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- في الرياضيات، يقال عن حقل F أنه مغلق جبريا إذا كان لجميع الدوال الحدودية ذات المتغير الواحد و بدرجة تفوق 1، و بمعاملات في F، جذر واحد على الأقل في F. (ar)
- En àlgebra abstracta, un cos algebraicament tancat F és un cos que conté una arrel per qualsevol polinomi no-constant de F[x], l'anell de polinomis en la variable x a coeficients en F. (ca)
- Matematický pojem algebraicky uzavřené těleso označuje takové těleso , pro které platí, že každý mnohočlen stupně alespoň 1 s koeficienty z tělesa má v alespoň jeden kořen. (cs)
- In mathematics, a field F is algebraically closed if every non-constant polynomial in F[x] (the univariate polynomial ring with coefficients in F) has a root in F. (en)
- En matemáticas, un cuerpo F se dice algebraicamente cerrado si cada polinomio de grado al menos 1, con coeficientes en F, tiene un cero en F.En ese caso, cada polinomio de tal clase se descompone en factores lineales.Puede demostrarse que un cuerpo es algebraicamente cerrado si no tiene extensiones algebraicas propias, lo que se toma a veces como definición. Como ejemplo, el cuerpo de los números reales no es algebraicamente cerrado, ya que el polinomio no tiene ceros reales. En cambio, el cuerpo de los números complejos es algebraicamente cerrado: esto es lo que dice el teorema fundamental del álgebra. Cada cuerpo F tiene una «clausura algebraica», que es el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño del cual F es un subcuerpo. Cada cerradura algebraica de un cuerpo es única salvo isomorfismo. En particular, el cuerpo de los números complejos es la clausura algebraica del cuerpo de los números reales. También tenemos que el cuerpo de los números algebraicos es la clausura algebraica del cuerpo de los números racionales. (es)
- En mathématiques, un corps commutatif K est dit algébriquement clos si tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans K, admet (au moins) une racine dans K. Autrement dit, c'est un corps qui n'a pas d'extension algébrique propre. Si K est algébriquement clos, tout polynôme non constant à coefficients dans K est scindé dans K, c'est-à-dire produit de polynômes du premier degré. Le nombre de ses racines dans K (comptées avec leur ordre de multiplicité) est donc exactement égal à son degré. Par exemple, le corps des nombres réels n'est pas algébriquement clos, parce que le polynôme X2 + 1 n'a pas de racine réelle. Au contraire, le corps des nombres complexes est algébriquement clos : c'est le théorème fondamental de l'algèbre aussi connu sous le nom du théorème de d'Alembert-Gauss. Tout corps K a une clôture algébrique, qui est « le » plus petit corps algébriquement clos dont K est un sous-corps. La clôture algébrique d'un corps donné est unique à K-isomorphisme près (isomorphisme de corps laissant invariant chaque élément de K). En particulier, le corps des nombres complexes est la clôture algébrique du corps des nombres réels et le corps des nombres algébriques est la clôture algébrique du corps des nombres rationnels. Un corps fini K ne peut être algébriquement clos. En effet, si l'on considère le produit P(X) = ∏k∈K (X – k), alors P + 1 est un polynôme non constant ne possédant aucune racine dans K (il prend la valeur 1 en chaque élément k de K). La théorie du premier ordre des corps algébriquement clos admet l'élimination des quantificateurs. Par conséquent, la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique fixée est complète, et un énoncé du premier ordre est valide pour les corps algébriquement clos de caractéristique nulle si et seulement s'il l'est pour ceux de caractéristique suffisamment grande. (fr)
- In matematica, un campo algebricamente chiuso è un campo in cui ogni polinomio non costante a coefficienti in ha una radice in (cioè un elemento tale che il valore del polinomio in è l'elemento neutro dell'addizione del campo). Ad esempio, il campo dei numeri reali non è algebricamente chiuso, perché l'equazione polinomiale non ha soluzioni nei reali, anche se entrambi i suoi coefficienti (3 e 1) sono reali. Al contrario, il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso: questo è ciò che afferma il teorema fondamentale dell'algebra. (it)
- 추상대수학에서 대수적으로 닫힌 체(代數的으로 닫힌 體, 영어: algebraically closed field)는 모든 다항식을 1차 다항식으로 인수 분해할 수 있는 체이다. (ko)
- 数学において、体 K が代数的に閉じているまたは代数的閉体（だいすうてきへいたい、英: algebraically closed field; 代数閉体）であるとは、一次以上の任意の K 係数変数多項式が K 上に根を持つこと、あるいは同じことであるが、一次以上の任意の K 係数一変数多項式が一次多項式の積として書けることである。 代数学の基本定理は、複素数体 C が代数的閉体であることを主張する定理である。一方で、有限体 Fq、有理数体 Q や実数体 R は代数的閉体ではない。 (ja)
- Em Matemática, um corpo diz-se algebricamente fechado se qualquer polinómio de uma variável e grau maior ou igual a , com coeficientes em , tiver uma raiz em . Por exemplo, o corpo dos números reais não é algebricamente fechado, pois a equação polinomial não tem soluções reais, apesar de os seus coeficientes ( e ) serem reais. O mesmo argumento mostra que o corpo dos números racionais não é algebricamente fechado. Nenhum corpo finito é algebricamente fechado, pois se , , …, forem os elementos de , o polinómio ··· não tem nenhuma raiz em . Em contrapartida, o corpo dos números complexos é algebricamente fechado; é isto que afirma o teorema fundamental da álgebra. Outro exemplo de corpo algebricamente fechado é o corpo dos números algébricos. Dado um corpo , a afirmação « é algebricamente fechado» é equivalente a cada uma das seguintes:
* Qualquer polinómio de grau ≥ , com coeficientes em ,é produto de polinómios de primeiro grau. Posto de outro modo, há elementos , , , …, de tais que ··· .
* O corpo não tem nenhuma extensão algébrica própria.
* Para cada número natural , qualquer aplicação linear de em si próprio tem algum vector próprio.
* Qualquer função racional de uma variável , com coeficientes em pode ser escrita como soma de uma função polinomial com funções racionais da forma , sendo um número natural e e pertencem a . Se for um corpo algebricamente fechado, se for um elemento de e se for um número natural, então tem alguma raiz de ordem em , pois isto é o mesmo que afirmar que a equação tem alguma raiz em . No entanto, há corpos nos quais qualquer elemento tem alguma raiz de ordem (para cada número natural ) mas que não são algebricamente fechados. De facto, nem mesmo supor que qualquer polinómio do tipo se pode escrever como produto de polinómios de primeiro grau é suficiente para garantir que o corpo é algebricamente fechado. Como conseqüência do axioma da escolha, qualquer corpo tem um fecho algébrico, que é o menor corpo algebricamente fechado do qual é um subcorpo. (pt)
- Ciało algebraicznie domknięte to takie ciało, w którym każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego jednej zmiennej ma pierwiastek w Równoważnie można je zdefiniować jako ciało, które nie ma nietrywialnych rozszerzeń algebraicznych: z tego, że jest rozszerzeniem algebraicznym wynika, że Każde ciało jest podciałem pewnego ciała algebraicznie domkniętego. Rozszerzenie ciała które jest algebraiczne i jest ciałem algebraicznie domkniętym, nazywamy domknięciem algebraicznym ciała Za przykład niech posłuży ciało liczb rzeczywistych. Ciało to nie jest algebraicznie domknięte: wielomian nie ma pierwiastków w tym ciele. Domknięciem algebraicznym ciała liczb rzeczywistych jest jednak ciało liczb zespolonych (dla powyższego wielomianu pierwiastkami w ciele liczb zespolonych są oraz ). Ponieważ dla każdego ciała istnieje jego rozszerzenie będące ciałem algebraicznie domkniętym, a zbiór elementów algebraicznych nad należących do jest rozszerzeniem algebraicznym oraz ciałem algebraicznie domkniętym, dla każdego ciała istnieje jego algebraiczne domknięcie. Twierdzenie mówiące o tym, że ciało liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym, nazywa się „zasadniczym twierdzeniem algebry” i pociąga za sobą istotne konsekwencje, jak chociażby fakt, że każdą macierz o współczynnikach zespolonych można sprowadzić do postaci Jordana. Jedną z najważniejszych własności ciał algebraicznie domkniętych jest twierdzenie Hilberta o zerach: Jeśli jest ciałem algebraicznie domkniętym, to dla każdych liczb naturalnych i dla dowolnych wielomianów o współczynnikach z ciała następujące warunki są równoważne:
* układ równań ma rozwiązanie w
* ideał jest ideałem właściwym pierścienia wielomianów Innymi słowy, taki układ równań nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy jest sprzeczny, tzn. gdy istnieją wielomiany o współczynnikach z ciała takie, że (pl)
- Алгебраически замкнутое поле — поле , в котором всякий многочлен ненулевой степени над имеет хотя бы один корень. Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым. (ru)
- 在數學上，一個域被稱作代數閉域，若且唯若任何係數属于且次數大於零的單變數多項式在裡至少有一個根。代数闭域一定是无限域。 (zh)
- Алгебрично замкнуте поле — поле , у якому довільний многочлен ненульового степеня над має хоч би один корінь. (uk)
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- في الرياضيات، يقال عن حقل F أنه مغلق جبريا إذا كان لجميع الدوال الحدودية ذات المتغير الواحد و بدرجة تفوق 1، و بمعاملات في F، جذر واحد على الأقل في F. (ar)
- En àlgebra abstracta, un cos algebraicament tancat F és un cos que conté una arrel per qualsevol polinomi no-constant de F[x], l'anell de polinomis en la variable x a coeficients en F. (ca)
- Matematický pojem algebraicky uzavřené těleso označuje takové těleso , pro které platí, že každý mnohočlen stupně alespoň 1 s koeficienty z tělesa má v alespoň jeden kořen. (cs)
- In mathematics, a field F is algebraically closed if every non-constant polynomial in F[x] (the univariate polynomial ring with coefficients in F) has a root in F. (en)
- In matematica, un campo algebricamente chiuso è un campo in cui ogni polinomio non costante a coefficienti in ha una radice in (cioè un elemento tale che il valore del polinomio in è l'elemento neutro dell'addizione del campo). Ad esempio, il campo dei numeri reali non è algebricamente chiuso, perché l'equazione polinomiale non ha soluzioni nei reali, anche se entrambi i suoi coefficienti (3 e 1) sono reali. Al contrario, il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso: questo è ciò che afferma il teorema fondamentale dell'algebra. (it)
- 추상대수학에서 대수적으로 닫힌 체(代數的으로 닫힌 體, 영어: algebraically closed field)는 모든 다항식을 1차 다항식으로 인수 분해할 수 있는 체이다. (ko)
- 数学において、体 K が代数的に閉じているまたは代数的閉体（だいすうてきへいたい、英: algebraically closed field; 代数閉体）であるとは、一次以上の任意の K 係数変数多項式が K 上に根を持つこと、あるいは同じことであるが、一次以上の任意の K 係数一変数多項式が一次多項式の積として書けることである。 代数学の基本定理は、複素数体 C が代数的閉体であることを主張する定理である。一方で、有限体 Fq、有理数体 Q や実数体 R は代数的閉体ではない。 (ja)
- Алгебраически замкнутое поле — поле , в котором всякий многочлен ненулевой степени над имеет хотя бы один корень. Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым. (ru)
- 在數學上，一個域被稱作代數閉域，若且唯若任何係數属于且次數大於零的單變數多項式在裡至少有一個根。代数闭域一定是无限域。 (zh)
- Алгебрично замкнуте поле — поле , у якому довільний многочлен ненульового степеня над має хоч би один корінь. (uk)
- En mathématiques, un corps commutatif K est dit algébriquement clos si tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans K, admet (au moins) une racine dans K. Autrement dit, c'est un corps qui n'a pas d'extension algébrique propre. Si K est algébriquement clos, tout polynôme non constant à coefficients dans K est scindé dans K, c'est-à-dire produit de polynômes du premier degré. Le nombre de ses racines dans K (comptées avec leur ordre de multiplicité) est donc exactement égal à son degré. (fr)
- En matemáticas, un cuerpo F se dice algebraicamente cerrado si cada polinomio de grado al menos 1, con coeficientes en F, tiene un cero en F.En ese caso, cada polinomio de tal clase se descompone en factores lineales.Puede demostrarse que un cuerpo es algebraicamente cerrado si no tiene extensiones algebraicas propias, lo que se toma a veces como definición. Como ejemplo, el cuerpo de los números reales no es algebraicamente cerrado, ya que el polinomio (es)
- Ciało algebraicznie domknięte to takie ciało, w którym każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego jednej zmiennej ma pierwiastek w Równoważnie można je zdefiniować jako ciało, które nie ma nietrywialnych rozszerzeń algebraicznych: z tego, że jest rozszerzeniem algebraicznym wynika, że Ponieważ dla każdego ciała istnieje jego rozszerzenie będące ciałem algebraicznie domkniętym, a zbiór elementów algebraicznych nad należących do jest rozszerzeniem algebraicznym oraz ciałem algebraicznie domkniętym, dla każdego ciała istnieje jego algebraiczne domknięcie. (pl)
- Em Matemática, um corpo diz-se algebricamente fechado se qualquer polinómio de uma variável e grau maior ou igual a , com coeficientes em , tiver uma raiz em . Por exemplo, o corpo dos números reais não é algebricamente fechado, pois a equação polinomial não tem soluções reais, apesar de os seus coeficientes ( e ) serem reais. O mesmo argumento mostra que o corpo dos números racionais não é algebricamente fechado. Nenhum corpo finito é algebricamente fechado, pois se , , …, forem os elementos de , o polinómio ··· (pt)
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