此條目介紹的是範疇論中的廣群。關於具有單一二元運算的代數結構,請見「
原群 」。
在數學 中,尤其在範疇論 和同倫論 中,廣群 (groupoid,或勃蘭特廣群,Brandt groupoid)是對群 的概念的抽象化。廣群可被視為:
在存在依賴類型 的情況下,一般來說,一個範疇可視作是類型化的么半群 ;廣群也可簡單視作類型化的群。對象到對象的態射形成類型的依賴族,於是態射可以是類型化的
g
:
A
→
B
{\displaystyle g:A\rightarrow B}
、
h
:
B
→
C
{\displaystyle h:B\rightarrow C}
。於是組合是全函數:
∘
:
(
B
→
C
)
→
(
A
→
B
)
→
A
→
C
{\displaystyle \circ :(B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow B)\rightarrow A\rightarrow C}
,於是
h
∘
g
:
A
→
C
{\displaystyle h\circ g:A\rightarrow C}
。
廣群的特例包括:
廣群常用於研究流形 等幾何 物體。廣群最先由海因里希·勃蘭特 於1927年引入,其思想暗含在勃蘭特半群 的概念中。[ 2]
廣群指的是代數結構
(
G
,
∗
)
{\displaystyle (G,\ast )}
,包含非空集G 與定義在G 上的二元偏函數 '
∗
{\displaystyle \ast }
'。
廣群是具備一元運算
−
1
:
G
→
G
,
{\displaystyle {}^{-1}:G\to G,}
與偏函數
∗
:
G
×
G
⇀
G
{\displaystyle *:G\times G\rightharpoonup G}
的集合G ,當中的*不是二元運算 ,因為其不一定定義在G 中所有的元素對上。這裏不闡述定義*的確切條件,這些條件因情況而異。
運算*、−1 有以下公理性質:
∀
a
,
b
,
c
∈
G
{\displaystyle \forall a,\ b,\ c\in G}
:
結合律 :若定義了
a
∗
b
,
b
∗
c
{\displaystyle a*b,\ b*c}
,則
(
a
∗
b
)
∗
c
=
a
∗
(
b
∗
c
)
{\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}
。
逆元 :
a
−
1
∗
a
{\displaystyle a^{-1}*a}
、
a
∗
a
−
1
{\displaystyle a*{a^{-1}}}
總有定義。
單位元 :若定義了
a
∗
b
{\displaystyle a*b}
,則
a
∗
b
∗
b
−
1
=
a
;
a
−
1
∗
a
∗
b
=
b
{\displaystyle a*b*{b^{-1}}=a;\ {a^{-1}}*a*b=b}
。(由前兩條性質可推知。)
從中可得到兩個簡單方便的性質:
(
a
−
1
)
−
1
=
a
{\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}
;
若定義了
a
∗
b
{\displaystyle a*b}
,則
(
a
∗
b
)
−
1
=
b
−
1
∗
a
−
1
{\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}
。[ 3]
廣群是小範疇,其中每個態射 都可逆,即是同構 。[ 1] 更明確地說,廣群G 是對象集合
G
0
{\displaystyle G_{0}}
,其中
每對對象x 、y ,都有從x 到y 的態射(或箭頭)的(可能是空)集合
G
(
x
,
y
)
{\displaystyle G(x,\ y)}
,其中的元素寫作
f
:
x
→
y
;
{\displaystyle f:\ x\to y;}
每個對象x ,
G
(
x
,
x
)
{\displaystyle G(x,\ x)}
的指定元素
i
d
x
;
{\displaystyle \mathrm {id} _{x};}
對任意三個元素x 、y 、z 都有函數
c
o
m
p
x
,
y
,
z
:
G
(
y
,
z
)
×
G
(
x
,
y
)
→
G
(
x
,
z
)
:
(
g
,
f
)
↦
g
f
;
{\displaystyle \mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf;}
對任意兩個元素x 、y 都有函數
i
n
v
:
G
(
x
,
y
)
→
G
(
y
,
x
)
:
f
↦
f
−
1
,
∀
f
:
x
→
y
,
g
:
y
→
z
,
h
:
z
→
w
;
{\displaystyle \mathrm {inv} :G(x,y)\rightarrow G(y,x):f\mapsto f^{-1},\ \forall f:\ x\to y,\ g:\ y\to z,\ h:\ z\to w;}
f
i
d
x
=
f
{\displaystyle f\ \mathrm {id} _{x}=f}
、
i
d
y
f
=
f
;
{\displaystyle \mathrm {id} _{y}\ f=f;}
(
h
g
)
f
=
h
(
g
f
)
;
{\displaystyle (hg)f=h(gf);}
f
f
−
1
=
i
d
y
{\displaystyle ff^{-1}=\mathrm {id} _{y}}
、
f
−
1
f
=
i
d
x
.
{\displaystyle f^{-1}f=\mathrm {id} _{x}.}
若
f
∈
G
(
x
,
y
)
{\displaystyle f\in G(x,\ y)}
則稱x 為f 的源 ,記作
s
(
f
)
{\displaystyle s(f)}
;y 稱作f 的目標 ,記作
t
(
f
)
{\displaystyle t(f)}
。廣群G 有時記作
G
1
⇉
G
0
{\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}
,當中
G
1
{\displaystyle G_{1}}
是所有態射的集合,兩個箭頭
G
1
→
G
0
{\displaystyle G_{1}\to G_{0}}
代表源和目標。
更一般地,可以考慮任意範疇中的廣群對象 ,其允許有限的纖維積。
代數定義與範疇論定義等價,下面證明。給定範疇論定義廣群,令G 為所有集合
G
(
x
,
y
)
{\displaystyle G(x,\ y)}
的不交並 (即x 到y 的態射的集合);則
c
o
m
p
{\displaystyle \mathrm {comp} }
、
i
n
v
{\displaystyle \mathrm {inv} }
就成了G 上的偏運算,而
i
n
v
{\displaystyle \mathrm {inv} }
事實上在任意地方都可被定義。我們定義*為
c
o
m
p
{\displaystyle \mathrm {comp} }
、−1 為
i
n
v
{\displaystyle \mathrm {inv} }
,這樣就得到了代數定義的廣群。可以不再明確提及
G
0
{\displaystyle G_{0}}
(及
i
d
{\displaystyle \mathrm {id} }
)。
反過來,給定代數定義的廣群G ,用
∼
{\displaystyle \sim }
定義其元素上的等價關係:
a
∼
b
{\displaystyle a\sim b}
,若
a
∗
a
−
1
=
b
∗
b
−
1
.
{\displaystyle a*a^{-1}=b*b^{-1}.}
令G 0 為
∼
{\displaystyle \sim }
的等價類集合,即
G
0
:=
G
/
∼
{\displaystyle G_{0}:=G/\!\!\sim }
。若
a
∈
G
{\displaystyle a\in G}
且
x
∈
G
0
{\displaystyle x\in G_{0}}
,用
1
x
{\displaystyle 1_{x}}
記a ∗ a −1 。
現在定義
G
(
x
,
y
)
{\displaystyle G(x,y)}
為所有使
1
x
∗
f
∗
1
y
{\displaystyle 1_{x}*f*1_{y}}
存在的f 的集合。給定
f
∈
G
(
x
,
y
)
,
g
∈
G
(
y
,
z
)
,
{\displaystyle f\in G(x,y),\ g\in G(y,z),}
其組合定義為
g
f
:=
f
∗
g
∈
G
(
x
,
z
)
.
{\displaystyle gf:=f*g\in G(x,z).}
這是良定義的,因為可觀察到
(
1
x
∗
f
)
∗
1
y
{\displaystyle (1_{x}*f)*1_{y}}
、
1
y
∗
(
g
∗
1
z
)
{\displaystyle 1_{y}*(g*1_{z})}
都存在,
(
1
x
∗
f
∗
1
y
)
∗
(
g
∗
1
z
)
=
f
∗
g
{\displaystyle (1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g}
也存在。這樣,x 的恆等態射就是
1
x
{\displaystyle 1_{x}}
,f 的範疇論逆是f −1 。
上述定義中的集合可用類 代替,這在範疇論中很常見。
給定廣群G ,其中的頂點群 或迷向群 或軌道群 是
G
(
x
,
x
)
(
x
∈
G
)
{\displaystyle G(x,\ x)(x\in G)}
的子群。從上述公理不難看出,它們確實是群,因為每對元素都可組合,且逆元都在同一個群中。
廣群G 在點
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
處的軌道 由集合
s
(
t
−
1
(
x
)
)
⊆
X
{\displaystyle s(t^{-1}(x))\subseteq X}
給出,當中包含了可用G 中的態射連接到x的每個點。若x 、y 兩點在相同的軌道上,則它們的頂點群G(x) 、G(y) 群同構 :若
f
:
x
→
y
{\displaystyle f:\ x\to y}
,則同構由
g
→
f
g
f
−
1
{\displaystyle g\to fgf^{-1}}
給出。
軌道構成了集合X的一部分。若廣群只有一個軌道(等價地是連通的 ),則稱之為傳遞 的。那麼,所有頂點群都同構(另一方面,這不是傳遞性的充分條件,反例下詳)。
G
⇉
X
{\displaystyle G\rightrightarrows X}
的子廣群 是子範疇
H
⇉
Y
{\displaystyle H\rightrightarrows Y}
,其本身是一個廣群。若它是寬或滿的子範疇,即
∀
x
,
y
∈
Y
{\displaystyle \forall x,y\in Y}
都有
X
=
Y
{\displaystyle X=Y}
或
G
(
x
,
y
)
=
H
(
x
,
y
)
{\displaystyle G(x,y)=H(x,y)}
,則也稱其為寬 或滿 。
廣群映射 簡單說就是兩個(範疇論)廣群間的函子。
有幾種特殊的廣群態射值得關注。若
∀
x
∈
E
,
∀
b
∈
B
:
p
(
x
)
→
,
{\displaystyle \forall x\in E,\ \forall b\in B:\ p(x)\to ,}
都有
e
∈
E
:
x
→
{\displaystyle e\in E:\ x\to }
,使得
p
(
e
)
=
b
{\displaystyle p(e)=b}
,則廣群的態射
p
:
E
→
B
{\displaystyle p:E\to B}
稱作纖維化 。若這樣的e 是唯一的,則纖維化稱作覆蓋態射 或廣群的覆蓋 。廣群的覆蓋態射很有用,可用來模擬空間的覆蓋映射 。[ 4]
同樣,給點廣群B 的覆蓋態射範疇,等同於廣群B 對對集合的作用範疇。
給定拓撲空間 X ,令
G
0
{\displaystyle G_{0}}
為集合X 。從點p 到點q 的態射是p 到q 的連續 路徑 的等價類 ,若兩條路徑同倫 ,就稱它們等價。
先沿第一條路徑,再沿第二條路徑,兩個這樣的態射便組合到一起;同倫等價性保證這種組符合結合律 。這樣的廣群稱作X 的基本廣群 ,記作
π
1
(
X
)
{\displaystyle \pi _{1}(X)}
(有時是
Π
1
(
X
)
{\displaystyle \Pi _{1}(X)}
)。[ 5] 通常的基本群
π
1
(
X
,
x
)
{\displaystyle \pi _{1}(X,x)}
於是就是點x的頂點群。
基本廣群
π
1
(
X
)
{\displaystyle \pi _{1}(X)}
的軌道是X 的路徑連通成分。相應地,路徑連通空間的基本廣群是傳遞的,我們恢復了已知的事實,即任意基點上的基本群是同構的。此外,基本廣群和基本群這時作為範疇是等價 的(一般理論見下文 )。
這一思想的重要推廣是考慮基本廣群
π
1
(
X
,
A
)
{\displaystyle \pi _{1}(X,A)}
,其中
A
⊂
X
{\displaystyle A\subset X}
是選定的基點集合。當中
π
1
(
X
,
A
)
{\displaystyle \pi _{1}(X,A)}
是
π
1
(
X
)
{\displaystyle \pi _{1}(X)}
的(寬)子廣群,這裏只考慮端點屬於A 的路徑。集合A 可據當前情況的幾何形狀來選擇。
若X 是集合體 ,即具有等價關係
∼
{\displaystyle \sim }
的集合,則「表示」這等價關係的廣群可由如下構成:
廣群對象是X 的元素;
∀
x
,
y
∈
X
,
{\displaystyle \forall x,\ y\in X,}
有單態射
(
y
,
x
)
:
x
→
y
{\displaystyle (y,x):\ x\to y}
,若且唯若
x
∼
y
{\displaystyle x\sim y}
;
(
z
,
y
)
{\displaystyle (z,y)}
與
(
y
,
x
)
{\displaystyle (y,x)}
的組合是
(
z
,
x
)
{\displaystyle (z,x)}
。
這個廣群的頂點群總是平凡的;此外,這個廣群一般不傳遞,其軌道正是等價類。有兩個極端例子:
X 每個元素若都與X 的其他元素有聯繫,則就得到了X 的對廣群 ,其以整個
X
×
X
{\displaystyle X\times X}
作為箭頭集,且是傳遞的。
X 每個元素若只與自身有關係,就得到了單位廣群 ,其以X 為箭頭集,
s
=
t
=
i
d
X
{\displaystyle s=t=id_{X}}
,是完全不傳遞的(每個單子
{
x
}
{\displaystyle \{x\}}
都是軌道)。
切赫廣群[ 6] :5 是一類特殊的廣群,與某個流形X 的開覆蓋
U
=
{
U
i
}
i
∈
I
{\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}
所給出的等價關係相關聯。其對象由不交並
G
0
=
∐
U
i
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\coprod U_{i}}
給出,其箭頭是相交
G
1
=
∐
U
i
j
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\coprod U_{ij}}
.
源映射與目標映射由誘導映射給出
s
=
ϕ
j
:
U
i
j
→
U
j
t
=
ϕ
i
:
U
i
j
→
U
i
{\displaystyle {\begin{aligned}s=\phi _{j}:U_{ij}\to U_{j}\\t=\phi _{i}:U_{ij}\to U_{i}\end{aligned}}}
包含映射
ε
:
U
i
→
U
i
i
{\displaystyle \varepsilon :U_{i}\to U_{ii}}
則給出了廣群的結構。實際上,還可設置
G
n
=
G
1
×
G
0
⋯
×
G
0
G
1
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}={\mathcal {G}}_{1}\times _{{\mathcal {G}}_{0}}\cdots \times _{{\mathcal {G}}_{0}}{\mathcal {G}}_{1}}
為n 次迭代的纖維積來進一步擴展,其中
G
n
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}}
表示n 個可組合箭頭的多元組。纖維積的結構映射隱含了目標映射,因為
U
i
j
k
→
U
i
j
↓
↓
U
i
k
→
U
i
{\displaystyle {\begin{matrix}U_{ijk}&\to &U_{ij}\\\downarrow &&\downarrow \\U_{ik}&\to &U_{i}\end{matrix}}}
是笛卡兒圖,其中到
U
i
{\displaystyle U_{i}}
的映射是目標映射。這種構造可看作是某些∞-廣群 的模型;此外,這種構造的另一個產物是k-上循環
[
σ
]
∈
H
ˇ
k
(
U
,
A
_
)
{\displaystyle [\sigma ]\in {\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\underline {A}})}
對某個阿貝爾群之常數層 可表為函數
σ
:
∐
U
i
1
⋯
i
k
→
A
{\displaystyle \sigma :\coprod U_{i_{1}\cdots i_{k}}\to A}
給出了上同調類的明確表示。
若群 G 作用於集合X ,則可由如下方式組成代表群作用 的作用廣群 或變換廣群 :
對象是X 的元素;
∀
x
,
y
∈
X
{\displaystyle \forall x,\ y\in X}
,態射
x
→
y
{\displaystyle x\to y}
對應
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
,使得
g
x
=
y
{\displaystyle gx=y}
;
態射的複合 解釋了G 的二元運算 。
更明確地說,作用廣群 是小範疇
o
b
(
C
)
=
X
{\displaystyle \mathrm {ob} (C)=X}
、
h
o
m
(
C
)
=
G
×
X
{\displaystyle \mathrm {hom} (C)=G\times X}
,源映射和目標映射分別為
s
(
g
,
x
)
=
x
{\displaystyle s(g,x)=x}
、
t
(
g
,
x
)
=
g
x
{\displaystyle t(g,x)=gx}
。通常表示為
G
⋉
X
{\displaystyle G\ltimes X}
(對於右作用記為
X
⋊
G
{\displaystyle X\rtimes G}
)。廣群中的乘法(或組合)就是
(
h
,
y
)
(
g
,
x
)
=
(
h
g
,
x
)
{\displaystyle (h,y)(g,x)=(hg,x)}
,定義條件是
y
=
g
x
{\displaystyle y=gx}
。
∀
x
∈
X
{\displaystyle \forall x\in X}
,頂點群由
g
x
=
x
{\displaystyle gx=x}
的
(
g
,
x
)
{\displaystyle (g,x)}
組成,這只是給定作用在x 處的迷向子群 (這就是頂點群稱為迷向子群的原因)。同樣,作用廣群的軌道是群作用的軌道 ,廣群是傳遞的若且唯若群作用也有傳遞性 。
另一種描述G 集合的方法是函子範疇
[
G
r
,
S
e
t
]
{\displaystyle [\mathrm {Gr} ,\mathrm {Set} ]}
,當中
G
r
{\displaystyle \mathrm {Gr} }
是1個元素的廣群(範疇),同構 於群G 。事實上,這個範疇的每個函子F 都定義了集合
X
=
F
(
G
r
)
;
∀
g
∈
G
{\displaystyle X=F(\mathrm {Gr} );\ \forall g\in G}
(即對
G
r
{\displaystyle \mathrm {Gr} }
中的每個態射)誘導了雙射
F
g
{\displaystyle F_{g}}
:
X
→
X
{\displaystyle X\to X}
。函子F 的範疇結構保證了F 定義了集合G 上的G 作用。(唯一)可表函子 F :
G
r
→
S
e
t
{\displaystyle \mathrm {Gr} \to \mathrm {Set} }
是G 的凱萊表示 。事實上,這個函子與
H
o
m
(
G
r
,
−
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)}
同構,因此將
o
b
(
G
r
)
{\displaystyle \mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )}
送到集合
H
o
m
(
G
r
,
G
r
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )}
,後者的定義就是「集合」G 和
G
r
{\displaystyle \mathrm {Gr} }
的態射g (即G 的元素g )到集合G 的置換
F
g
{\displaystyle F_{g}}
。由米田嵌入 推導出:群G 同構於G 的置換群 的子群
{
F
g
∣
g
∈
G
}
{\displaystyle \{F_{g}\mid g\in G\}}
。
考慮
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
在有限集
X
=
{
−
2
,
−
1
,
0
,
1
,
2
}
{\displaystyle X=\{-2,-1,0,1,2\}}
上的群作用,其將每個數取負,於是
−
2
↦
2
{\displaystyle -2\mapsto 2}
、
1
↦
−
1
{\displaystyle 1\mapsto -1}
。商廣群
[
X
/
G
]
{\displaystyle [X/G]}
是這個群作用的等價類集合
{
[
0
]
,
[
1
]
,
[
2
]
}
{\displaystyle \{[0],[1],[2]\}}
,
[
0
]
{\displaystyle [0]}
在其上有群作用
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
。
任何映射到
G
L
(
n
)
{\displaystyle GL(n)}
的有限群G 都會在仿射空間
A
n
{\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}
上產生群作用(由於這是自同構群)。於是,商廣群的形式可以是
[
A
n
/
G
]
{\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/G]}
,有一點的穩定子G 位於原點。這樣的例子構成了軌形 理論的基礎。另一個常研究的軌形族是加權射影空間
P
(
n
1
,
…
,
n
k
)
{\displaystyle \mathbb {P} (n_{1},\ldots ,n_{k})}
及其子空間,如卡拉比-丘軌形 。
給定具有廣群態射的廣群圖
X
↓
Y
→
Z
{\displaystyle {\begin{aligned}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{aligned}}}
其中
f
:
X
→
Z
{\displaystyle f:X\to Z}
、
g
:
Y
→
Z
{\displaystyle g:Y\to Z}
,可組成廣群
X
×
Z
Y
{\displaystyle X\times _{Z}Y}
,其對象為三元組
(
x
,
ϕ
,
y
)
{\displaystyle (x,\phi ,y)}
,其中
x
∈
Ob
(
X
)
,
y
∈
Ob
(
Y
)
,
ϕ
:
f
(
x
)
→
g
(
y
)
,
∈
Z
{\displaystyle x\in {\text{Ob}}(X),\ y\in {\text{Ob}}(Y),\ \phi :f(x)\to g(y),\ \in Z}
。態射可定義為一對態射
(
α
,
β
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta )}
,其中
α
:
x
→
x
′
,
β
:
y
→
y
′
{\displaystyle \alpha :x\to x',\ \beta :y\to y'}
,使得對三元組
(
x
,
ϕ
,
y
)
,
(
x
′
,
ϕ
′
,
y
′
)
,
Z
{\displaystyle (x,\phi ,y),(x',\phi ',y'),\ Z}
中有
f
(
α
)
:
f
(
x
)
→
f
(
x
′
)
,
g
(
β
)
:
g
(
y
)
→
g
(
y
′
)
,
ϕ
,
ϕ
′
{\displaystyle f(\alpha ):f(x)\to f(x'),\ g(\beta ):g(y)\to g(y'),\ \phi ,\phi '}
的交換圖。[ 7]
具體 阿貝爾範疇 中對象的二項復形
C
1
→
d
C
0
{\displaystyle C_{1}{\overset {d}{\rightarrow }}C_{0}}
可形成廣群。其對象是集合
C
0
{\displaystyle C_{0}}
,箭頭是集合
C
1
⊕
C
0
{\displaystyle C_{1}\oplus C_{0}}
;源映射只是到
C
0
{\displaystyle C_{0}}
的映射,目標映射是對
C
1
{\displaystyle C_{1}}
與d 的組合跟到
C
0
{\displaystyle C_{0}}
的映射的加法。也就是說,給定
c
1
+
c
0
∈
C
1
⊕
C
0
{\displaystyle c_{1}+c_{0}\in C_{1}\oplus C_{0}}
,有
t
(
c
1
+
c
0
)
=
d
(
c
1
)
+
c
0
.
{\displaystyle t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}.}
當然,若阿貝爾範疇是概形上的凝聚層 範疇,則這種構造可用於形成廣群的預層 。
魔方 可用群論來建模(見魔方群 ),也有些遊戲更適合用廣群建模。[ 8]
數字推盤遊戲 的變換就是廣群(不是群,因為並非所有移動都能複合)。[ 9] [ 10] [ 11] 這一廣群作用作用於構型。
馬蒂厄廣群 是約翰·何頓·康威 提出的作用於13個點的群,這樣固定一個點的元素就構成了馬蒂厄群 M12 的一個副本。
若廣群只有一個對象,則其態射集構成群 。由代數定義,這樣的廣群實際上就是群。 [ 12] 群論 的許多概念都能推廣到廣群,用函子 概念取代群同態 。
每個傳遞/連通的廣群(即如上所述,任意兩對象都由至少一個態射相連)都與作用廣群(如上定義)
(
G
,
X
)
{\displaystyle (G,X)}
同構。根據傳遞性,這個作用下只有一個軌道 。
注意剛才提到的同構不唯一,也沒有自然 的選擇。為一個傳遞廣群選擇這樣的同構實際上等於選擇對象
x
0
{\displaystyle x_{0}}
、群同構
h
:
G
(
x
0
)
→
G
{\displaystyle h:\ G(x_{0})\to G}
、
∀
x
≠
x
0
,
{\displaystyle \forall x\neq x_{0},\ }
態射
∈
G
:
x
0
→
x
{\displaystyle \in G:\ x_{0}\to x}
。
若廣群沒有傳遞性,則就同構於上述類型的廣群的不交並 ,也稱作其連通成分 (每個連通成分可能具有不同的群G 與集合X )。
用範疇論的術語來說,廣群的每個連通成分都等價 (但不同構 )於只有1個對象的廣群,即單群。因此,任何廣群都等價於無關群的多重集 ;換句話說,對等價(而非同構),我們不需要指定集合X ,而只需指定群G 。例如,
X 的基本廣群等價於X 的每個路徑連通成分的基本群 的集合,但同構要指定每個成分的點集;
具有等價關係
∼
{\displaystyle \sim }
的集合X 等價(作為廣群)於每個等價類 的平凡群 的一個副本,但同構需要說明每個等價類;
具備群G 的作用 的集合X 等價(作為廣群)於作用的每個軌道的G 的一個副本,但同構需要說明每個軌道是什麼集合。
即使從範疇論的角度來看,把廣群坍縮為單純的群集合也會失去一些信息,因為是不自然 的。因此,當廣群以其他結構出現時,保持整個廣群是有幫助的;否則就必須選擇一種方法,以從單群的角度看待每個
G
(
x
)
{\displaystyle G(x)}
,而這一選擇是任意的。在拓撲學 的例子中,必須連貫地選擇路徑(或路徑的等價類),從相同路徑連通成分的每個p 點到每個q 點。
一個更有啟發性的例子是,有自同態 的廣群的分類並不能歸結為單純的群論考慮。這類似於有一個自同態的向量空間 的分類並不平凡。
廣群的態射比群的更多樣:例如,有纖維化 、覆蓋態射、泛態射 、商態射。因此,群G 的子群H 會產生『』G對 G中 H的陪集 集的作用,從而產生 K到 G的覆蓋態射 p,其中 K是頂點群與 H同構的廣群。這樣,群 G的表示就可以「提升」到廣群 K的表示,這是獲取子群 H的表現信息的有用方法。
對象是廣群、態射是廣群態射的範疇稱作廣群範疇 ,記作Grpd 。
Grpd 與小範疇相似,是笛卡兒閉範疇 :對任意廣群
H
,
K
{\displaystyle H,K}
,我們都可以構造廣群
GPD
(
H
,
K
)
{\displaystyle \operatorname {GPD} (H,K)}
,其對象是態射
H
→
K
{\displaystyle H\to K}
、箭頭是態射的自然等價。於是,若
H
,
K
{\displaystyle H,K}
只是群,則這些箭頭就是態射的共軛。主要結果是,對任何廣群
G
,
H
,
K
{\displaystyle G,H,K}
都有自然雙射
Grpd
(
G
×
H
,
K
)
≅
Grpd
(
G
,
GPD
(
H
,
K
)
)
.
{\displaystyle \operatorname {Grpd} (G\times H,K)\cong \operatorname {Grpd} (G,\operatorname {GPD} (H,K)).}
即使所有廣群
G
,
H
,
K
{\displaystyle G,H,K}
都只是群,這個結果也有意義。
Grpd 既是完全範疇 ,又是余完全範疇。
包含態射
i
:
G
r
p
d
→
C
a
t
{\displaystyle i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Cat} }
有左右伴隨函子 :
hom
G
r
p
d
(
C
[
C
−
1
]
,
G
)
≅
hom
C
a
t
(
C
,
i
(
G
)
)
{\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Cat} }(C,i(G))}
hom
C
a
t
(
i
(
G
)
,
C
)
≅
hom
G
r
p
d
(
G
,
C
o
r
e
(
C
)
)
{\displaystyle \hom _{\mathbf {Cat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Core} (C))}
當中,
C
[
C
−
1
]
{\displaystyle C[C^{-1}]}
表示反轉每個態射的範疇局部化,
C
o
r
e
(
C
)
{\displaystyle \mathrm {Core} (C)}
表示所有同構的子範疇。
神經函子
N
:
G
r
p
d
→
s
S
e
t
{\displaystyle N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {sSet} }
將Grpd 嵌入為單純集範疇的子範疇。廣群的神經總是闞復形 。
神經有左伴隨
hom
G
r
p
d
(
π
1
(
X
)
,
G
)
≅
hom
s
S
e
t
(
X
,
N
(
G
)
)
{\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {sSet} }(X,N(G))}
當中
π
1
(
X
)
{\displaystyle \pi _{1}(X)}
表示單純集X 的基本廣群。
廣群範疇內部的範疇還可派生一種額外結構,即雙重廣群 。[ 13] [ 14] 因為Grpd 是2範疇,這些對象構成了2範疇,比1範疇有額外的結構。本質上說,這些對象是具有函子
s
,
t
:
G
1
→
G
0
{\displaystyle s,t:{\mathcal {G}}_{1}\to {\mathcal {G}}_{0}}
的廣群
G
1
,
G
0
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{0}}
,以及由恆等函子
i
:
G
0
→
G
1
{\displaystyle i:{\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}_{1}}
給出的嵌入。思考這些2廣群的一種方法是其包含對象、態射與可以縱橫組合的方塊。例如,給定方塊
∙
→
∙
↓
↓
∙
→
a
∙
{\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \end{matrix}}}
與
∙
→
a
∙
↓
↓
∙
→
∙
{\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}
其中
a
{\displaystyle a}
是同一個態射,則可以垂直相連,得到圖
∙
→
∙
↓
↓
∙
→
a
∙
↓
↓
∙
→
∙
{\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}
可將垂直箭頭轉置,得到另一個方塊。方塊的橫向連接也有類似規律。
研究幾何對象時,產生的廣群通常帶有拓撲 ,使其成為拓撲廣群 ;一些微分結構 還能將其變為李廣群 。最後這些對象也可根據其相關的李代數胚 進行研究,這與李群 和李代數 之間的關係類似。
從幾何產生的廣群通常具有與群乘法相互作用的結構。例如,泊松幾何 中有辛廣群 的概念,後者是具有相容辛形式的李廣群。同樣,也可擁有具備相容黎曼度量 或複流形 等結構的廣群。
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^ Hazewinkel, Michiel (編), Brandt semi-group , 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
^
第一個性質的證明:由公理2、3,可知
a
−
1
=
a
−
1
∗
a
∗
a
−
1
;
(
a
−
1
)
−
1
=
(
a
−
1
)
−
1
∗
(
a
−
1
)
∗
(
a
−
1
)
−
1
.
{\displaystyle a^{-1}=a^{-1}*a*a^{-1};\ (a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*(a^{-1})*(a^{-1})^{-1}.}
將1式代入2式,再應用公理3:
(
a
−
1
)
−
1
=
(
a
−
1
)
−
1
∗
a
−
1
∗
a
∗
a
−
1
∗
(
a
−
1
)
−
1
=
(
a
−
1
)
−
1
∗
a
−
1
∗
a
=
a
.
{\displaystyle (a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*a^{-1}*a*a^{-1}*(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*a^{-1}*a=a.}
得證。
第二個性質的證明:由於定義了
a
∗
b
{\displaystyle a*b}
,於是是
(
a
∗
b
)
−
1
∗
a
∗
b
.
{\displaystyle (a*b)^{-1}*a*b.}
因此也定義了
(
a
∗
b
)
−
1
∗
a
∗
b
∗
b
−
1
=
(
a
∗
b
)
−
1
∗
a
{\displaystyle (a*b)^{-1}*a*b*b^{-1}=(a*b)^{-1}*a}
。進一步地,由於定義了
a
∗
b
{\displaystyle a*b}
,有
a
∗
b
∗
b
−
1
=
a
,
a
∗
b
∗
b
−
1
∗
a
−
1
{\displaystyle a*b*b^{-1}=a,\ a*b*b^{-1}*a^{-1}}
也定義了。由公理3可知
(
a
∗
b
)
−
1
=
(
a
∗
b
)
−
1
∗
a
∗
a
−
1
=
(
a
∗
b
)
−
1
∗
a
∗
b
∗
b
−
1
∗
a
−
1
=
b
−
1
∗
a
−
1
.
{\displaystyle (a*b)^{-1}=(a*b)^{-1}*a*a^{-1}=(a*b)^{-1}*a*b*b^{-1}*a^{-1}=b^{-1}*a^{-1}.}
得證。
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nLab 的core 條目