| dbo:abstract
|
- L'eix radical de dues circumferències no concèntriques és el lloc geomètric dels punts amb la mateixa potència respecte d'aquestes. El lloc geomètric dels punts amb igual potència respecte de dues circumferències concèntriques és altra circumferència concèntrica (n'estàs segur, d'això??). L'eix radical és una recta perpendicular al segment lineal determinat pels dos centres de les circumferències, puix donat un punt de l'eix radical, el punt simètric respecte del segment que uneix els centres de les circumferències també tindrà la mateixa potència.
* Si les circumferències són exteriors, l'eix central es pot determinar unint els punts mitjans (M a la figura) dels segments determinats pels punts de contacte de les tangents a les circumferències (punts T1 i T2 a la figura).
* Si les circumferències són tangents, l'eix radical conté el punt d'intersecció d'ambdues circumferències i és perpendicular a la recta determinada pels centres de les circumferències.
* Si les circumferències són secants, l'eix radical conté els punts d'intersecció de les circumferències, ja que els dos tenen potència nul·la respecte de les circumferències.
* Si una de les circumferències és interior, es pot obtenir l'eix radical traçant una circumferència auxiliar secant a les circumferències donades (a en la figura). El punt d'intersecció dels eixos radicals auxiliars (C en la figura) té igual potència respecte a les circumferències donades, por tant, l'eix radical serà la recta que conté el punt C i és perpendicular a la recta determinada pels centres de les circumferències inicials. (S'ha d'elegir la circumferència auxiliar de forma que els eixos radicals auxiliars es tallen dins del del paper del dibuix). (ca)
- خط القوة أو المحور الأساسي (بالإنجليزية: Radical axis) لدائرتين ما، هو المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي تتساوى قُوَّتها بالنسبة لهما. وبشكل مكافئ، إذا كانت الدائرتان متباعدتان ولا تحتوي إحداهما الأخرى فبالإمكان تعريف خط القوة على أنه المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي يكون طول المماسين المارين بها والمماسين للدائرتين متساوٍ. المحور الأساسي دائماً يتَّخذ خطّاً مستقيماً؛ ولذلك فإنه يُسمَّى بخط القوة. عدا أنه في حالة اتحاد الدائرتين مركزياً يصبح خط القوة غير مُعرَّف. وفي حالة تقاطع الدائرتين، فإن خط القوة يمر بنقطتي تقاطعهما أو تماسهما. خط القوة عمودي دائماً على الخط الواصل بين مركزي الدائرتين وهو أقرب لمحيط الدائرة الأكبر. (ar)
- Unter der Potenzgeraden (Potenzlinie, Chordale) zweier Kreise versteht man den geometrischen Ort (die Menge) aller Punkte, deren Potenz in Bezug auf die beiden Kreise übereinstimmt. Sind die Kreise durch ihre Mittelpunkte und sowie ihre Radien und gegeben, so sind die Potenzen eines Punktes bezgl. der beiden Kreise Ein Punkt gehört zur Potenzgerade , wenn gilt. Die Potenzgerade ist nur definiert, wenn die gegebenen Kreise nicht konzentrisch sind, also keinen übereinstimmenden Mittelpunkt haben. Sind beide Radien gleich oder sogar 0, so ist die Potenzgerade die Mittelsenkrechte der Punkte . Potenzgeraden spielen bei Kreisbüscheln eine wichtige Rolle: Ein Kreisbüschel ist eine Schar von Kreisen mit einer gemeinsamen Potenzgerade. Bezeichnungen:J. Steiner nannte die Potenzgerade Linie der gleichen Potenzen.J.V. Poncelet verwandte chorde ideale.J. Plücker führte die Bezeichnung Chordale ein.M. Chasles bezeichnet sie als axe radical, was auch im Englischen (radical axis) üblich ist.O. Hesse nennt die Potenzgerade gemeinschaftliche Sekante, auch in dem Fall, dass die beiden Kreise keine (reellen) Punkte gemeinsam haben. (de)
- En geometría plana, el eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de las mismas. Por medio de la geometría analítica se puede demostrar que el eje radical es siempre una recta.Sean y los centros de los dos círculos, y los radios correspondientes.Según la definición algebraica de la potencia del punto se obtiene para cada uno de los círculos o .Al igualar las dos potencias se obtiene la ecuación del lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de los círculos: La multiplicación y agrupación resulta en En esta ecuación los términos cuadrados e se han anulado, no hay términos mixtos , ha quedado una ecuación del tipo que es la forma general de la ecuación de recta. El eje radical es una recta perpendicular al segmento determinado por los dos centros de las circunferencias, pues dado un punto del eje radical, el punto simétrico respecto del segmento que une los centros de las circunferencias también tendrá la misma potencia.
* Si las circunferencias son exteriores, el eje radical se puede determinar uniendo los puntos medios (M en la figura) de los segmentos determinados por los puntos de contacto de las tangentes a las circunferencias (puntos T1 y T2 en la figura).
* Si las circunferencias son tangentes, el eje radical contiene el punto de intersección de ambas circunferencias y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias.
* Si las circunferencias son secantes, el eje radical contiene los puntos de intersección de las circunferencias, puesto que ambos tienen potencia nula respecto de las circunferencias.
* Si una de las circunferencias es interior, se puede obtener el eje radical trazando una circunferencia auxiliar secante a las circunferencias dadas (a en la figura). El punto de intersección de los ejes radicales auxiliares (C en la figura) tiene igual potencia respecto a las circunferencias dadas, por tanto, el eje radical será la recta que contiene al punto C y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias iniciales. (Se debe elegir la circunferencia auxiliar de tal forma que los ejes radicales auxiliares se corten dentro del papel del dibujo). (es)
- Geometrian, zentrokideak ez diren bi zirkunferentzien Potentzia-ardatza leku geometrikoa da non puntuak potentzia bera duten bi zirkunferentziekiko. Potentzia-ardatza bi zirkunferentzien zentroek mugatutako zuzenkiarekiko zuzenperpendikular bat da, potentzia-ardatzaren puntu bat hartuz gero, bi zirkunferentzien zentroak lotzen dituen zuzenkiarekiko simetrikoa den puntuak potentzia bera izango baitu.
* Zirkunferentziak kanpokoak badira, potentzia-ardatza zehatz daiteke zirkunferentziekiko zuzen ukitzaileen ukitze-puntuek (T1 eta T2 puntuak, irudian) mugatutako zuzenkien erdiko puntuak lotuz (M, irudian).
* Zirkunferentziak ukitzaileak badira, potentzia-ardatzak barne hartzen du bi zirkunferentzien ukitze-puntua eta perpendikularra da bi zirkunferentzien zentroak lotzen dituen zuzenkiarekiko.
* Zirkunferentziak ebakitzaileak badira, potentzia-ardatzak barne hartzen ditu bi zirkunferentzien elkarketa puntuak, biek potentzia nulua baitute zirkunferentziekiko.
* Zirkunferentzia bat bestearen barnean badago, potentzia-ardatza lor daiteke beste zirkunferentzia laguntzaile bat marraztuz ebakitzailea emandako zirkunferentziekiko (a, irudian). Potentzia-ardatz laguntzaileen elkarketa puntuak (C, irudian) potentzia bera du emandako bi zirkunferentziekiko, beraz, potentzia-ardatza C puntua barne hartzen duen eta hasierako zirkunferentzien zentroek mugatutako zuzenkiarekiko perpendikularra den zuzena da. (Zirkunferentzia laguntzailea aukeratzeko orduan, potentzia-ardatz laguntzaileak marrazteko paperaren barruan ebakitzen direnak aukeratu behar da). (eu)
- In geometry, the radical axis of two non-concentric circles is the set of points whose power with respect to the circles are equal. For this reason the radical axis is also called the power line or power bisector of the two circles. In detail: For two circles with centers and radii the powers of a point with respect to the circles are . Point belongs to the radical axis, if
* . If the circles have two points in common, the radical axis is the common secant line of the circles. If point is outside the circles, has equal tangential distance to both the circles.If the radii are equal, the radical axis is the line segment bisector of .In any case the radical axis is a line perpendicular to . On notations The notation radical axis was used by the French mathematician M. Chasles as axe radical. J.V. Poncelet used chorde ideale. J. Plücker introduced the term Chordale.J. Steiner called the radical axis line of equal powers (Linie der gleichen Potenzen) which led to power line (Potenzgerade). (en)
- 기하학에서 근축(根軸, 영어: radical axis)은 동심원이 아닌 두 원에 대한 방멱이 같은 점들의 자취이다. 근축은 두 원의 중심을 잇는 직선의 수선을 이룬다. 서로 다른 두 점에서 만나는 두 원의 근축은 두 교점을 지나는 공통 할선이고, 서로 접하는 두 원의 근축은 접점을 지나는 공통 접선이며, 서로 만나지 않는 두 원의 근축은 두 원의 외부에 있다. 근축의 두 원의 외부에 놓인 부분은 두 원에 대한 접선의 길이가 같은 점들의 자취이자,:32, §45 두 원 모두에 직교하는 원의 중심들의 자취이다.:34, §49 어떤 점이 근축의 두 원의 내부에 놓인 부분에 속하는 것은 이 점을 지나는 두 원의 현의 최소 길이가 같은 것과 동치이다.:32, §45 서로 다른 두 동심원의 근축을 두 원이 놓인 평면 위의 으로 정의하기도 하며, 서로 같은 두 원의 근축은 정의되지 않는다.:92, Remark 1.10.4 중심이 공선점이 아닌 세 원에 의한 세 근축은 유일한 교점을 가지며, 이를 근심(根心, 영어: radical center)이라고 한다. 중심이 서로 다른 공선점인 세 원에 의한 세 근축은 서로 평행하는데, 이 경우 세 근축이 지나는 유일한 무한원점을 근심으로 삼으면 편리하다. 임의의 두 원의 근축이 같은 원들의 집합을 동축원 다발이라고 한다. 동축원 다발 속 원의 중심들은 공선점을 이루며, 임의의 두 원의 교점은 같다. 즉, 동축원 다발 속에서 어떤 두 원이 두 점에서 만날 경우 모든 두 원은 같은 두 점에서 만나며, 어떤 두 원이 접할 경우 모든 두 원은 같은 점에서 접하며, 어떤 두 원이 만나지 않을 경우 모든 두 원은 만나지 않는다. 근축을 고차원으로 일반화하면 3차원 구의 근평면(根平面, 영어: radical plane)의 개념과 차원 초구의 근초평면(根超平面, 영어: radical hyperplane)의 개념을 얻는다. (ko)
- De machtlijn van twee cirkels is de meetkundige plaats van punten die ten opzichte van de twee cirkels gelijke machten hebben. De machtlijn staat loodrecht op de lijn die de middelpunten van de cirkels verbindt. Bij drie gegeven cirkels gaan de drie machtlijnen door een gemeenschappelijk (mogelijk oneindig) punt, het machtpunt van de drie cirkels. (nl)
- 初等幾何学における2つの円の根軸（こんじく）とは、2つの円に接線を引いたときその長さが等しくなる点の軌跡である。根軸は2つの円の中心を通る直線に垂直な直線である。2つの円が交わるときには根軸はその交点を通る直線となり、2つの円が接するときには根軸は接点を通る共通接線となる。 根軸上の任意の点 P に対して、P を中心として2円に直交する円が存在する。逆に言えば、2円に直交する円の中心は根軸上にある。他の言い方をすると、根軸上の点 P における2つの円の方べきは等しい、すなわち以下の式が成り立つ。 ここで r1 と r2 は2つの円の半径、d1 と d2 は P と2つの円の中心との距離であり、R は P を中心として2円に直交する円の半径である。 一般的に、2つの離れた円は双極座標系の基底となる。このとき根軸は y軸である。2つの焦点を通る円はy軸上に中心を持ち2つの円に直交するため、その半径は接線の長さに等しいことからy軸が根軸であることがわかる。根軸を共有する円群はアポロニウスの円束と呼ばれる。 (ja)
- Prosta potęgowa lub oś potęgowa – miejsce geometryczne punktów mających równe potęgi względem danych dwóch okręgów; inaczej: miejsce geometryczne punktów, w których styczne do dwóch danych okręgów mają tę samą długość. Środkiem potęgowym nazywa się punkt przecięcia co najmniej dwóch osi potęgowych (wyznaczonych przez co najmniej trzy okręgi). Osie potęgowe są użyteczne do dowodzenia współliniowości punktów: należy wtedy próbować dowieść, że każdy z punktów mających leżeć na jednej prostej ma wspólną potęgę względem dwóch okręgów, przez co muszą one leżeć na osi potęgowej tego okręgu. Podobnie można wykorzystać środek potęgowy do dowiedzenia współpękowości prostych – należy dowodzić, że każda z prostych jest prostą potęgową pary okręgów, dzięki czemu muszą one przeciąć się w środku potęgowym. (pl)
- Радика́льная ось двух окружностей — геометрическое место точек, степени которых относительно двух заданных окружностей равны. Иными словами, равны длины четырёх касательных, проведенных к двум данным окружностям из любой точки M данного геометрического места точек. Радикальная ось двух окружностей существует тогда и только тогда, когда окружности неконцентрические, и может быть определена как для окружностей, так и для точек (окружностей нулевого радиуса) и (мнимого радиуса). (ru)
- Радикальна вісь двох кіл — геометричне місце точок, ступені яких щодо двох заданих кіл рівні. Іншими словами, рівні довжини чотирьох дотичних, проведених до двох даних кіл з будь-якої точки M даного геометричного місця точок. Радикальна вісь двох кіл існує тоді і тільки тоді, коли кола неконцентричні, і може бути визначена як для кіл, так і для точок (кіл нульового радіуса) і уявних кіл (мнимого радіуса). (uk)
|
| rdfs:comment
|
- خط القوة أو المحور الأساسي (بالإنجليزية: Radical axis) لدائرتين ما، هو المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي تتساوى قُوَّتها بالنسبة لهما. وبشكل مكافئ، إذا كانت الدائرتان متباعدتان ولا تحتوي إحداهما الأخرى فبالإمكان تعريف خط القوة على أنه المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي يكون طول المماسين المارين بها والمماسين للدائرتين متساوٍ. المحور الأساسي دائماً يتَّخذ خطّاً مستقيماً؛ ولذلك فإنه يُسمَّى بخط القوة. عدا أنه في حالة اتحاد الدائرتين مركزياً يصبح خط القوة غير مُعرَّف. وفي حالة تقاطع الدائرتين، فإن خط القوة يمر بنقطتي تقاطعهما أو تماسهما. خط القوة عمودي دائماً على الخط الواصل بين مركزي الدائرتين وهو أقرب لمحيط الدائرة الأكبر. (ar)
- De machtlijn van twee cirkels is de meetkundige plaats van punten die ten opzichte van de twee cirkels gelijke machten hebben. De machtlijn staat loodrecht op de lijn die de middelpunten van de cirkels verbindt. Bij drie gegeven cirkels gaan de drie machtlijnen door een gemeenschappelijk (mogelijk oneindig) punt, het machtpunt van de drie cirkels. (nl)
- 初等幾何学における2つの円の根軸（こんじく）とは、2つの円に接線を引いたときその長さが等しくなる点の軌跡である。根軸は2つの円の中心を通る直線に垂直な直線である。2つの円が交わるときには根軸はその交点を通る直線となり、2つの円が接するときには根軸は接点を通る共通接線となる。 根軸上の任意の点 P に対して、P を中心として2円に直交する円が存在する。逆に言えば、2円に直交する円の中心は根軸上にある。他の言い方をすると、根軸上の点 P における2つの円の方べきは等しい、すなわち以下の式が成り立つ。 ここで r1 と r2 は2つの円の半径、d1 と d2 は P と2つの円の中心との距離であり、R は P を中心として2円に直交する円の半径である。 一般的に、2つの離れた円は双極座標系の基底となる。このとき根軸は y軸である。2つの焦点を通る円はy軸上に中心を持ち2つの円に直交するため、その半径は接線の長さに等しいことからy軸が根軸であることがわかる。根軸を共有する円群はアポロニウスの円束と呼ばれる。 (ja)
- Радика́льная ось двух окружностей — геометрическое место точек, степени которых относительно двух заданных окружностей равны. Иными словами, равны длины четырёх касательных, проведенных к двум данным окружностям из любой точки M данного геометрического места точек. Радикальная ось двух окружностей существует тогда и только тогда, когда окружности неконцентрические, и может быть определена как для окружностей, так и для точек (окружностей нулевого радиуса) и (мнимого радиуса). (ru)
- Радикальна вісь двох кіл — геометричне місце точок, ступені яких щодо двох заданих кіл рівні. Іншими словами, рівні довжини чотирьох дотичних, проведених до двох даних кіл з будь-якої точки M даного геометричного місця точок. Радикальна вісь двох кіл існує тоді і тільки тоді, коли кола неконцентричні, і може бути визначена як для кіл, так і для точок (кіл нульового радіуса) і уявних кіл (мнимого радіуса). (uk)
- L'eix radical de dues circumferències no concèntriques és el lloc geomètric dels punts amb la mateixa potència respecte d'aquestes. El lloc geomètric dels punts amb igual potència respecte de dues circumferències concèntriques és altra circumferència concèntrica (n'estàs segur, d'això??). L'eix radical és una recta perpendicular al segment lineal determinat pels dos centres de les circumferències, puix donat un punt de l'eix radical, el punt simètric respecte del segment que uneix els centres de les circumferències també tindrà la mateixa potència. (ca)
- Unter der Potenzgeraden (Potenzlinie, Chordale) zweier Kreise versteht man den geometrischen Ort (die Menge) aller Punkte, deren Potenz in Bezug auf die beiden Kreise übereinstimmt. Sind die Kreise durch ihre Mittelpunkte und sowie ihre Radien und gegeben, so sind die Potenzen eines Punktes bezgl. der beiden Kreise Ein Punkt gehört zur Potenzgerade , wenn gilt. Potenzgeraden spielen bei Kreisbüscheln eine wichtige Rolle: Ein Kreisbüschel ist eine Schar von Kreisen mit einer gemeinsamen Potenzgerade. (de)
- Geometrian, zentrokideak ez diren bi zirkunferentzien Potentzia-ardatza leku geometrikoa da non puntuak potentzia bera duten bi zirkunferentziekiko. Potentzia-ardatza bi zirkunferentzien zentroek mugatutako zuzenkiarekiko zuzenperpendikular bat da, potentzia-ardatzaren puntu bat hartuz gero, bi zirkunferentzien zentroak lotzen dituen zuzenkiarekiko simetrikoa den puntuak potentzia bera izango baitu. (eu)
- En geometría plana, el eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de las mismas. Por medio de la geometría analítica se puede demostrar que el eje radical es siempre una recta.Sean y los centros de los dos círculos, y los radios correspondientes.Según la definición algebraica de la potencia del punto se obtiene para cada uno de los círculos o .Al igualar las dos potencias se obtiene la ecuación del lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de los círculos: La multiplicación y agrupación resulta en (es)
- In geometry, the radical axis of two non-concentric circles is the set of points whose power with respect to the circles are equal. For this reason the radical axis is also called the power line or power bisector of the two circles. In detail: For two circles with centers and radii the powers of a point with respect to the circles are . Point belongs to the radical axis, if
* . On notations (en)
- 기하학에서 근축(根軸, 영어: radical axis)은 동심원이 아닌 두 원에 대한 방멱이 같은 점들의 자취이다. 근축은 두 원의 중심을 잇는 직선의 수선을 이룬다. 서로 다른 두 점에서 만나는 두 원의 근축은 두 교점을 지나는 공통 할선이고, 서로 접하는 두 원의 근축은 접점을 지나는 공통 접선이며, 서로 만나지 않는 두 원의 근축은 두 원의 외부에 있다. 근축의 두 원의 외부에 놓인 부분은 두 원에 대한 접선의 길이가 같은 점들의 자취이자,:32, §45 두 원 모두에 직교하는 원의 중심들의 자취이다.:34, §49 어떤 점이 근축의 두 원의 내부에 놓인 부분에 속하는 것은 이 점을 지나는 두 원의 현의 최소 길이가 같은 것과 동치이다.:32, §45 서로 다른 두 동심원의 근축을 두 원이 놓인 평면 위의 으로 정의하기도 하며, 서로 같은 두 원의 근축은 정의되지 않는다.:92, Remark 1.10.4 근축을 고차원으로 일반화하면 3차원 구의 근평면(根平面, 영어: radical plane)의 개념과 차원 초구의 근초평면(根超平面, 영어: radical hyperplane)의 개념을 얻는다. (ko)
- Prosta potęgowa lub oś potęgowa – miejsce geometryczne punktów mających równe potęgi względem danych dwóch okręgów; inaczej: miejsce geometryczne punktów, w których styczne do dwóch danych okręgów mają tę samą długość. Środkiem potęgowym nazywa się punkt przecięcia co najmniej dwóch osi potęgowych (wyznaczonych przez co najmniej trzy okręgi). (pl)
|
