Nyquisti-Shannoni teoreem

Nyquisti-Shannoni teoreem on digitaalses signaalitöötluses kasutatav teoreem, mis seob ajaliselt pidevaid ja diskreetseid signaale. Teoreem sätestab, milline peab olema diskreetimissagedus, et digitaalses signaalis oleks olemaks kogu teave piiratud ribalaiusega pideva signaali kohta.

Teoreem on nimetatud Harry Nyquist ja Claude Shannoni järgi, ehkki Vladimir Kotelnikov oli selle juba 1933. aastal avastanud. Iseseisvalt on teoreemi avastanud ka E. T. Whittaker ja teised. Teoreemi võib kohata ka Nyquisti-Shannoni-Kotelnikovi, Whittakeri-Shannoni-Kotelnikovi ja Whittakeri-Nyquisti-Kotelnikovi-Shannoni' teoreemi nimega.

Sissejuhatus

Diskreetimiseks nimetatakse signaali (näiteks pideva aja või ruumi funktsioon) teisendamist väärtuste jadaks (diskreetse aja või ruumi funktsioon). Shannoni versioon teoreemist väidab:

Kui funktsioon $x(t)$ ei sisalda kõrgemaid sagedusi kui B hertsi, siis on see täielikult määratav punktidega, mille vahe on $1/(2B)$.

Seega piisavaks signaali rekonstrueerimiseks (pidevsignaaliks tagasi muundamiseks) peab olema diskreetimissagedus suurem kui $2B$ ehk $B<f_{s}/2$, kus $f_{s}$ on diskreetimissagedus ja $B$ on signaali kõrgeim sagedus.

Kui diskreetimissagedus oleks aga väiksem, siis signaali rekonstrueerimisel tekiksid Aliase efekti tõttu diskreetmoonutused. Teoreemi praegusaegne tõlgendus on ettevaatlikum, öeldes, et $x(t)$ ei tohi sisaldada sinusoidset komponenti, mis oleks täpselt sagedusega B, või et B peab olema oluliselt väiksem kui ½ diskreetimissagedust.

Kahe sinusoidi lugemivõtmispunktid kattuvad, kui ühe sagedus on alla poole diskreetimissagedust

X(f) (ülal sinine) ja X_A(f) (all sinine) on pidevate funktsioonide $x(t)$ ja $x_{A}(t)$ Fourier’ teisendused. Kui funktsioonidest võtta lugemeid diskreetimissagedusega $f_{s}$, siis lisatakse algsele teisendusele (sinine) juurde diskreetse aja Fourier’ teisendused (DTFT) (roheline). Kui need oleksid audiosignaalid $x(t)$ ja $x_{A}(t)$, siis nad ei pruugiks ühtemoodi kõlada, kuigi mõlema diskreetimissagedus f_s on sama.
x_A(t) on diskreetmoonutus signaalist x(t) sama diskreetimissageduse juures

Diskreetmoonutused

 Pikemalt artiklis diskreetmoonutus

Kui $x(t)$ on funktsioon Fourier' teisenduses $X(f)$ :

$X(f)\ \triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\ {\rm {d}}t,$

siis Poissoni liitmisvalemi kohaselt saame asendada $x(t)$ funktsiooniga $x(nT)$, mis on piisav, et luua $X(f)$ perioodiline summa. Seega saame:

$X_{s}(f)\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-kf_{s}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\ e^{-i2\pi nTf},$

mis on perioodiline funktsioon ja on võrdväärne Fourier' reaga, mille koefitsient on $T\cdot x(nT)$. Seda funktsiooni tuntakse ka kui diskreetse aja Fourier' teisendust (DTFT).

Kõrval oleval joonisel on näha, et funktsiooni $X(f)$ on nihutatud $f_{s}$ võrra ja liidetud. Algse funktsiooni koopiad eristuvad juhul, kui kehtib  $(X(f)=0,|f|\geq {B}$  ja $f_{s}$ on piisavalt suur. Kui aga Nyquisti kriteerium ei ole täidetud, siis külgnevad koopiad kattuvad ja sellisel juhul pole võimalik ühemõtteliselt eristada $X(f)$. Kõik sageduskomponendid, mis on kõrgemad kui $f_{s}/2$, on eristamatud madalamatest sageduskomponentidest, neid kutsutaksegi diskreetmoonutusteks. Kui diskreetimissagedus on eelnevalt määratletud, siis $x(t)$ on tavaliselt juba piiratud kõrgeid sagedusi madalpääsfiltri abil sobivale tasemele..

Sinusoidide süsteem kriitilise lugemivõtmissagedusega. Kõigil antud sinusoididel on ühtivad lugemivõtmispunktid, mis jäävad väärtustelt +1 ja –1 vahele. Nad kõik on üksteise diskreetmoonutused, isegi kui nende sagedused ei ületa poolt lugemivõtmisesagedust

Kriitiline sagedus

Näitamaks $f_{s}>2B$ vajalikkust, vaatleme sinusoidide süsteemi, mis on saadud järgneva valemi järgi, kasutades erinevaid $\theta$ väärtusi:

$x(t)={\frac {\cos(2\pi Bt+\theta )}{\cos(\theta )}}\ =\ \cos(2\pi Bt)-\sin(2\pi Bt)\tan(\theta ),\quad -\pi /2<\theta <\pi /2.$

Kasutades lugemivõtmissagedust $f_{s}=2B$ või lugemitevahelist aega $T=1/2B$, saame tulemuseks

$x(nT)=\cos(\pi n)-\underbrace {\sin(\pi n)} _{0}\tan(\theta )=(-1)^{n}$

On näha, et lõpptulemus ei sõltu enam $\theta$ väärtustest. Seepärast on vaja diskreetimisteoreemis ranget ebavõrdsustingimust.