| dbo:abstract
|
- مبرهنات عدم الاكتمال لغودل هما مبرهنتان في المنطق الرياضي برهنَ عليهما كورت غودل في عام 1931. وهما نظريتان تنصّان على حدود جميع الأنظمة الشكلية في الحساب.تعتبر هاتان النظريتان مهمتين في فلسفة الرياضيات، وتستخدمان لإثبات استحالة إيجاد مجموعة كاملة من البديهيات لكل علم الرياضيات ببرنامج هيلبرت، ممَّا يعطي جواباً سلبياً -بالتالي- . (ar)
- Gödelovy věty o neúplnosti jsou dvě důležité matematické věty, které mají zcela výsadní postavení v celé moderní matematické logice. Důležitou roli však hrají v celé matematice, zejména pak v teorii modelů, aritmetice (respektive teorii čísel) a v teorii množin. Dokázal je roku 1931 rakouský logik Kurt Gödel. Gödelovy věty jsou velmi významné i z hlediska filosofie matematiky, stanovují totiž hranice axiomatické metody v matematice. Plyne z nich například neproveditelnost takzvaného Hilbertova programu, který si kladl za cíl vytvořit bezespornou, úplnou teorii, s efektivně zadatelnou množinou axiomů, v níž by bylo možné interpretovat aritmetiku přirozených čísel. (cs)
- En lògica matemàtica, els teoremes d'incompletesa de Gödel són dos cèlebres teoremes demostrats per Kurt Gödel l'any 1930. Simplificant, el primer teorema afirma: En qualsevol formalització de les matemàtiques que sigui prou forta per definir el concepte de nombres naturals, es pot construir una afirmació que ni es pot demostrar ni es pot refutar dins d'aquest sistema. Aquest teorema és un dels més famosos, més enllà de les matemàtiques, però sí i un dels pitjor compresos. És un teorema de lògica formal, i com a tal és fàcil mal interpretar-lo. N'hi ha molts que semblen similars a aquest primer teorema d'incompletesa de Gödel, però que en realitat no són certs (vegeu la secció «»). El segon teorema, que es demostra formalitzant part de la demostració del primer teorema dins el mateix sistema, afirma: Cap sistema consistent es pot usar per demostrar-se a si mateix. Aquest resultat fou devastador per a l'aproximació filosòfica a les matemàtiques conegudes com el programa de formalització de Hilbert. David Hilbert proposà que la consistència dels sistemes més complexos, tals com l'anàlisi real, es podien demostrar en termes de sistemes més senzills. Finalment, la consistència de totes les matemàtiques es podria reduir a l'aritmètica bàsica. El segon teorema d'incompletesa de Gödel demostra que l'aritmètica bàsica no es pot usar per demostrar la seva pròpia consistència i, per tant, tampoc pot demostrar la consistència de cap altre sistema més fort. (ca)
- Στη μαθηματική λογική, τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ, τα οποία αποδείχτηκαν από τον Κουρτ Γκέντελ (Kurt Gödel) το 1931, αποτελούν δύο θεωρήματα που υποδεικνύουν έμφυτους περιορισμούς σε όλα τα (πλην των τετριμμένων) τυπικά συστήματα των μαθηματικών. Τα θεωρήματα είναι πολύ σημαντικά για τη φιλοσοφία των μαθηματικών. Ερμηνεύονται γενικά ως μια απόδειξη πως το να βρεθεί ένα πλήρες και συνεπές σύνολο από αξιώματα για όλα τα μαθηματικά είναι αδύνατο, δίνοντας έτσι αρνητική απάντηση στο . (el)
- Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz ist einer der wichtigsten Sätze der modernen Logik. Er beschäftigt sich mit der Ableitbarkeit von Aussagen in formalen Systemen. Der Satz zeigt die Grenzen der formalen Systeme ab einer bestimmten Leistungsfähigkeit auf. Er weist nach, dass es in hinreichend starken Systemen, wie der Arithmetik, Aussagen geben muss, die man formal weder beweisen noch widerlegen kann. Der Satz beweist damit die Undurchführbarkeit des Hilbertprogramms, das von David Hilbert unter anderem begründet wurde, um die Widerspruchsfreiheit der Mathematik zu beweisen. Der Satz wurde 1931 von dem österreichischen Mathematiker Kurt Gödel veröffentlicht. Genauer werden zwei Unvollständigkeitssätze unterschieden: Der erste Unvollständigkeitssatz besagt, dass es in allen hinreichend starken widerspruchsfreien Systemen unbeweisbare Aussagen gibt. Der zweite Unvollständigkeitssatz besagt, dass hinreichend starke widerspruchsfreie Systeme ihre eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen können. Durch diese Sätze ist der Mathematik eine prinzipielle Grenze gesetzt: Nicht jeder mathematische Satz kann aus den Axiomen eines mathematischen Teilgebietes (zum Beispiel Arithmetik, Geometrie und Algebra) formal abgeleitet oder widerlegt werden. In der Wissenschaftstheorie und anderen Gebieten der Philosophie zählt der Satz zu den meistrezipierten der Mathematik. Das Buch Gödel, Escher, Bach und die Werke von John Randolph Lucas werden häufig exemplarisch hervorgehoben. (de)
- La teoremoj de nekompleteco estas du teoremoj de matematika logiko pruvitaj de Kurt Gödel en 1930. Iomete simpligite, la unua teoremo asertas: En iu ajn de matematiko, en kiu eblas difini la aritmetikon de la naturaj nombroj, eblas konstrui propozicion, kiun oni povas nek pruvi nek malpruvi. La dua teoremo, kiun oni povas derivi el la unua, asertas: En iu ajn nekontraŭdira sistemo, en kiu eblas difini la aritmetikon de la naturaj nombroj, oni ne povas pruvi la nekontraŭdirecon de tiu sistemo mem. (eo)
- Gödel's incompleteness theorems are two theorems of mathematical logic that are concerned with the limits of provability in formal axiomatic theories. These results, published by Kurt Gödel in 1931, are important both in mathematical logic and in the philosophy of mathematics. The theorems are widely, but not universally, interpreted as showing that Hilbert's program to find a complete and consistent set of axioms for all mathematics is impossible. The first incompleteness theorem states that no consistent system of axioms whose theorems can be listed by an effective procedure (i.e., an algorithm) is capable of proving all truths about the arithmetic of natural numbers. For any such consistent formal system, there will always be statements about natural numbers that are true, but that are unprovable within the system. The second incompleteness theorem, an extension of the first, shows that the system cannot demonstrate its own consistency. Employing a diagonal argument, Gödel's incompleteness theorems were the first of several closely related theorems on the limitations of formal systems. They were followed by Tarski's undefinability theorem on the formal undefinability of truth, Church's proof that Hilbert's Entscheidungsproblem is unsolvable, and Turing's theorem that there is no algorithm to solve the halting problem. (en)
- Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas de lógica matemática demostrados por Kurt Gödel en 1931. Ambos están relacionados con la existencia de proposiciones indecidibles en ciertas teorías aritméticas. (es)
- Les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, publiés par Kurt Gödel en 1931 dans son article (en) (« Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés »). Ils ont marqué un tournant dans l'histoire de la logique en apportant une réponse négative à la question de la démonstration de la cohérence des mathématiques posée plus de 20 ans auparavant par le programme de Hilbert. Le premier théorème d'incomplétude établit qu'une théorie cohérente suffisante pour y démontrer les théorèmes de base de l'arithmétique est nécessairement incomplète, au sens où il existe des énoncés qui n'y sont ni démontrables, ni réfutables (un énoncé est démontrable si on peut le déduire des axiomes de la théorie, il est réfutable si on peut déduire sa négation). On parle alors d'énoncés indécidables dans la théorie. Le second théorème d'incomplétude est à la fois un corollaire et une formalisation d'une partie de la preuve du premier. Il traite le problème des preuves de cohérence d'une théorie : une théorie est cohérente s'il existe des énoncés qui n'y sont pas démontrables (ou, ce qui revient au même, si on ne peut y démontrer A et non A) ; par exemple on exprime souvent la cohérence de l'arithmétique par le fait que l'énoncé 0 = 1 n'y est pas démontrable (sachant que bien entendu 0 ≠ 1 l'est). Sous des hypothèses à peine plus fortes que celles du premier théorème, on peut construire un énoncé exprimant la cohérence d'une théorie dans le langage de celle-ci. Le second théorème affirme alors que si la théorie est cohérente cet énoncé ne peut pas en être conséquence, ce que l'on peut résumer par : « une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence ». (fr)
- Chruthaigh an matamaiticeoir Meiriceánach Kurt Gödel (1906-1978) i 1931 go mbíonn tairiscintí i gcónaí taobh istigh de bhrainse ar bith matamataice nach féidir a chruthú ná a bhréagnú le bunrialacha an bhrainse sin. Thaispeáin sé gur gá dul taobh amuigh den bhrainse ina leithéid de chás agus rialacha nua a leagan amach. Meastar uaidh sin nach féidir ríomhaire a dhéanamh chomh hintleachtach le daoine, de bhrí go mbionn an ríomhaire teoranta d'oiread ar leith rialacha a leagann an dearthóir amach dó, ach gur féidir le daoine coincheapanna is fírinní gan choinne a fháil amach i gcónaí. (ga)
- Teorema ketaklengkapan Gödel (bahasa Inggris: Gödel's incompleteness theorems) adalah dua teorema logika matematika yang menetapkan batasan (limitation) inheren dari semua kecuali sistem aksiomatik yang paling trivial yang mampu mengerjakan aritmetika. Teorema-teorema ini, dibuktikan oleh Kurt Gödel pada tahun 1931, penting baik dalam logika matematika maupun dalam filsafat matematika. Kedua hasil ini secara luas, tetapi tidak secara universal, ditafsirkan telah menunjukkan bahwa program Hilbert untuk menghitung himpunan lengkap dan konsisten dari aksioma-aksioma bagi semua matematika adalah tidak mungkin, sehingga memberikan jawaban negatif terhadap soal Hilbert yang kedua. (in)
- 괴델의 불완전성 정리(영어: Gödel’s incompleteness theorems)는 수리논리학에서 페아노 공리계를 포함하는 모든 무모순적 공리계는 참인 일부 명제를 증명할 수 없으며, 특히 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 정리다. (ko)
- In logica matematica, i teoremi di incompletezza di Gödel sono due famosi teoremi dimostrati da Kurt Gödel nel 1930. Gödel annunciò il suo primo teorema di incompletezza in una tavola rotonda a margine della Seconda Conferenza sull'Epistemologia delle Scienze esatte di Königsberg. John von Neumann, presente alla discussione, riuscì a dimostrare il teorema per conto suo verso la fine del 1930 e, inoltre, fornì una dimostrazione del secondo teorema di incompletezza, che annunciò a Gödel in una lettera datata 20 novembre 1930. Gödel aveva, nel frattempo, a sua volta ottenuto una dimostrazione del secondo teorema di incompletezza, e lo incluse nel manoscritto che fu ricevuto dalla rivista Monatshefte für Mathematik il 17 novembre 1930. Essi fanno parte dei teoremi limitativi, che precisano le proprietà che i sistemi formali non possono avere. (it)
- ゲーデルの不完全性定理（ゲーデルのふかんぜんせいていり、英: Gödel's incompleteness theorems、独: Gödelscher Unvollständigkeitssatz）または不完全性定理とは、数学基礎論とコンピュータ科学（計算機科学）の重要な基本定理。（数学基礎論は数理論理学や超数学とほぼ同義な分野で、コンピュータ科学と密接に関連している。） 不完全性定理は厳密には「数学」そのものについての定理ではなく、「形式化された数学」についての定理である。クルト・ゲーデルが1931年の論文で証明した定理であり、有限の立場（形式主義）では自然数論の無矛盾性の証明が成立しないことを示す。なお、少し拡張された有限の立場では、自然数論の無矛盾性の証明が成立する（）。 数学基礎論研究者の菊池誠によると不完全性定理は、20世紀初め以降に哲学から決別した数学基礎論の中で現れた。コンピュータ科学者・数理論理学者のトルケル・フランセーンおよび数学者・数理論理学者の田中一之によると、不完全性定理が示した不完全性とは、数学用語の意味での「特定の形式体系Pにおいて決定不能な命題の存在」であり、一般的な意味での「不完全性」とは無関係である。不完全性定理を踏まえても、数学の形式体系の公理は真であり無矛盾であるし、数学の完全性も成立し続けている。しかし“不完全性定理は数学や理論の「不完全性」を証明した”といった誤解や、“数学には「不完全」な部分があると証明済みであり、数学以外の分野に「不完全」な部分があってもおかしくない”といった誤解が一般社会・哲学・宗教・神学等によって広まり、誤用されている。 「」および「ゲーデルの完全性定理」も参照 数学の「無矛盾性」を証明することを目指したヒルベルト・プログラムに関して「不完全性定理がヒルベルトのプログラムを破壊した」という類の哲学的発言はよくあるが、これは実際の不完全性定理やゲーデルの見解とは異なる、とフランセーン達は解説している。正確には、ゲーデルはヒルベルトと同様の見解を持っており、彼が不完全性定理を証明して示したのは、ヒルベルトの目的（「無矛盾性証明」）を実現するためには手段（ヒルベルト・プログラム）を拡張する必要がある、ということだった。日本数学会が言うには「彼〔ゲーデル〕の結果はヒルベルトの企図を直接否定するものではなく，実際この定理の発見後に無矛盾性証明のための様々な方法論が開発されている」。 「」および「不完全性定理によるヒルベルト・プログラムの発展」も参照 (ja)
- Twierdzenia Gödla – wspólna nazwa dwóch rezultatów logiki matematycznej i metamatematyki:
* twierdzenie o niezupełności arytmetyki,
* jego konsekwencja nazywana też twierdzeniem o niedowodliwości niesprzeczności. Oba twierdzenia zostały udowodnione w 1931 roku przez austriackiego matematyka i logika Kurta Gödla. Uważa się również, że twierdzenia te dają negatywną odpowiedź na drugi problem Hilberta, i w ten sposób mają spore znaczenie w filozofii matematyki. Oprócz rozpatrywanych w tym artykule twierdzeń, Gödel udowodnił też twierdzenie o istnieniu modelu i twierdzenie o nierozstrzygalności (patrz: teoria, struktura matematyczna). (pl)
- De onvolledigheidsstellingen van Gödel zijn twee stellingen over de beperkingen van formele systemen, beide bewezen door Kurt Gödel in 1931. Door deze onvolledigheidsstellingen gaf Gödel het platonisme binnen de wiskunde een nieuw elan. (nl)
- Gödels ofullständighetsteorem är två fundamentala teorem inom den moderna logiken. De handlar om avgörbarhet och bevisbarhet av utsagor i formella system och lades fram av Kurt Gödel 1931. Teoremen fastlägger att Hilberts andra problem, om en axiomatisering av aritmetiken, kräver ett oändligt antal axiom. Det medför att David Hilberts program, att finna ett fullständigt och konsistent, det vill säga motsägelsefritt, axiomsystem för all matematik är ogenomförbart. Gödels första ofullständighetsteorem: I varje konsistent formellt system, tillräckligt för aritmetiken, finns en sann men oavgörbar formel, det vill säga en formel, som inte kan bevisas och vars negation ej heller kan bevisas. Gödels andra ofullständighetsproblem, är en följdsats till det första teoremet: Konsistensen hos ett formellt system, tillräckligt för aritmetiken, kan inte bevisas inom systemet. Gödels första teorem är i grunden villkorligt. Det säger att, om ett formellt system S för aritmetik är konsistent, så är det möjligt att konstruera en sats G, som är sann men obevisbar i detta system. Härav följer, att om S är konsistent, så är G både sann och obevisbar. Trivialt fås då, att om S är konsistent, så är G sann. Om konsistensen av S nu skulle kunna bevisas i systemet, så skulle G ha bevisats i S och därmed skulle en kontradiktion, G och icke-G, att G är såväl bevisbar som icke bevisbar, kunna härledas. Av reductio ad absurdum-regeln följer då negationen av satsen, att S är konsistent, det vill säga att S inte är, eller kan visas vara, konsistent. (sv)
- Os teoremas da incompletude de Gödel são dois teoremas da lógica matemática que estabelecem limitações inerentes a quase todos os sistemas axiomáticos, exceto aos mais triviais. Os teoremas, provados por Kurt Gödel em 1931, são importantes tanto para a lógica matemática quanto para a filosofia da matemática. Os dois resultados são amplamente, mas não universalmente, interpretados como indicações de que o programa de Hilbert para encontrar um conjunto completo e consistente de axiomas para toda a matemática é impossível, dando uma resposta negativa para o segundo problema de Hilbert. O primeiro teorema da incompletude afirma que nenhum sistema consistente de axiomas, cujos teoremas podem ser listados por um “procedimento efetivo” (e.g., um programa de computador que pode ser qualquer tipo de algoritmo), é capaz de provar todas as verdades sobre as relações dos números naturais (aritmética). Para qualquer um desses sistemas, sempre haverá afirmações sobre os números naturais que são verdadeiras, mas que não podem ser provadas dentro do sistema. O segundo teorema da incompletude, uma extensão do primeiro, mostra que tal sistema não pode demonstrar sua própria consistência.
* Teorema 1: "Qualquer teoria axiomática recursivamente enumerável e capaz de expressar algumas verdades básicas de aritmética não pode ser, ao mesmo tempo, completa e consistente. Ou seja, em uma teoria consistente, sempre há proposições que não podem ser demonstradas nem verdadeiras, nem falsas".
* Teorema 2: "Uma teoria, recursivamente enumerável e capaz de expressar verdades básicas da aritmética e alguns enunciados da teoria da prova, pode provar sua própria consistência se, e somente se, for inconsistente." (pt)
- Теорема Геделя про неповноту і друга теорема Геделя (англ. Gödel's incompleteness theorems) — дві теореми математичної логіки про принципові обмеження формальної арифметики і, як наслідок, будь-якої формальної системи, в якій можливо визначити основні арифметичні поняття: натуральні числа, 0, 1, додавання та множення. Перша теорема стверджує, що, якщо формальна арифметика є несуперечливою, то в ній існує невивідна і неспростовна формула. Друга теорема стверджує, що якщо формальна арифметика є несуперечливою, то в ній є невивідною деяка формула, яка змістовно стверджує несуперечливість цієї арифметики. Обидві ці теореми було доведено Куртом Геделем 1930 року (опубліковано 1931 року), вони мають безпосередній стосунок до зі знаменитого списку Гільберта. (uk)
- Теорема Гёделя о неполноте и вторая теорема Гёделя — две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение. Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула. Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики. Обе эти теоремы были доказаны Куртом Гёделем в 1930 году (опубликованы в 1931) и имеют непосредственное отношение ко второй проблеме из знаменитого списка Гильберта. (ru)
- 在数理逻辑中，哥德尔不完备定理是库尔特·哥德尔于1931年证明并发表的两条定理。第一条定理指出： 这是形式逻辑中的定理，容易被错误表述。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理，但事实上并不是。具体实例见。 把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后，哥德尔证明了第二条定理。该定理指出： 哥德尔不完备定理破坏了希尔伯特计划的哲学企图。大卫·希尔伯特提出，像实分析那样较为复杂的体系的相容性，可以用较为简单的体系中的手段来证明。最终，全部数学的相容性都可以归结为基本算术的相容性。但哥德尔的第二条定理证明了基本算术的相容性不能在自身内部证明，因此当然就不能用来证明比它更强的系统的相容性了。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- مبرهنات عدم الاكتمال لغودل هما مبرهنتان في المنطق الرياضي برهنَ عليهما كورت غودل في عام 1931. وهما نظريتان تنصّان على حدود جميع الأنظمة الشكلية في الحساب.تعتبر هاتان النظريتان مهمتين في فلسفة الرياضيات، وتستخدمان لإثبات استحالة إيجاد مجموعة كاملة من البديهيات لكل علم الرياضيات ببرنامج هيلبرت، ممَّا يعطي جواباً سلبياً -بالتالي- . (ar)
- Στη μαθηματική λογική, τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ, τα οποία αποδείχτηκαν από τον Κουρτ Γκέντελ (Kurt Gödel) το 1931, αποτελούν δύο θεωρήματα που υποδεικνύουν έμφυτους περιορισμούς σε όλα τα (πλην των τετριμμένων) τυπικά συστήματα των μαθηματικών. Τα θεωρήματα είναι πολύ σημαντικά για τη φιλοσοφία των μαθηματικών. Ερμηνεύονται γενικά ως μια απόδειξη πως το να βρεθεί ένα πλήρες και συνεπές σύνολο από αξιώματα για όλα τα μαθηματικά είναι αδύνατο, δίνοντας έτσι αρνητική απάντηση στο . (el)
- La teoremoj de nekompleteco estas du teoremoj de matematika logiko pruvitaj de Kurt Gödel en 1930. Iomete simpligite, la unua teoremo asertas: En iu ajn de matematiko, en kiu eblas difini la aritmetikon de la naturaj nombroj, eblas konstrui propozicion, kiun oni povas nek pruvi nek malpruvi. La dua teoremo, kiun oni povas derivi el la unua, asertas: En iu ajn nekontraŭdira sistemo, en kiu eblas difini la aritmetikon de la naturaj nombroj, oni ne povas pruvi la nekontraŭdirecon de tiu sistemo mem. (eo)
- Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas de lógica matemática demostrados por Kurt Gödel en 1931. Ambos están relacionados con la existencia de proposiciones indecidibles en ciertas teorías aritméticas. (es)
- Chruthaigh an matamaiticeoir Meiriceánach Kurt Gödel (1906-1978) i 1931 go mbíonn tairiscintí i gcónaí taobh istigh de bhrainse ar bith matamataice nach féidir a chruthú ná a bhréagnú le bunrialacha an bhrainse sin. Thaispeáin sé gur gá dul taobh amuigh den bhrainse ina leithéid de chás agus rialacha nua a leagan amach. Meastar uaidh sin nach féidir ríomhaire a dhéanamh chomh hintleachtach le daoine, de bhrí go mbionn an ríomhaire teoranta d'oiread ar leith rialacha a leagann an dearthóir amach dó, ach gur féidir le daoine coincheapanna is fírinní gan choinne a fháil amach i gcónaí. (ga)
- Teorema ketaklengkapan Gödel (bahasa Inggris: Gödel's incompleteness theorems) adalah dua teorema logika matematika yang menetapkan batasan (limitation) inheren dari semua kecuali sistem aksiomatik yang paling trivial yang mampu mengerjakan aritmetika. Teorema-teorema ini, dibuktikan oleh Kurt Gödel pada tahun 1931, penting baik dalam logika matematika maupun dalam filsafat matematika. Kedua hasil ini secara luas, tetapi tidak secara universal, ditafsirkan telah menunjukkan bahwa program Hilbert untuk menghitung himpunan lengkap dan konsisten dari aksioma-aksioma bagi semua matematika adalah tidak mungkin, sehingga memberikan jawaban negatif terhadap soal Hilbert yang kedua. (in)
- 괴델의 불완전성 정리(영어: Gödel’s incompleteness theorems)는 수리논리학에서 페아노 공리계를 포함하는 모든 무모순적 공리계는 참인 일부 명제를 증명할 수 없으며, 특히 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 정리다. (ko)
- De onvolledigheidsstellingen van Gödel zijn twee stellingen over de beperkingen van formele systemen, beide bewezen door Kurt Gödel in 1931. Door deze onvolledigheidsstellingen gaf Gödel het platonisme binnen de wiskunde een nieuw elan. (nl)
- 在数理逻辑中，哥德尔不完备定理是库尔特·哥德尔于1931年证明并发表的两条定理。第一条定理指出： 这是形式逻辑中的定理，容易被错误表述。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理，但事实上并不是。具体实例见。 把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后，哥德尔证明了第二条定理。该定理指出： 哥德尔不完备定理破坏了希尔伯特计划的哲学企图。大卫·希尔伯特提出，像实分析那样较为复杂的体系的相容性，可以用较为简单的体系中的手段来证明。最终，全部数学的相容性都可以归结为基本算术的相容性。但哥德尔的第二条定理证明了基本算术的相容性不能在自身内部证明，因此当然就不能用来证明比它更强的系统的相容性了。 (zh)
- En lògica matemàtica, els teoremes d'incompletesa de Gödel són dos cèlebres teoremes demostrats per Kurt Gödel l'any 1930. Simplificant, el primer teorema afirma: En qualsevol formalització de les matemàtiques que sigui prou forta per definir el concepte de nombres naturals, es pot construir una afirmació que ni es pot demostrar ni es pot refutar dins d'aquest sistema. El segon teorema, que es demostra formalitzant part de la demostració del primer teorema dins el mateix sistema, afirma: Cap sistema consistent es pot usar per demostrar-se a si mateix. (ca)
- Gödelovy věty o neúplnosti jsou dvě důležité matematické věty, které mají zcela výsadní postavení v celé moderní matematické logice. Důležitou roli však hrají v celé matematice, zejména pak v teorii modelů, aritmetice (respektive teorii čísel) a v teorii množin. Dokázal je roku 1931 rakouský logik Kurt Gödel. (cs)
- Gödel's incompleteness theorems are two theorems of mathematical logic that are concerned with the limits of provability in formal axiomatic theories. These results, published by Kurt Gödel in 1931, are important both in mathematical logic and in the philosophy of mathematics. The theorems are widely, but not universally, interpreted as showing that Hilbert's program to find a complete and consistent set of axioms for all mathematics is impossible. (en)
- Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz ist einer der wichtigsten Sätze der modernen Logik. Er beschäftigt sich mit der Ableitbarkeit von Aussagen in formalen Systemen. Der Satz zeigt die Grenzen der formalen Systeme ab einer bestimmten Leistungsfähigkeit auf. Er weist nach, dass es in hinreichend starken Systemen, wie der Arithmetik, Aussagen geben muss, die man formal weder beweisen noch widerlegen kann. Der Satz beweist damit die Undurchführbarkeit des Hilbertprogramms, das von David Hilbert unter anderem begründet wurde, um die Widerspruchsfreiheit der Mathematik zu beweisen. Der Satz wurde 1931 von dem österreichischen Mathematiker Kurt Gödel veröffentlicht. (de)
- Les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, publiés par Kurt Gödel en 1931 dans son article (en) (« Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés »). Ils ont marqué un tournant dans l'histoire de la logique en apportant une réponse négative à la question de la démonstration de la cohérence des mathématiques posée plus de 20 ans auparavant par le programme de Hilbert. (fr)
- In logica matematica, i teoremi di incompletezza di Gödel sono due famosi teoremi dimostrati da Kurt Gödel nel 1930. Gödel annunciò il suo primo teorema di incompletezza in una tavola rotonda a margine della Seconda Conferenza sull'Epistemologia delle Scienze esatte di Königsberg. John von Neumann, presente alla discussione, riuscì a dimostrare il teorema per conto suo verso la fine del 1930 e, inoltre, fornì una dimostrazione del secondo teorema di incompletezza, che annunciò a Gödel in una lettera datata 20 novembre 1930. Gödel aveva, nel frattempo, a sua volta ottenuto una dimostrazione del secondo teorema di incompletezza, e lo incluse nel manoscritto che fu ricevuto dalla rivista Monatshefte für Mathematik il 17 novembre 1930. Essi fanno parte dei teoremi limitativi, che precisano le (it)
- ゲーデルの不完全性定理（ゲーデルのふかんぜんせいていり、英: Gödel's incompleteness theorems、独: Gödelscher Unvollständigkeitssatz）または不完全性定理とは、数学基礎論とコンピュータ科学（計算機科学）の重要な基本定理。（数学基礎論は数理論理学や超数学とほぼ同義な分野で、コンピュータ科学と密接に関連している。） 不完全性定理は厳密には「数学」そのものについての定理ではなく、「形式化された数学」についての定理である。クルト・ゲーデルが1931年の論文で証明した定理であり、有限の立場（形式主義）では自然数論の無矛盾性の証明が成立しないことを示す。なお、少し拡張された有限の立場では、自然数論の無矛盾性の証明が成立する（）。 「」および「ゲーデルの完全性定理」も参照 「」および「不完全性定理によるヒルベルト・プログラムの発展」も参照 (ja)
- Twierdzenia Gödla – wspólna nazwa dwóch rezultatów logiki matematycznej i metamatematyki:
* twierdzenie o niezupełności arytmetyki,
* jego konsekwencja nazywana też twierdzeniem o niedowodliwości niesprzeczności. (pl)
- Теорема Гёделя о неполноте и вторая теорема Гёделя — две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение. Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула. Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики. (ru)
- Os teoremas da incompletude de Gödel são dois teoremas da lógica matemática que estabelecem limitações inerentes a quase todos os sistemas axiomáticos, exceto aos mais triviais. Os teoremas, provados por Kurt Gödel em 1931, são importantes tanto para a lógica matemática quanto para a filosofia da matemática. Os dois resultados são amplamente, mas não universalmente, interpretados como indicações de que o programa de Hilbert para encontrar um conjunto completo e consistente de axiomas para toda a matemática é impossível, dando uma resposta negativa para o segundo problema de Hilbert. (pt)
- Gödels ofullständighetsteorem är två fundamentala teorem inom den moderna logiken. De handlar om avgörbarhet och bevisbarhet av utsagor i formella system och lades fram av Kurt Gödel 1931. Teoremen fastlägger att Hilberts andra problem, om en axiomatisering av aritmetiken, kräver ett oändligt antal axiom. Det medför att David Hilberts program, att finna ett fullständigt och konsistent, det vill säga motsägelsefritt, axiomsystem för all matematik är ogenomförbart. Gödels första ofullständighetsteorem: Gödels andra ofullständighetsproblem, är en följdsats till det första teoremet: (sv)
- Теорема Геделя про неповноту і друга теорема Геделя (англ. Gödel's incompleteness theorems) — дві теореми математичної логіки про принципові обмеження формальної арифметики і, як наслідок, будь-якої формальної системи, в якій можливо визначити основні арифметичні поняття: натуральні числа, 0, 1, додавання та множення. Перша теорема стверджує, що, якщо формальна арифметика є несуперечливою, то в ній існує невивідна і неспростовна формула. Обидві ці теореми було доведено Куртом Геделем 1930 року (опубліковано 1931 року), вони мають безпосередній стосунок до зі знаменитого списку Гільберта. (uk)
|
