있다.[13]이 접근법의 총 시간은 O(nm)이며, 여기서 n은 그래프에서 정점 수, m은 가장자리 수입니다.

가중 그래프의 경우, 각각 실행 시간 O(n3) 또는 O(nm + n2 log n)와 함께 플로이드-워샬 알고리즘[13][14][15] 또는 존슨 알고리즘을 사용할 수 있다.[16]화학 정보학 문헌에서는 매트릭스 곱셈을 반복하는 것에 기초한 대안적이지만 효율성이 떨어지는 알고리즘도 개발되었다.[17][18]

특수 유형의 그래프에서의 계산

기초 그래프가 나무인 경우(예를 들어, 위너가 원래 연구한 알칸의 경우 사실인 경우), 위너 지수를 더 효율적으로 계산할 수 있다.단일 에지 e를 제거하여 그래프를 두 개의 하위 트리로 분할하는 경우, 그 위너 지수는 두 하위 트리의 위너 지수의 합과 함께 e를 통과하는 경로를 나타내는 세 번째 항이다.이 세 번째 항은 각 하위 트리 내에서 e로부터 모든 정점 거리 합계를 계산하고 두 합을 곱하여 선형 시간으로 계산할 수 있다.[19]이러한 분할 및 정복 알고리즘은 나무에서 경계 트리 너비의 그래프까지 일반화할 수 있으며, 이러한 그래프의 경우 거의 선형에 가까운 알고리즘으로 이어진다.[20]

보얀 모하르와 토마 피산스키가 나무의 위너 지수를 계산하는 대안적인 방법은 문제의 문제를 가중 정점이 있는 그래프로 일반화하는데, 여기서 경로의 무게는 두 끝점의 무게로 길이의 산물이다.v가 트리의 잎 꼭지점인 경우, 그 트리의 Wiener 색인은 그 상위와 v를 병합(그들의 가중치를 함께 추가)하고, 그 결과 더 작은 트리의 색인을 계산하고, v에서 상위 트리로 가장자리를 통과하는 경로에 대한 간단한 보정 항을 추가하여 계산할 수 있다.이런 식으로 반복적으로 잎을 제거함으로써, 위너 지수를 선형 시간으로 계산할 수 있다.[13]

더 단순한 그래프의 산물로 구성된 그래프의 경우, 제품 그래프의 위너 지수는 종종 그 인자의 지수를 결합한 단순한 공식으로 계산할 수 있다.[21]벤제노이드(정규적인 육각형 가장자리부터 가장자리까지 접착하여 형성된 그래프)는 세 개의 나무의 카르테시아 산물에 등축적으로 내장할 수 있어, 그들의 위너 지수를 선형 시간 트리 알고리즘과 함께 제품 공식을 사용하여 선형 시간 내에 계산할 수 있다.[22]

역문제

Gutman & Yeh(1995)는 그래프의 Wiener 지수로 나타낼 수 있는 숫자를 결정하는 문제를 고려했다.[23]그들은 두 개의 양의 정수를 제외한 모든 정수가 그러한 표현을 가지고 있다는 것을 보여주었다; 두 개의 예외는 숫자 2와 5인데, 이것은 어떤 그래프의 위너 지수가 아니다.초당적이어야 하는 그래프의 경우, 그들은 다시 거의 모든 정수를 나타낼 수 있으며, 더 큰 예외 집합이 있다는 것을 발견했다: 집합의 숫자 중 어떤 것도 나타내지 않음.

{2, 3, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 33, 37, 39}

초당적 그래프의 Wiener 지수로 나타낼 수 있다.

Gutman과 Yeh는 나무의 Wiener 지수로 나타낼 수 있는 숫자에 대한 유사한 설명과 49개의 예외적인 값을 가지고 있다고 추측했지만 증명할 수 없었다.

2, 3, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 30, 33, 34, 37, 38, 39, 41, 43, 45, 47, 51, 53, 55, 60, 61, 69, 73, 77, 78, 83, 85, 87, 89, 91, 99, 101, 106, 113, 147, 159 (sequence A122686 in the OEIS)

그 추측은 나중에 바그너, 왕, 유에 의해 증명되었다.[24][25]

참조

  1. ^ Rouvray, Dennis H. (2002), "The rich legacy of half a century of the Wiener index", in Rouvray, Dennis H.; King, Robert Bruce (eds.), Topology in Chemistry: Discrete Mathematics of Molecules, Horwood Publishing, pp. 16–37, ISBN 9781898563761.
  2. ^ a b Wiener, H. (1947), "Structural determination of paraffin boiling points", Journal of the American Chemical Society, 1 (69): 17–20, doi:10.1021/ja01193a005, PMID 20291038.
  3. ^ Todeschini, Roberto; Consonni, Viviana (2000), Handbook of Molecular Descriptors, Wiley, ISBN 3-527-29913-0.
  4. ^ 루브레이(2002년).32페이지의 표 2를 참조하십시오.
  5. ^ Harary, Frank (1959), "Status and contrastatus", Sociometry, 22 (1): 23–43, doi:10.2307/2785610, JSTOR 2785610, MR 0134798
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  8. ^ 루브레이(2002)가 기술한 바와 같이, 이 공식은 이미 위너(1947년)에 의해 주어졌다.
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