제노 기계

수학과 컴퓨터 과학에서, 제노 기계(Zeno machine, 줄여서 ZM, 가속 튜링 기계라고도 함)는 셀 수 없을 만큼 많은 알고리즘 ^[1]단계를 포함하는 계산을 수행할 수 있는 튜링 기계와 관련된 가상의 계산 모델이다.이 기계들은 대부분의 계산 모델에서 제외된다.

제노 기계의 개념은 1927년 헤르만 바일에 의해 처음 논의되었다; 그 이름은 고대 그리스 철학자 엘레아의 제노에 기인한 제노의 역설에서 유래했다.제노 기계는 몇몇 이론에서 결정적인 역할을 한다.예를 들어, 물리학자 프랭크 J. 티플러가 고안한 오메가 포인트의 이론은 제노 기계가 가능할 때만 유효하다.

정의.

제노 기계는 무한히 많은 단계를 밟을 수 있는 튜링 기계입니다. 그리고 나서 더 많은 단계를 밟을 수 있다. $1/2^{n}$ 는 1/ $(\$ 1/ $2^{n})$ 단위의 $1/2^{n}$ 시간이 n $(\displaystyle$ n $)$ 의 $n$ 스텝을 실행하는 슈퍼태스킹이라고 할 수 있습니다.따라서 첫 번째 스텝은 0.5단위, 두 번째 스텝은 0.25, 세 번째 0.125 등의 시간이 소요되므로 1단위가 지나면 셀 수 없을 정도로 많은 스텝이 발생합니다.형성되어 있다.

무한 시간 튜링 기계

톰슨의 램프 사고 실험을 바탕으로 한 무한 시간 튜링 기계의 애니메이션.

\omega

은

\omega

0

({

displaystyle

0

}

~

({displaystyle

\omega

1

\omega

0

에서 번갈아 표시됩니다.시퀀스가 수렴되지 않기 때문에 셀은

\omega

1

({

displaystyle 1})

이

1

\omega

됩니다

.

제노 기계의 보다 형식적인 모델은 무한 시간 튜링 기계이다.Jeffrey Kidder에 의해 미공개 작품에서 처음 정의되고 Joel Hamkins와 Andy Lewis에 의해 확대된 무한 시간 튜링 ^[2]기계에서 무한 시간 튜링 기계는 모든 유한 ^[2]시간을 포함하는 고전적인 튜링 기계 모델의 확장입니다.기존의 튜링 $기계$ 는 $스텝$ 0 $($ 상태, 빈 테이프가 있는 상태, 셀 0에 읽기 헤드가 있는 상태) 및 하나의 상태에서 연속 상태로 이행하는 절차를 가진다.이와 같이 튜링 기계의 상태는 자연수에 대응하는 모든 단계에 대해 정의된다.는 이러한 속성을 유지하며, 0 $(\display style$ 0 $)$ 도 $0$ 아니고 서수의 후속도 $아닌$ 서수인 한계 서수에서도 머신의 상태를 정의합니다.튜링 머신의 상태는 3개의 부분으로 구성됩니다.

주(state)
읽기/쓰기 헤드의 위치
테이프 내용

고전적인 튜링 기계가 프로그램 시작 시의 상태인 라벨이 부착된 시작 상태를 가지는 것처럼 라벨이 부착된 한계 상태를 가지는 것은 임의의 한계 ^[1]서수에서의 기계 상태를 의미한다.이는 예를 들어 노드가 이 상태로 전환되지 않는 등 기계가 이 상태에 액세스할 다른 방법이 없는 경우에도 마찬가지입니다.읽기-쓰기 헤드의 위치는 모든 ^[1]^[2]제한 단계에서 0으로 설정됩니다.마지막으로 테이프의 상태는 이전 테이프 상태의 한계우위에 의해 결정됩니다.일부 $기계$ T $(\displaystyle$ T $T$ 의경우셀 k(\ $displaystyle$ k $k$ ) 및 한계 순서 $\lambda$ (\ $displaystyle \lambda)$ 입니다 $\lambda$ .

$T(\lambda)_{k}=\limsup_{n\rightarrow\setda}T(n)_{k$

이것은 $k번째$ $k$ 입니다 $.기계$ 가 $\lambda$ 했을 때 같은 셀의 상한선입니다 $.\displaystyle\lambda$ ^[1] 이는 $\lambda$ 수렴할 경우 한계선, $그렇지$ ^[1]않을 경우 1 $(\displaystyle$ 1)로 $1$ 간주할 수 있습니다.

계산 가능성

제노 기계는 고전 튜링 ^[3]기계보다 더 강력한 계산 모델로 제안되어 왔는데, 고전 튜링 기계의 정지 문제를 해결하는 능력에 바탕을 두고 있다.Christian Calude와 Ludwig Staiger는 Zeno ^[4]머신에서 실행할 때의 정지 문제에 대한 해결책으로 다음과 같은 의사 코드 알고리즘을 제시합니다.

출력 테이프의 첫 번째 위치에서 프로그램 쓰기 0을 시작합니다; 주어진 입력에서 주어진 튜링 머신의 연속된 1단계를 시작합니다; 만약 튜링 머신이 정지했다면 출력 테이프의 첫 번째 위치에 1을 쓰고 루프를 끊으십시오; 프로그램 종료

$1$ \ displaystyle $1$ unit $1$ 시간이 $1$ 한 후 출력 테이프의 첫 번째 위치를 검사하여 주어진 튜링 기계가 ^[4]정지하는지 여부를 확인할 수 있습니다.반면 Oron Shagir는 Zeno 머신의 상태는 $,$ 1 $]({displaystyle$ [ $0,$ 1 $1$ 의 간격에서만 정의되므로 시간 1 $({displaystyle$ 1 $)$ 에 테이프를 검사할 수 없다고 주장한다.또, 기존의 튜링 머신에는 타이밍 정보가 없기 때문에, 타이밍 정보가 가속되는지 여부에 관계없이 추가된다.입력 여부 자체는 계산 ^[3]능력을 추가하지 않습니다.

그러나 무한 시간 튜링 기계는 주어진 알고리즘을 구현할 수 있으며, 정확한 ^[2]해법으로 $\omega$ ${\$ {\ $displaystyle \omega}$ 에 $\omega$ 정지할 수 있습니다. 왜냐하면 무한 시간 ^[3]튜링 기계는 초한 단계의 상태를 정의하기 때문입니다.모든 $π1$ \ \ \ $\$ \ $Pi$ _ { $1$ }^1 $\Pi _{1}^{1}$ } 세트는 무한시간 튜링 머신에 의해 결정 가능하며 $\Delta _{2}^{1}$ 1 $\Delta _{2}^{1}$ \ $displaystyle$ \ $Delta$ _ { $2}^1}$ 세트는 $\Delta _{2}^{1}$ ^[2]^{[clarification needed]}반감시 가능합니다.

제노 기계는 정지 ^[4]문제를 해결할 수 없습니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b ^c ^d ^e Hamkins, Joel (2002-12-03). "Infinite time Turing machines". arXiv:math/0212047.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Hamkins, Joel; Lewis, Andy (1998-08-21). "Infinite Time Turing Machines". arXiv:math/9808093.
^ ^a ^b ^c Shagir, Oron, Super-Tasks, Accelerating Turing Machines and Uncomputability (PDF), archived from the original (PDF) on July 9, 2007
^ ^a ^b ^c Calude, Cristian; Staiger, Ludwig, A Note on Accelerated Turing Machines (PDF)

[ITTM-1] Hamkins, Joel (2002-12-03). "Infinite time Turing machines". arXiv:math/0212047.

[ITTM1-2] Hamkins, Joel; Lewis, Andy (1998-08-21). "Infinite Time Turing Machines". arXiv:math/9808093.

[Shagir-3] Shagir, Oron, Super-Tasks, Accelerating Turing Machines and Uncomputability (PDF), archived from the original (PDF) on July 9, 2007

[CDMTCS-4] Calude, Cristian; Staiger, Ludwig, A Note on Accelerated Turing Machines (PDF)

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