模 (代數)

模（英文：module）係抽象代數入面其中一個基本嘅代數結構。佢同向量空間好似，唯一嘅唔同就係純量可以係一個固定嘅環入面嘅元素，唔一定係一個場。如果個模嘅純量係嚟自環 $R$ 嘅話，呢種模會叫做$R-$模（$R$-module）。由於佢同向量空間好相似，好多向量空間入面嘅概念都會喺模入面出現返，例如線性相關、線性組合、同構定理等等。所以模嘅理論喺可以參考向量空間嘅理論之餘，可以用嚟描述更一般更廣泛嘅現象。

模同羣表示論好有關係，亦都係交換代數、同調代數、代數幾何同埋代數拓撲嘅研究對象。

引入同定義

研究動機

喺向量空間入面，純量係喺一個場入面，同埋定義咗一個「純量乘向量」嘅乘法，呢個乘法符合結合律、分配律等等一拃性質。喺模入面，放寬咗純量嘅限制，佢只要係一個環就得，呢一點係一個好大步嘅推廣。喺交換代數入面，研究一個環一定要睇佢嘅模。舉個例，畀一個環$R$，佢嘅理想 $I$ 同商環 $R/I$ 都係$R$-模，即係話用模嘅語言可以一次過講嗮同理想同埋商環有關嘅定理。

如果底下個純量環有啲好嘅性質（例如主理想域principal ideal domain），好多向量空間嘅性質都可以推廣到呢啲「好環」嘅模上面。但係亦都有啲性質喺推唔到嘅，例如每一個向量空間都有基，並且基嘅基數係固定嘅，但係模就唔一定有基，就算有，同一個模嘅唔同嘅基都可以有唔同嘅基數。

定義

假設$R$係一個環而且$1$係佢嘅乘法單位，一個左$R$-模$M$就係一個交換羣$(M,+)$配一個二元運算（叫純量乘法）$\cdot :R\times M\to M$，對所有$r,s\in R$、$x,y\in M$，都符合：

1. $r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y$
2. $(r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x$
3. $(rs)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)$
4. $1\cdot x=x.$

好多時喺寫算式嗰陣，呢粒點會直接唔寫，例如會用$rx$嚟代表$r\cdot x$。如果想強調$M$係一個左$R$-模嘅話，可以寫${}_{R}M$。同樣道理，$M_{R}$就係表示佢係一個右$R$-模，有一個二元運算$\cdot :M\times R\to M$，符合一拃好類似嘅公式。

一個$(R,S)$-雙模$M$，可以寫做${}_{R}M_{S}$，就係話佢同時係一個左$R$-模同右$S$-模，而且符合額外一條「結合律」嘅式$(rm)s=r(ms)$，當中r 喺R入面，m喺M入面，s 喺S 入面。

如果$R$係交換環嘅話，左$R$-模同右$R$-模係一樣嘅，所以可以直接叫$R$-模，唔講左右。如果$R$ 唔交換嘅話，左$R$-模其實係同右$R^{op}$-模一樣，呢到$R^{op}$係$R$嘅相反環。