Topoloxía xeral

O seno do topólogo, un exemplo útil en topoloxía xeral. É conexo pero non conexo por camiños.

En matemáticas, a topoloxía xeral é a rama da topoloxía que trata as definicións e as construcións básicas de teoría de conxuntos usadas na topoloxía. Contén os fundamentos da maioría das outras ramas da topoloxía, incluíndo a topoloxía diferencial, a topoloxía xeométrica e a topoloxía alxébrica.

Os conceptos fundamentais en topoloxía xeral son continuidade, compacidade e conexión:

• As funcións continuas, intuitivamente, levan puntos próximos a puntos próximos.
• Os conxuntos compactos son os que poden ser cubertos por finitos conxuntos arbitrariamente pequenos.
• Os conxuntos conexos son os que non poden ser divididos en pezas separadas.

As ideas de «próximo», «arbitrariamente próximo» e «afastado» poden expresarse de forma precisa usando os conxuntos abertos. Se se cambia que conxuntos son abertos, cámbiase que funcións son continuas e que conxuntos son compactos e/ou conexos. Chámase topoloxía a cada elección de conxuntos abertos. Chámase espazo topolóxico a un conxunto dotado dunha topoloxía.

Os espazos métricos son unha clase importante de espazos topolóxicos nos que se pode asignar un número ás distancias, chamada unha métrica. A existencia dunha métrica simplifica a maioría das demostracións, e moitos dos espazos topolóxicos máis comúns son tamén espazos métricos.

Historia

A topoloxía xeral desenvolveuse grazas a varias áreas, sendo as máis importantes:

• o estudo detallado dos subconjuntos da liña real
• a introdución do concepto de variedade
• o estudo dos espazos métricos, especialmente dos espazos vectoriais normados, durante os inicios da análise funcional.

A topoloxía xeral alcanzou a forma que se coñece hoxe en día en arredor de 1940. Practicamente todo se constrúe nunha forma apropiada da noción de continuidade, que pode ser usada en calquera área da matemática.

Unha topoloxía nun conxunto

Sexa X un conxunto e sexa τ unha familia de subconxuntos de X. Dise que τ é unha topoloxía se:

1. O conxunto baleiro e X son elementos de τ
2. Calquera unión de elementos de τ é un elemento de τ
3. Calquera intersección dunha cantidade finita de elementos de τ é un elemento de τ

Se τ é unha topoloxía en X, entón o par (X, τ) chámase espazo topolóxico. Pode empregarse a notación X_τ para denotar un conxunto X dotado da topoloxía particular τ.

Chamamos aos elementos de τ conxuntos abertos en X. Un subconxunto de X chámase pechado se o seu complementario pertence a τ (é dicir, o seu complementario é aberto). O conxunto baleiro e X sempre son, á vez, abertos e pechados.

Base para unha topoloxía

Unha base B para un espazo topolóxico (X,τ) é unha colección de conxuntos abertos en τ tal que cada conxunto aberto en τ pode ser escrito como unión de elementos de B. Dise que a base xera a topoloxía τ. As bases son útiles porque moitas propiedades dunha topoloxía poden ser escritas só en termos dunha base que xera esa topoloxía, e porque en moitos casos é máis sinxelo definir unha topoloxía en termos dunha base que a xera.

Subespazo, produto e cociente

Un subconxunto dun espazo topolóxico pode ser visto como un espazo topolóxico ao dotalo da topoloxía traza, definida como a topoloxía cuxos abertos son as interseccións dos abertos do espazo orixinal co subespazo.

Dada calquera familia indexada de espazos topolóxicos, o produto pode ser dotado da topoloxía produto, a cal está xerada polas preimaxes dos abertos dos factores a través das proxeccións. Por exemplo, en produtos finitos unha base para a topoloxía produto consta de todos os produtos de conxuntos abertos. Para produtos infinitos, é necesario agregar o requisito adicional de que todos agás un número finito de abertos sexan a totalidade do espazo.

Un espazo cociente defínese como segue: se X é un espazo topolóxico, Y é un conxunto e f: X → Y é unha función sobrexectiva, entón a topoloxía cociente en Y é a colección de subconxuntos de Y que teñen preimaxes por f abertas. Noutras palabras, a topoloxía cociente é a topoloxía máis fina en Y para a cal f é continua. Un exemplo común de topoloxía cociente é a inducida por unha relación de equivalencia en X. A aplicación f é entón a proxección natural ao conxunto de clases de equivalencia.

Exemplos de espazos topolóxicos

Un conxunto dado pode ter moitas topoloxías diferentes. Se se dota a un conxunto dunha topoloxía diferente, o espazo topolóxico resultante é diferente. Calquera conxunto pode ser dotado da topoloxía discreta na que todo subconxunto é aberto. As únicas sucesións ou redes converxentes nesta topoloxía son as que son ultimamente constantes. Tamén, calquera conxunto pode ser dotado da topoloxía trivial, na que só o conxunto baleiro e o espazo na súa totalidade son abertos. Toda sucesión e toda rede nesta topoloxía converxen a todo punto do espazo. Este exemplo mostra que, nun espazo topolóxico xeral, os límites de sucesións non son necesariamente únicos. Con todo, é frecuente requirir que os espazos topolóxicos sexan espazos de Hausdorff, espazos nos que os límites das sucesións si son únicos.

Hai moitas maneiras de definir unha topoloxía en ℝ, o conxunto dos números reais. A topoloxía estándar en ℝ está xerada polos intervalos abertos, é dicir, o conxunto de todos os intervalos abertos forma unha base para a topoloxía. En particular, isto implica que un conxunto é aberto se existe un intervalo aberto de raio non nulo centrado en cada punto do conxunto e completamente contido en tal conxunto.