Singulara homologeco

En algebra topologio, singulara homologeco estas la kutima homologeco funktoro de la kategorio de topologiaj spacoj kaj kontinuaj surĵetoj al la kategorio de graditaj komutaj grupoj kaj grupaj homomorfioj.

La homologeco de spaco X estas kutime komprenita signifi la singularan homologecon de tiu spaco.

Singulara homologeco estas konstruita per aplikanta la ĝenerala homologeca konstruado al la singulara ĉena komplekso, la ĉena komplekso de formalaj sumoj de singularaj simplaĵoj.

Singularaj simplaĵoj

Singulara n-simplaĵo estas kontinua surĵeto Σ de la norma n-simplaĵo al topologia spaco X. Ĉi tiu surĵeto ne bezonas esti disĵeta, kaj tie povas esti ne-ekvivalenta singularaj simplaĵoj kun la sama bildo en X.

La rando de Σ, dΣ, estas difinita al esti la formala sumo de la singulara (n−1)-simplaĵo prezentita per la limigo de Σ al la edroj de la norma n-simplaĵo, kun alterna signo por preni orientiĝon en kalkulon.

Tial, en aparta, la rando de 1-simplaĵo Σ estas la formala diferenco

Σ(1) − Σ(0)

Singulara ĉena komplekso

Se konsideri la liberajn komutajn grupojn generitajn per ĉiu singularaj n-simplaĵoj kaj etendi la randan operatoron d al formalaj sumoj de singularaj n-simplaĵoj, oni ricevas ĉenan komplekson de komutaj grupoj.

La n-ona homologeca grupo de X estas tiam difinita kiel la kvocienta grupo

H_n(X) = ker(d_n) / im(d_n+1)

Koeficientoj en R

Se R estas iu ringo (alprenita unuohava sur Vikipedio), oni povas anstataŭi liberajn komutajn grupojn per liberaj R-moduloj. La difino de d ne ŝanĝiĝas, sed H_n(X, R) nun estas R-modulo (ne bezone libera).

Homologeco de Betti kaj kunhomologeco de Betti

Ekde la nombro de homologecaj teorioj havas iĝi granda, la terminoj homologeco de Betti kaj cohomology de Betti estas iam aplikata (aparte far aŭtoroj skribantaj pri algebra geometrio), al la singulara teorio, kiel donanta pligrandiĝo al la Betti nombroj de la plej familiaraj spacoj kiel simplaĵaj kompleksoj kaj fermitaj duktoj.