Topoloxía alxébrica

Un toro, un dos obxectos máis frecuentemente estudados en topoloxía alxébrica

A topoloxía alxébrica é unha rama da topoloxía na que se usan as ferramentas da álxebra abstracta para estudar os espazos topolóxicos. O obxectivo básico é atopar invariantes alxébricas que clasifican os espazos topolóxicos até o homeomorfismo, aínda que normalmente moitos se clasifican até a equivalencia homotópica.

O método dos invariantes alxébricos

O obxectivo da topoloxía alxébrica é clasificar os espazos topolóxicos. Un nome antigo para esta materia era o de topoloxía combinatoria, que puña a énfase en como un espazo dado X podía construírse a partir de espazos máis pequenos. O método básico que se aplica agora en topoloxía alxébrica é o de investigar os espazos por medio dos invariantes alxébricos: por exemplo aplicándoos, relacionándoos cos grupos, que teñen bastante estrutura utilizable, e de maneira que se respecte a relación de homeomorfismo de espazos.

As dúas formas principais como se fai isto son a través dos grupos fundamentais, ou máis en xeral a teoría de homotopía, e por medio dos grupos de homoloxía e de cohomoloxía. Os grupos fundamentais fornecen información básica sobre a estrutura dun espazo topolóxico; pero son a miúdo non abelianos e poden ser difíciles de empregar. O grupo fundamental dun complexo simplicial (finito) ten unha presentación finita.

Os grupos de homoloxía e cohomoloxía, por outra banda, son abelianos, e en moitos casos importantes son finitamente xerados. Os grupos abelianos finitamente xerados poden clasificarse completamente e son particularmente fáciles de usar.

Resultados en homoloxía

Varios resultados útiles séguense inmediatamente de traballar con grupos abelianos finitamente xerados. O rango libre do grupo de n-homoloxía dun complexo simplicial é igual ao n-número de Betti, así que se poden empregar os grupos de homoloxía dun complexo simplicial para calcular a súa característica de Euler-Poincaré. Se un grupo de n-homoloxía dun complexo simplicial ten torsión, entón o complexo é non orientable. Así que a homoloxía "codifica" gran parte da información topolóxica dun espazo topolóxico dado.

Máis aló da homoloxía simplicial, podemos usar a estrutura diferencial das variedades por medio da cohomoloxía de De Rham, ou a de Cech ou coa cohomoloxía de feixes para investigar a resolubilidade das ecuacións diferenciais definidas na variedade en cuestión. De Rham demostrou que todos estes tipos de aproximación están interrelacionados e que os números de Betti que se derivan da homoloxía simplicial eran os mesmos números de Betti que aqueles que se derivan da cohomoloxía de De Rham.

Aplicacións

Entre as aplicacións clásicas da topoloxía alxébrica atópanse:

• O teorema do punto fixo de Brouwer: toda aplicación continua f dun disco pechado en si mesmo admite polo menos un punto fixo.
• A n-esfera admite un campo vectorial unitario continuo, que non se anula nunca, se e só se n é impar; para n = 2, este resultado tamén se coñece como teorema da bóla peluda.
• O teorema de Borsuk–Ulam.

Posicionamento na teoría das categorías

En xeral, todas as construcións da topoloxía alxébrica son funtoriais: as nocións de categoría, funtor e transformación natural orixináronse aquí. Os grupos fundamentais, de homoloxía e cohomoloxía non son só invariantes do espazo topolóxico subxacente, no sentido de que dous espazos topolóxicos son homeomorfos se teñen asociados os mesmos grupos; unha aplicación continua de espazos induce un homomorfismo entre os grupos asociados, e estes homomorfismos poden ser usados para probar a non-existencia (ou, máis profundamente, a existencia) de aplicacións.

Problemas da topoloxía alxébrica

O problema xeométrico, aberto por preto dun século, e máis famoso da topoloxía alxébrica é a conxectura de Poincaré, resolto polo ruso Grigori Perelman en 2002. O campo da teoría de homotopía contén moitos misterios, en particular a maneira correcta de describir os grupos de homotopía das esferas.

Ferramentas importantes

As ferramentas importantes (como teoremas fundamentais) para o cálculo de invariantes desta teoría son:

• Teorema de Seifert-van Kampen
• Sucesión de Mayer-Vietoris
• Fórmula de Künneth

Véxase tamén

Bibliografía

• Ivorra Castillo, Carlos. Topología algebraica con aplicaciones a la geometría diferencial (PDF) (en castelán). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 03 de agosto de 2016. Consultado o 22 de marzo de 2017. 

Outros artigos

• Homeomorfismo
• Topoloxía xeométrica
• Teoría xeométrica de grupos

Ligazóns externas

• Algebraic Topology, de Allen Hatcher (en inglés)