| dbo:abstract
|
- Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist eine abelsche Erweiterung eine galoissche Körpererweiterung mit abelscher Galoisgruppe. Im Spezialfall einer zyklischen Galoisgruppe liegt eine zyklische Erweiterung vor. Die Klassenkörpertheorie beschreibt die abelschen Erweiterungen von Zahlkörpern, Funktionenkörpern von algebraischen Kurven über endlichen Körpern und lokalen Körpern. Erweiterungen, die durch Adjunktion von Einheitswurzeln hervorgehen, sind abelsch, also beispielsweise alle algebraischen Erweiterungen endlicher Körper. Wenn ein Körper bereits eine primitive -te Einheitswurzel enthält und die Charakteristik von kein Teiler von ist, so ist auch jede Erweiterung durch Adjunktion einer -ten Wurzel eines Elementes von abelsch, genannt Kummer-Erweiterung. Adjungiert man alle -ten Wurzeln eines Elements, so ist die Erweiterung im Allgemeinen nicht mehr abelsch, sondern ein semidirektes Produkt, da die Galoisgruppe auf den Wurzeln und den -ten Einheitswurzeln operiert. Die Kummer-Theorie beschreibt die abelschen Erweiterungen eines Körpers, und der Satz von Kronecker-Weber besagt, dass für die abelschen Erweiterungen genau die sind, die in den Kreisteilungskörpern enthalten sind. (de)
- In abstract algebra, an abelian extension is a Galois extension whose Galois group is abelian. When the Galois group is also cyclic, the extension is also called a cyclic extension. Going in the other direction, a Galois extension is called solvable if its Galois group is solvable, i.e., if the group can be decomposed into a series of normal extensions of an abelian group. Every finite extension of a finite field is a cyclic extension. Class field theory provides detailed information about the abelian extensions of number fields, function fields of algebraic curves over finite fields, and local fields. There are two slightly different definitions of the term cyclotomic extension. It can mean either an extension formed by adjoining roots of unity to a field, or a subextension of such an extension. The cyclotomic fields are examples. A cyclotomic extension, under either definition, is always abelian. If a field K contains a primitive n-th root of unity and the n-th root of an element of K is adjoined, the resulting Kummer extension is an abelian extension (if K has characteristic p we should say that p doesn't divide n, since otherwise this can fail even to be a separable extension). In general, however, the Galois groups of n-th roots of elements operate both on the n-th roots and on the roots of unity, giving a non-abelian Galois group as semi-direct product. The Kummer theory gives a complete description of the abelian extension case, and the Kronecker–Weber theorem tells us that if K is the field of rational numbers, an extension is abelian if and only if it is a subfield of a field obtained by adjoining a root of unity. There is an important analogy with the fundamental group in topology, which classifies all covering spaces of a space: abelian covers are classified by its abelianisation which relates directly to the first homology group. (en)
- En álgebra abstracta, una extensión abeliana es una extensión de Galois cuyo grupo de Galois es abeliano. Cuando el grupo de Galois es un grupo cíclico, entonces tenemos una extensión cíclica. Cualquier extensión finita de un cuerpo finito es una extensión cíclica. El desarrollo de la teoría de cuerpos de clases ha proporcionado información detallada sobre las extensiones abelianas de los cuerpos numéricos, de curvas algebraicas sobre cuerpos finitos, y . Hay dos conceptos ligeramente diferentes de extensiones ciclotómicas: éstas pueden significar extensiones formadas mediante el adjuntado de raíces de la unidad, o subextensiones de tales extensiones. Los cuerpos ciclotómicos son ejemplos. Cualquier extensión ciclotómica (para otra definición) es abeliana. Si un cuerpo K una n-ésima raíz primitiva de la unidad y la n-ésima raíz de un elemento de K es adjuntada, el resultado, llamado extensión de Kummer es una extensión abeliana (si K tiene característica p se debe decir que p no divide a n, puesto que de otra manera, podría fallar, incluso en ser una extensión separable). Sin embargo, en general, el grupo de Galois de las raíces n-ésimas de elementos operan conjuntamente sobre las raíces n-ésimas y sobre las raíces de la unidad, dando un grupo de Galois no abeliano como producto semidirecto. La teoría de Kummer proporciona una descripción completa del caso de extensión abeliano, y el teorema de Kronecker-Weber postula que si K es un cuerpo de números racionales, una extensión es abeliana si y sólo si es un subcuerpo de un cuerpo obtenido mediante el adjuntado de una raíz de la unidad. Hay una importante analogía con el grupo fundamental en topología, el cual clasifica todos los espacios recubridores de un espacio: las coberturas abelianas son clasificadas mediante su abelianización, que se relaciona directamente con el primer grupo homológico. (es)
- En algèbre générale, plus précisément en théorie de Galois, une extension abélienne est une extension de Galois dont le groupe de Galois est abélien. Lorsque ce groupe est cyclique, l'extension est dite cyclique. Toute extension finie d'un corps fini est une extension cyclique. L'étude de la théorie des corps de classes décrit de façon détaillée toutes les extensions abéliennes dans le cas des corps de nombres, et des corps de fonctions de courbes algébriques sur des corps finis, ainsi que dans le cas des corps locaux (Théorie du corps de classes local). (fr)
- In matematica, in particolare in teoria dei campi, una estensione abeliana è una estensione di Galois il cui gruppo di Galois è abeliano. Il teorema di Kronecker-Weber afferma che ogni estensione abeliana finita di è un sottocampo di un campo ciclotomico. La teoria di Kummer classifica le estensioni abeliane di un campo . (it)
- 抽象代数学において、ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大 (abelian extension) と言う。ガロア群が巡回群のときは、巡回拡大 (cyclic extension) という。ガロア拡大が可解 (solvable) であるとは、ガロア群が可解、つまり中間拡大に対応するアーベル群の列からガロア群が構成されるときを言う。 有限体の全ての有限拡大は、巡回拡大である。類体論の発展は、数体と局所体と、有限体上の代数曲線の函数体のアーベル拡大についての詳細な情報をもたらした。 円分拡大という概念があり、2つの少し異なる定義がある。1つは1の冪根による拡大のことであり、もう1つはその部分拡大のことである。例えば円分体は円分拡大である。任意の円分拡大はいずれの定義でもアーベル拡大である。 体 K が 1 の原始 n 乗根を含み、K のある元の n 乗根が添加されると、この拡大はいわゆるクンマー拡大であり、これはアーベル拡大となる。（K の標数が p > 0 のとき、p は n を割らないと仮定しなければならない。もし割るようであれば、分離拡大ですらないからである。）しかしながら、一般に、元の n 乗根のガロア群は、n 乗根と1の冪根の双方に作用し、半直積として非可換ガロア群を構成する。クンマー理論は、アーベル拡大の場合を完全に記述する。クロネッカー・ウェーバーの定理は、K が有理数体のとき、拡大がアーベル的であるということと、拡大が1の冪根を添加して得られる体の部分体であることとは同値であると言う定理である。 トポロジーにおける基本群との重要な類似がある。基本群は空間の全ての被覆空間を分類する。すなわち、1次ホモロジー群に直接関連付ける基本群のアーベル化により、アーベル被覆が分類される。 (ja)
- 체론에서 아벨 확대(Abel擴大, 영어: Abelian extension)는 그 갈루아 군이 아벨 군이 되는 갈루아 확대이다. (ko)
- In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een abelse uitbreiding een lichaamsuitbreiding, waarvan de Galoisgroep tevens een abelse groep is. Wanneer de Galoisgroep cyclisch is, spreekt men van een cyclische uitbreiding. Elke eindige uitbreiding van een eindig lichaam (Ned) / eindig veld (Be) is een cyclische uitbreiding. De ontwikkeling van de klassenveldtheorie heeft gedetailleerde informatie opgeleverd over abelse uitbreidingen van getallenlichamen/-velden, functielichamen/-velden van algebraïsche krommen over eindige lichamen/velden en lokale lichamen/velden (nl)
- Em álgebra abstrata, uma extensão abeliana é uma extensão de Galois na qual o grupo de Galois é abeliano. Quando o grupo de Galois é um grupo cíclico, tem-se uma extensão cíclica. Qualquer extensão finita de um corpo finito é uma extensão cíclica. O desenvolvimento da teoria dos corpos de classes foi provido de detalhada informação sobre extensões abelianas de corpos numéricos, de curvas algébricas sobre corpos finitos, e corpos locais. Existem dois conceitos ligeiramente diferentes de extensões ciclotômicas: podem significar que cada uma destas extensões seja formada por raízes da unidade adjacentes, ou subextensões de tais extensões. Os corpos ciclotômicos são exemplos. Qualquer extensão ciclotômica (para cada definição) é abeliana. Se um corpo K contém uma raiz da unidade n-ésima primitiva e a n-ésimo raiz de um elemento de K é adjunto, o resultado assim chamado extensão de Kummer é uma extensão abeliana (se K tem característica p nós diríamos que p não divide n, desde que de outra maneira este pode mesmo não é uma extensão separável). Em geral, entretanto, os grupos de Galois de raízes n-ésimas de elementos opere ambos nas raízes n-ésimas e sobre as raízes da unidade, dando um grupo de Galois não abeliano como produto semidireto. A teoria de Kummer dá uma completa descrição do caso da extensão abeliana, e o teorema de Kronecker-Weber nos diz que se K é o corpo dos números racionais, e a extensão é abeliana se e somente se é um subcorpo de um corpo obtido por adjunção à raiz da unidade. Há uma importante analogia com o grupo fundamental em topologia, a qual classifica todas as superfícies de cobertura de um espaço: coberturas abelianas são classificadas pela sua abelianisação a qual relaciona-se diretamente ao primeiro grupo de homologia. (pt)
- Rozszerzenie abelowe – w algebrze abstrakcyjnej jest to rozszerzenie Galois, którego grupa Galois jest grupą abelową. Gdy grupa Galois jest grupą cykliczną, mówimy, że jest to rozszerzenie cykliczne. Jeśli grupa Galois jest grupą rozwiązalną to rozszerzenie Galois jest również rozwiązalne tj. jest zbudowana z szeregu grup abelowych, które odpowiadają rozszerzeniu pośredniemu. Każde skończone rozszerzenie ciała skończonego jest rozszerzeniem cyklicznym. Rozwój teorii ciał dostarczył szczegółowych informacji na temat rozszerzeń abelowych ciał liczbowych, ciał funkcji krzywych algebraicznych ponad ciałami skończonymi i ciałami lokalnymi. Istnieją dwa nieco różne koncepcje rozszerzeń cyklotomicznych: albo są to rozszerzenia tworzone przez sąsiednie pierwiastki z jedynki, albo pod-rozszerzenia takich rozszerzeń. Przykładem są ciała cyklotomiczne. Każde rozszerzenie cyklotomiczne (dla obu definicji) jest abelowe. Jeśli ciało K zawiera pierwotny n-ty pierwiastek jedności i n-ty pierwiastek elementu ciała K przylega, to tzw. rozszerzenie Kummera jest rozszerzeniem abelowym (jeśli K ma charakterystykę p, to możemy powiedzieć, że p nie dzieli n, ponieważ w przeciwnym razie może to nie być nawet rozszerzenie rozkładalne). Na ogół jednak, grupy Galois pierwiastków n-tych elementów działają zarówno na n-tych pierwiastkach elementów ciała K i na pierwiastkach z jedynki, dając nieabelową grupę Galois jako . daje pełny opis rozszerzeń abelowych, a mówi, że jeśli K jest ciałem liczb wymiernych, to rozszerzenie jest abelowe wtedy i tylko wtedy, gdy jest podciałem ciała uzyskanego przez przylegający pierwiastek z jedynki. Istnieje ważna analogia z grupą podstawową w topologii, która klasyfikuje wszystkie przestrzenie pokrywające przestrzeń: pokrycia abelowe klasyfikowane są przez jego abelianizację, która odnosi się bezpośrednio do pierwszej . (pl)
- Inom matematiken är en abelsk utvidgning en Galoisutvidgning vars Galoisgrupp är abelsk. I specialfallet då Galoisgruppen är en cyklisk grupp kallas utvidgningen cyklisk. (sv)
- Абелево расширение поля — расширение Галуа, для которого группа Галуа является абелевой. Например, расширение является абелевым: его группа Галуа состоит из двух элементов и является абелевой, нетривиальный автоморфизм переставляет местами числа и . Расширение не является абелевым: данное поле является полем разложения многочлена и его автоморфизмы, фиксирующие , переставляют разные корни этого многочлена, то есть группа Галуа этого расширения является симметрической группой порядка 3 и, соответственно, некоммутативна. Важным примером абелева расширения являются циклотомические (круговые расширения), получающиеся присоединением к полю корней из единицы, в случае поля рациональных чисел, вследствие такого расширения получаются круговые поля. Согласно теореме Кронекера — Вебера произвольное абелево расширение рациональных чисел является подполем некоторого кругового поля. Если поле содержит первообразный корень из единицы степени , то расширение, полученное присоединением к нему корня степени из некоторого элемента (расширение Куммера), является абелевым. Для общего случая[уточнить] это утверждение не является верным. Циклическое расширение — важный частный случай абелева расширения, — расширение, для которого группа Галуа является циклической. Произвольное конечное расширение конечного поля является циклическим. (ru)
- В абстрактній алгебрі абелеве розширення поля — розширення Галуа, для якого група Галуа є абелевою. Важливим частковим прикладом є циклічне розширення, для якого група Галуа є циклічною. Наприклад розширення є абелевим. Його група Галуа складається з двох елементів і є абелевою. Нетривіальний автоморфізм переставляє місцями числа і Натомість розширення не є абелевим. Дане поле є полем розкладу многочлена і його автоморфізми, що фіксують переставляють різні корені цього многочлена. Тому група Галуа цього розширення є симетричною групою порядку 3 і не є абелевою. Довільне скінченне розширення скінченного поля є циклічним розширенням. Важливим прикладом абелевого розширення є циклотомічні (кругові розширення), що одержуються приєднанням до поля коренів з одиниці. У випадку поля раціональних чисел, внаслідок такого розширення одержуються кругові поля. Згідно з теоремою Кронекера — Вебера довільне абелеве розширення раціональних чисел є підполем деякого кругового поля. Якщо поле містить первісний корінь з одиниці степеня n, то розширення одержане приєднанням до нього кореня степеня n з деякого елемента (розширення Куммера) є абелевим розширенням. Для загального випадку це твердження не є вірним. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- En algèbre générale, plus précisément en théorie de Galois, une extension abélienne est une extension de Galois dont le groupe de Galois est abélien. Lorsque ce groupe est cyclique, l'extension est dite cyclique. Toute extension finie d'un corps fini est une extension cyclique. L'étude de la théorie des corps de classes décrit de façon détaillée toutes les extensions abéliennes dans le cas des corps de nombres, et des corps de fonctions de courbes algébriques sur des corps finis, ainsi que dans le cas des corps locaux (Théorie du corps de classes local). (fr)
- In matematica, in particolare in teoria dei campi, una estensione abeliana è una estensione di Galois il cui gruppo di Galois è abeliano. Il teorema di Kronecker-Weber afferma che ogni estensione abeliana finita di è un sottocampo di un campo ciclotomico. La teoria di Kummer classifica le estensioni abeliane di un campo . (it)
- 체론에서 아벨 확대(Abel擴大, 영어: Abelian extension)는 그 갈루아 군이 아벨 군이 되는 갈루아 확대이다. (ko)
- In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een abelse uitbreiding een lichaamsuitbreiding, waarvan de Galoisgroep tevens een abelse groep is. Wanneer de Galoisgroep cyclisch is, spreekt men van een cyclische uitbreiding. Elke eindige uitbreiding van een eindig lichaam (Ned) / eindig veld (Be) is een cyclische uitbreiding. De ontwikkeling van de klassenveldtheorie heeft gedetailleerde informatie opgeleverd over abelse uitbreidingen van getallenlichamen/-velden, functielichamen/-velden van algebraïsche krommen over eindige lichamen/velden en lokale lichamen/velden (nl)
- Inom matematiken är en abelsk utvidgning en Galoisutvidgning vars Galoisgrupp är abelsk. I specialfallet då Galoisgruppen är en cyklisk grupp kallas utvidgningen cyklisk. (sv)
- Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist eine abelsche Erweiterung eine galoissche Körpererweiterung mit abelscher Galoisgruppe. Im Spezialfall einer zyklischen Galoisgruppe liegt eine zyklische Erweiterung vor. Die Klassenkörpertheorie beschreibt die abelschen Erweiterungen von Zahlkörpern, Funktionenkörpern von algebraischen Kurven über endlichen Körpern und lokalen Körpern. (de)
- In abstract algebra, an abelian extension is a Galois extension whose Galois group is abelian. When the Galois group is also cyclic, the extension is also called a cyclic extension. Going in the other direction, a Galois extension is called solvable if its Galois group is solvable, i.e., if the group can be decomposed into a series of normal extensions of an abelian group. Every finite extension of a finite field is a cyclic extension. (en)
- En álgebra abstracta, una extensión abeliana es una extensión de Galois cuyo grupo de Galois es abeliano. Cuando el grupo de Galois es un grupo cíclico, entonces tenemos una extensión cíclica. Cualquier extensión finita de un cuerpo finito es una extensión cíclica. El desarrollo de la teoría de cuerpos de clases ha proporcionado información detallada sobre las extensiones abelianas de los cuerpos numéricos, de curvas algebraicas sobre cuerpos finitos, y . (es)
- 抽象代数学において、ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大 (abelian extension) と言う。ガロア群が巡回群のときは、巡回拡大 (cyclic extension) という。ガロア拡大が可解 (solvable) であるとは、ガロア群が可解、つまり中間拡大に対応するアーベル群の列からガロア群が構成されるときを言う。 有限体の全ての有限拡大は、巡回拡大である。類体論の発展は、数体と局所体と、有限体上の代数曲線の函数体のアーベル拡大についての詳細な情報をもたらした。 円分拡大という概念があり、2つの少し異なる定義がある。1つは1の冪根による拡大のことであり、もう1つはその部分拡大のことである。例えば円分体は円分拡大である。任意の円分拡大はいずれの定義でもアーベル拡大である。 トポロジーにおける基本群との重要な類似がある。基本群は空間の全ての被覆空間を分類する。すなわち、1次ホモロジー群に直接関連付ける基本群のアーベル化により、アーベル被覆が分類される。 (ja)
- Em álgebra abstrata, uma extensão abeliana é uma extensão de Galois na qual o grupo de Galois é abeliano. Quando o grupo de Galois é um grupo cíclico, tem-se uma extensão cíclica. Qualquer extensão finita de um corpo finito é uma extensão cíclica. O desenvolvimento da teoria dos corpos de classes foi provido de detalhada informação sobre extensões abelianas de corpos numéricos, de curvas algébricas sobre corpos finitos, e corpos locais. (pt)
- Rozszerzenie abelowe – w algebrze abstrakcyjnej jest to rozszerzenie Galois, którego grupa Galois jest grupą abelową. Gdy grupa Galois jest grupą cykliczną, mówimy, że jest to rozszerzenie cykliczne. Jeśli grupa Galois jest grupą rozwiązalną to rozszerzenie Galois jest również rozwiązalne tj. jest zbudowana z szeregu grup abelowych, które odpowiadają rozszerzeniu pośredniemu. (pl)
- Абелево расширение поля — расширение Галуа, для которого группа Галуа является абелевой. Например, расширение является абелевым: его группа Галуа состоит из двух элементов и является абелевой, нетривиальный автоморфизм переставляет местами числа и . Расширение не является абелевым: данное поле является полем разложения многочлена и его автоморфизмы, фиксирующие , переставляют разные корни этого многочлена, то есть группа Галуа этого расширения является симметрической группой порядка 3 и, соответственно, некоммутативна. Важным примером абелева расширения являются циклотомические (круговые расширения), получающиеся присоединением к полю корней из единицы, в случае поля рациональных чисел, вследствие такого расширения получаются круговые поля. Согласно теореме Кронекера — Вебера произволь (ru)
- В абстрактній алгебрі абелеве розширення поля — розширення Галуа, для якого група Галуа є абелевою. Важливим частковим прикладом є циклічне розширення, для якого група Галуа є циклічною. Наприклад розширення є абелевим. Його група Галуа складається з двох елементів і є абелевою. Нетривіальний автоморфізм переставляє місцями числа і Натомість розширення не є абелевим. Дане поле є полем розкладу многочлена і його автоморфізми, що фіксують переставляють різні корені цього многочлена. Тому група Галуа цього розширення є симетричною групою порядку 3 і не є абелевою. (uk)
|
