Anexo:Grupos finitos de orden bajo

Este artículo muestra una lista matemática de los grupos finitos de orden bajo (una cardinalidad de hasta 16 elementos) clasificados por isomorfismo de grupos.

Con esta lista se puede determinar de qué grupo conocido es isomorfo un grupo finito G dado: Buscar primero el orden de G, seguidamente busque los candidatos para ese orden en la lista. Si sabe si G es o no es abeliano quizás puede descartar algunos candidatos. Para distinguir entre los candidatos restantes se puede mirar el orden de los elementos de G y compararlos con el orden de los elementos de los candidatos.

Terminología

El signo de igualdad "=" denota isomorfismo de grupos.

• Z_n: el grupo cíclico de orden n (a menudo se utiliza la notación C_n, es isomorfico de Z/nZ).
• Dih_n: el grupo diédrico de orden 2n (a menudo se utiliza la notación D_n or D_2n)
• S_n: el grupo simétrico de orden n, que contiene las n! permutaciones de un conjunto de n elementos.
• A_n: el grupo alternado de orden n, que contiene las n!/2 permutaciones pares de n elementos.
• Dic_n: the grupo diciclico de orden 4n.

La notación G × H indica el producto directo de dos grupos; Gⁿ indica el producto directo de un grupo consigo mismo n veces. $G\rtimes H$ significa el producto semidirecto donde H actúa sobre G, si la acción particular de H sobre G se omite es que todas las acciones no triviales posibles dan el mismo grupo producto salvo el isomorfismo.

Se indican los que son grupos abelianos y los que son grupos simples. (Para los grupos de orden n <60, los grupos simples son exactamente los grupos cíclicos C_n, siendo n primo).

El elemento neutro está representado por un círculo negro en el grafos de los ciclos. El orden más pequeño para el cual el grafo no representa unívocamente un grupo es el orden 16.

En las listas de subgrupos, el grupo trivial y el propio grupo no aparecen indicados. En los casos donde hay múltiples subgrupos isomorfos, el número de apariciones se indica entre paréntesis.

Lista de grupos abelianos pequeños

Los grupos abelianos finitos se clasifican fácilmente: son grupos cíclicos o sus productos directos. El teorema chino del resto nos puede ayudar a encontrar los isomorfismos con estos productos directos. Los grupos abelianos finitamente generados también se pueden clasificar. Ver más información en el artículo grupo abeliano.

Orden	Grupo	Subgrupos	Propiedades	Grafo de los ciclos
1	grupo trivial = Z1 = S1 = A2	-	Trivialmente tiene propiedades diversas
2	Z2 = S2 = Dih1	-	Simple, el grupo no trivial más pequeño
3	Z3 = A3	-	Simple
4	Z4	Z2
	Grupo de Klein = Z2 × Z2 = Dih2	Z2 (3)	El grupo acíclico más pequeño
5	Z5	-	Simple
6	Z6 = Z3 × Z2	Z3 , Z2
7	Z7	-	Simple
8	Z8	Z4 , Z2
	Z4 × Z2	Z22, Z4 (2), Z2 (3)
	Z23	Z22 (7) , Z2 (7)	Los elementos, excepto el neutro, se corresponden con los puntos en el plano de Fano, los subgrupos Z2 x Z2 a las líneas.
9	Z9	Z3
	Z32	Z3 (4)
10	Z10 = Z5 × Z2	Z5 , Z2
11	Z11	-	Simple
12	Z12 = Z4 × Z3	Z6 , Z4 , Z3 , Z2
	Z6 × Z2 = Z3 × Z22	Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z22
13	Z13	-	Simple
14	Z14 = Z7 × Z2	Z7 , Z2
15	Z15 = Z5 × Z3	Z5 , Z3
16	Z16	Z8 , Z4, Z2
	Z24	Z2 (15) , Z22 (35) , Z23 (15)
	Z4 × Z22	Z2 (7) , Z4 (4) , Z22 (7) , Z23, Z4 × Z2 (6)
	Z8 × Z2	Z2 (3) , Z4 (2) , Z22, Z8 (2) , Z4 × Z2
	Z42	Z2 (3), Z4 (6) , Z22, Z4 × Z2 (3)

Lista de grupos no abelianos pequeños

Orden	Grupo	Subgrupos	Propiedades	Grafo de los ciclos
6	S3 = Dih3	Z3 , Z2 (3)	El grupo no abeliano más pequeño
8	Dih4	Z4, Z22 (2) , Z2 (5)
	Grupo de los cuaterniones, Q8 = Dic2	Z4 (3), Z2	El más pequeño grupo Hamiltoniano; el grupo más pequeño que demuestra que todos los subgrupos pueden ser normales sin que el grupo sea abeliano;el grupo G más pequeño que demuestra que para un subgrupo normal H el grupo cociente G / H no tiene que ser isomorfo a un subgrupo de G
10	Dih5	Z5 , Z2 (5)
12	Dih6 = Dih3 × Z2	Z6 , Dih3 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7)
	A4	Z22 , Z3 (4) , Z2 (3)	Grupo más pequeño que demuestra que un grupo no necesita tener un subgrupo de cada orden que divida al orden del grupo, ya que no tiene ningún subgrupo de orden 6 (Ver el teorema de Lagrange y los teoremas de Sylow)
	Dic3 = Z3 $\rtimes$ Z4	Z2, Z3, Z4 (3), Z6
14	Dih7	Z7, Z2 (7)
16 ​	Dih8	Z8, Dih4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9)
	Dih4 × Z2	Dih4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (11), Z4 (2), Z2 (11)
	Grupo generalizado de los cuaterniones, Q16 = Dic4
	Q8 × Z2		Hamiltoniano
	El grupo cuasidiedrico de orden 16
	Grupo modular o grupo de Iwasawa de orden 16
	Z4 $\rtimes$ Z4
	El grupo generado por las matrices de Pauli
	G4,4 = Z22 $\rtimes$ Z4

Biblioteca de grupos pequeños

Los sistemas computacionales algebraicos de teoría de grupos GAP y Magma contienen la «Biblioteca de grupos pequeños" que proporciona acceso a descripciones de grupos de orden bajo. Se listan los grupos salvo isomorfismo. Actualmente esta librería contiene los siguientes grupos ​

• Todos los grupos de orden hasta 2000, excepto los de orden 1024. Son 423.164.062 grupos. Los de orden 1024 no aparecen, sólo contando los 2-grupos de orden 1024 no isomorfos hay 49.487.365.422.
• Los de un orden libre de cubos hasta el 50.000. Son 395.703 grupos.
• Los de un orden libre de cuadrados.
• Los de orden pⁿpara n hasta 6 y p un número primo.
• Los de orden p⁷ para p siendo 3, 5, 7 o 11. Son 907.489 grupos.
• Los de orden qⁿ×p donde qⁿ divide a 28, 36, 55 o 74 y el número p es un primo arbitrario diferente de q.
• Aquellos cuyo orden tiene como máximo tres factores primos.

Contiene descripciones explícitas de los grupos disponibles en formato legible por ordenador.

Véase también

• Grupo (matemáticas)
• Teoría de grupos
• Grupos finitos
• Grupo simple
• Anexo:Pequeños cuadrados latinos y cuasigrupos

Enlaces externos

«Particular groups». groupprops.subwiki.org (en inglés). Consultado el 30 de octubre de 2011. 

Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina y O'Brien, Eamonn. «The Small Groups library» (en inglés). Consultado el 30 de octubre de 2011. 

Hall, Jr, Marshall; Senior, James K. (1964). Macmillan, ed. The Groups of Order 2n (n ≤ 6) (en inglés). LCCN 64016861, MR 168631. «Un catálogo exhaustivo de los 340 grupos con orden divisor de 64 con tablas detalladas de la definición de relaciones, constantes, y presentaciones de retículo de cada grupo; en el prólogo se cita "De un valor duradero para los interesados en los grupos finitos".»