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- La Constant de Copeland-Erdős és una constant definida com la concatenació de "0," amb l'expressió decimal dels nombres primers en ordre creixent. Rep el nom dels matemàtics i Paul Erdős, que demostraren que és una constant 10-normal. Aproximadament pren el valor 0,235711131719232931374143… Aquest és un nombre irracional, fet que pot provar-se de maneres prou diverses: Com a conseqüència directa del Teorema de Dirichlet de les progressions aritmètiques, a conseqüència del o immediatament a partir de la demostració de la seva 10-normalitat. La seva expressió en forma de fracció contínua és [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …]. (ca)
- Die Copeland-Erdős-Zahl, benannt nach Arthur Herbert Copeland und Paul Erdős, ist eine reelle Zahl aus dem Bereich der Zahlentheorie, welche im Dezimalsystem eine normale Zahl ist, das heißt, alle Ziffern und Ziffernblöcke treten in ihr mit derselben asymptotischen relativen Häufigkeit auf. Sie wird gebildet, indem man sämtliche Primzahlen der Größe nach als Nachkommastellen aneinanderreiht. Vor dem Komma steht eine Null. Im Dezimalsystem lauten die ersten Stellen: C10 = 0,235711131719232931374143… Es ist die Folge in OEIS. Die Copeland-Erdős-Zahl kann auch als Reihe ausgedrückt werden: mit als die n-te Primzahl. (de)
- The Copeland–Erdős constant is the concatenation of "0." with the base 10 representations of the prime numbers in order. Its value, using the modern definition of prime, is approximately 0.235711131719232931374143… (sequence in the OEIS). The constant is irrational; this can be proven with Dirichlet's theorem on arithmetic progressions or Bertrand's postulate (Hardy and Wright, p. 113) or Ramare's theorem that every even integer is a sum of at most six primes. It also follows directly from its normality (see below). By a similar argument, any constant created by concatenating "0." with all primes in an arithmetic progression dn + a, where a is coprime to d and to 10, will be irrational; for example, primes of the form 4n + 1 or 8n + 1. By Dirichlet's theorem, the arithmetic progression dn · 10m + a contains primes for all m, and those primes are also in cd + a, so the concatenated primes contain arbitrarily long sequences of the digit zero. In base 10, the constant is a normal number, a fact proven by Arthur Herbert Copeland and Paul Erdős in 1946 (hence the name of the constant). The constant is given by where pn is the nth prime number. Its continued fraction is [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …] (OEIS: ). (en)
- La constante de Copeland-Erdős es una constante formada por la concatenación de "0," y la sucesión ordenada de los números primos en base 10. Su valor es aproximadamente 0,235711131719232931374143… (sucesión A33308 en OEIS). Esta constante es irracional. Por el , para cada m existen números primos de la forma De esto se deduce que existen números primos cuya expresión decimal contiene al menos m ceros seguidos de un uno. Por tanto, la expresión decimal de la constante de Copeland-Erdős contiene secuencias arbitrariamente largas de ceros seguidos de un uno, y por tanto no puede terminar nunca y tampoco puede ser periódica. La conclusión es que la constante es irracional (Hardy y Wright, pág. 113). Por un argumento similar, cualquier constante creada por la concatenación de "0," y todos los primos de una progresión aritmética , donde a es coprimo con d y 10, es irracional. Por ejemplo, la concatenación de los números primos de la forma o . Por el teorema de Dirichlet, la progresión aritmética contiene primos para todo m, y esos primos también están en , así que la concatenación de primos contiene secuencias arbitrariamente largas de ceros. En base 10 la constante es un número normal, un hecho demostrado por y Paul Erdős en 1946 (de ahí el nombre de la constante). La constante viene dada por esta fórmula: donde p(n) es el n-ésimo número primo. Su expresión en fracción continua es [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …]. (es)
- En mathématiques, la constante de Copeland-Erdős est une constante mathématique créée en concaténant les représentations en base dix des nombres premiers. (fr)
- コープランド–エルデシュ定数（コープランド–エルデシュていすう、英：Copeland–Erdős constant）とは、数学定数のひとつで 0.235711131719232931…、すなわち一の位が 0 で小数第1位からは素数が小さい方から順に現れる実数である。コープランドとエルデシュにちなんで命名された。 (ja)
- De constante van Copeland-Erdős is een irrationale wiskundige constante, gedefinieerd als "0," met daarna als decimalen alle priemgetallen achter elkaar. De eerste decimalen zijn: 0,235711131719... De constante is genoemd naar en Paul Erdős, die in 1946 bewezen dat het een normaal getal is. (nl)
- La costante di Copeland-Erdős è il numero compreso tra 0 e 1 la cui parte decimale si ottiene in base 10 concatenando i numeri primi nel loro ordine. Prende il nome dai matematici Arthur Herbert Copeland e da Paul Erdős, che nel 1946 dimostrarono che è un numero normale in base 10. Il suo valore è quindi approssimativamente 0,235711131719232931374143… Questo numero è irrazionale. Infatti, dal teorema di Dirichlet si sa che per ogni m esistono dei primi nella forma Quindi esistono primi che contengono almeno m zeri consecutivi, seguiti dalla cifra 1. Di conseguenza, la sequenza di cifre della costante comprende sequenza arbitrariamente lunghe di zeri seguiti dalla cifra 1. Di conseguenza, questo numero non può essere periodico, e di conseguenza non è razionale. Allo stesso modo si può dimostrare che ogni costante la cui parte decimale è ottenuta concatenando tutti i primi in una progressione aritmetica (con a coprimo con d e con 10), è irrazionale. Infatti, per il teorema di Dirichlet, la progressione aritmetica contiene primi con qualsiasi numero di zeri, e nella costante esistono sequenze arbitrariamente lunghe di zeri. Formalmente tale costante è data dalla formula: dove è l'n-esimo numero primo. (it)
- 코플랜드-에르되시 상수(Copeland-Erdős Constant)는 아서 허버트 코플랜드와 폴 에르되시(Paul Erdös)가 함께 작업한 상수이다. 소수를 이용하여 정의한 유사 정규수(normal number)이다. 코플랜드와 에르되시는 이 상수가 10 진법에 기초한 경우에서 정규수라는 것을 보여 주었다. 소수와 관련하여 비교적인 측면에서 챔퍼나운 수(Champernowne constant)의 연분수에는 산발적인 매우 큰 주기(large term 또는 long term)가 포함되어 있기 때문에 연분수를 계산하기가 어려워지지만 코플랜드-에르되시 상수(Copeland-Erdős Constant)의 연분수는 잘 작동하면서 "롱텀(long term)현상"을 나타내지도 않는다.
* 코플랜드-에르되시 상수 값의 수열 (A033308OEIS)
* 소수 수열 (ko)
- Постоянная Коупленда — Эрдёша — вещественное число, строящееся как конкатенация «0,» («ноль целых…») со сцепленной последовательностью возрастающих простых чисел в десятичной записи: 0,235711131719232931374143… Постоянная иррациональна; данный факт можно доказать с помощью теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии или постулата Бертрана или (гласящей, что любое чётное целое число является суммой не более шести простых чисел). Данный факт также следует из того, что данная постоянная — нормальное число; нормальность постоянной в десятичной записи доказана в 1949 году (англ. Arthur Herbert Copeland) и Палом Эрдёшом. Любая постоянная, образованная конкатенацией «0,» со всеми простыми числами в арифметической прогрессии , где — взаимно простое число с числом и числом 10, будет иррациональной. К примеру, таковы простые числа принимающие форму или . Согласно теореме Дирихле, арифметическая прогрессия содержит простые числа для любого числа , и эти простые числа также находятся в , следовательно среди этих конкатенацированных простых чисел будет содержаться любое желаемое количество нулей, следующих друг за другом. Постоянная Коупленда — Эрдёша может быть выражена как: , где — это -е простое число. Непрерывная дробь числа — [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …]. (ru)
- 克柏蘭-艾狄胥常數（英語：Copeland–Erdős constant）是將十進制下的質數依序排出，前面再加上"0."後所得的常數，其數值為 0.235711131719232931374143… （OEIS數列）. 此常數是無理數，可以由狄利克雷定理或伯特蘭-切比雪夫定理證明。 依類似的證明方式，用所有符合等差数列dn + a的質數（其中a和d及10都互質，例如例如4n + 1或8n + 1形式的質數）加"0."後所得的常數都是無理數。 在十進位下，克柏蘭-艾狄胥常數是正规数，這是由及保羅·艾狄胥在1946年所證明的，這也是此常數名稱的由來。 此常數可以由下式計算而得 其中pn是第n個質數。 其連分數為[0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …] (A030168)。 (zh)
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- En mathématiques, la constante de Copeland-Erdős est une constante mathématique créée en concaténant les représentations en base dix des nombres premiers. (fr)
- コープランド–エルデシュ定数（コープランド–エルデシュていすう、英：Copeland–Erdős constant）とは、数学定数のひとつで 0.235711131719232931…、すなわち一の位が 0 で小数第1位からは素数が小さい方から順に現れる実数である。コープランドとエルデシュにちなんで命名された。 (ja)
- De constante van Copeland-Erdős is een irrationale wiskundige constante, gedefinieerd als "0," met daarna als decimalen alle priemgetallen achter elkaar. De eerste decimalen zijn: 0,235711131719... De constante is genoemd naar en Paul Erdős, die in 1946 bewezen dat het een normaal getal is. (nl)
- 코플랜드-에르되시 상수(Copeland-Erdős Constant)는 아서 허버트 코플랜드와 폴 에르되시(Paul Erdös)가 함께 작업한 상수이다. 소수를 이용하여 정의한 유사 정규수(normal number)이다. 코플랜드와 에르되시는 이 상수가 10 진법에 기초한 경우에서 정규수라는 것을 보여 주었다. 소수와 관련하여 비교적인 측면에서 챔퍼나운 수(Champernowne constant)의 연분수에는 산발적인 매우 큰 주기(large term 또는 long term)가 포함되어 있기 때문에 연분수를 계산하기가 어려워지지만 코플랜드-에르되시 상수(Copeland-Erdős Constant)의 연분수는 잘 작동하면서 "롱텀(long term)현상"을 나타내지도 않는다.
* 코플랜드-에르되시 상수 값의 수열 (A033308OEIS)
* 소수 수열 (ko)
- 克柏蘭-艾狄胥常數（英語：Copeland–Erdős constant）是將十進制下的質數依序排出，前面再加上"0."後所得的常數，其數值為 0.235711131719232931374143… （OEIS數列）. 此常數是無理數，可以由狄利克雷定理或伯特蘭-切比雪夫定理證明。 依類似的證明方式，用所有符合等差数列dn + a的質數（其中a和d及10都互質，例如例如4n + 1或8n + 1形式的質數）加"0."後所得的常數都是無理數。 在十進位下，克柏蘭-艾狄胥常數是正规数，這是由及保羅·艾狄胥在1946年所證明的，這也是此常數名稱的由來。 此常數可以由下式計算而得 其中pn是第n個質數。 其連分數為[0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …] (A030168)。 (zh)
- La Constant de Copeland-Erdős és una constant definida com la concatenació de "0," amb l'expressió decimal dels nombres primers en ordre creixent. Rep el nom dels matemàtics i Paul Erdős, que demostraren que és una constant 10-normal. Aproximadament pren el valor 0,235711131719232931374143… (ca)
- Die Copeland-Erdős-Zahl, benannt nach Arthur Herbert Copeland und Paul Erdős, ist eine reelle Zahl aus dem Bereich der Zahlentheorie, welche im Dezimalsystem eine normale Zahl ist, das heißt, alle Ziffern und Ziffernblöcke treten in ihr mit derselben asymptotischen relativen Häufigkeit auf. Sie wird gebildet, indem man sämtliche Primzahlen der Größe nach als Nachkommastellen aneinanderreiht. Vor dem Komma steht eine Null. Im Dezimalsystem lauten die ersten Stellen: C10 = 0,235711131719232931374143… Es ist die Folge in OEIS. Die Copeland-Erdős-Zahl kann auch als Reihe ausgedrückt werden: (de)
- The Copeland–Erdős constant is the concatenation of "0." with the base 10 representations of the prime numbers in order. Its value, using the modern definition of prime, is approximately 0.235711131719232931374143… (sequence in the OEIS). The constant is irrational; this can be proven with Dirichlet's theorem on arithmetic progressions or Bertrand's postulate (Hardy and Wright, p. 113) or Ramare's theorem that every even integer is a sum of at most six primes. It also follows directly from its normality (see below). The constant is given by where pn is the nth prime number. (en)
- La constante de Copeland-Erdős es una constante formada por la concatenación de "0," y la sucesión ordenada de los números primos en base 10. Su valor es aproximadamente 0,235711131719232931374143… (sucesión A33308 en OEIS). Esta constante es irracional. Por el , para cada m existen números primos de la forma En base 10 la constante es un número normal, un hecho demostrado por y Paul Erdős en 1946 (de ahí el nombre de la constante). La constante viene dada por esta fórmula: donde p(n) es el n-ésimo número primo. Su expresión en fracción continua es [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …]. (es)
- La costante di Copeland-Erdős è il numero compreso tra 0 e 1 la cui parte decimale si ottiene in base 10 concatenando i numeri primi nel loro ordine. Prende il nome dai matematici Arthur Herbert Copeland e da Paul Erdős, che nel 1946 dimostrarono che è un numero normale in base 10. Il suo valore è quindi approssimativamente 0,235711131719232931374143… Questo numero è irrazionale. Infatti, dal teorema di Dirichlet si sa che per ogni m esistono dei primi nella forma Formalmente tale costante è data dalla formula: dove è l'n-esimo numero primo. (it)
- Постоянная Коупленда — Эрдёша — вещественное число, строящееся как конкатенация «0,» («ноль целых…») со сцепленной последовательностью возрастающих простых чисел в десятичной записи: 0,235711131719232931374143… Постоянная Коупленда — Эрдёша может быть выражена как: , где — это -е простое число. Непрерывная дробь числа — [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …]. (ru)
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