התכנסות נקודתית

התכנסות נקודתית היא תכונה באנליזה מתמטית של סדרות פונקציות וטורי פונקציות, בה יש התכנסות בכל נקודה של הסדרה או הטור. תכונה זו חלשה יותר מתכונת ההתכנסות במידה שווה של סדרות וטורי פונקציות, ואינה מבטיחה שתכונות כגון רציפות ואינטגרביליות עוברות מפונקציות הסדרה אל פונקציית הגבול.

הגדרה

תהי $\ \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרת פונקציות המוגדרת בקטע $\ I$. אנו אומרים שהסדרה מתכנסת נקודתית ב־$\ x_{0}\in I$ אם הסדרה $\ \{f_{n}(x_{0})\}_{n=1}^{\infty }$ (זוהי סדרת מספרים ממשיים) מתכנסת. אנו אומרים שסדרת פונקציות מתכנסת נקודתית בקטע $\ I$ אם היא מתכנסת נקודתית בכל נקודה $\ x\in I$.

ניתן גם להגדיר את ההתכנסות באמצעות קריטריון קושי להתכנסות הסדרה $\ \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }$ לכל $\ x$: $$\ \forall \varepsilon >0\ :\ \forall x\in I\ :\ \exists N_{x}>0\ :\ {\mbox{such that}}\ \forall n,m>N_{x}:|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\varepsilon$$ את פונקציית הגבול נסמן ב־$\ f$ והיא מוגדרת על ידי $\ f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$.

אם הטווח של כל הפונקציות $\ \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ הוא לא הישר הממשי, אלא מרחב נורמי כללי, התכנסות נקודתית שלה ב־$\ x_{0}\in I$ מוגדרת באותו אופן: אם הסדרה $\ \{f_{n}(x_{0})\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת, בתור סדרה של איברים במרחב נורמי. אולם, בניגוד למקרה הממשי, קריטריון קושי להתכנסות לא תמיד תקף. מרחב נורמי שבו כל סדרת קושי מתכנסת נקרא מרחב בנך.

דוגמה

נעיין בסדרת הפונקציות $\ f_{n}(x)=x^{n}$ המוגדרת בקטע $\ [0,1]$. הסדרה מתכנסת נקודתית לפונקציה:

$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{if }}0\leq x<1\\1&{\mbox{if }}x=1\end{matrix}}\right.$

פונקציית הגבול אינה רציפה, אף על פי שכל הפונקציות בסדרה הן רציפות. מכאן שההתכנסות אינה במידה שווה, משום שאם סדרת פונקציות רציפות מתכנסת במידה שווה, הרי גם פונקציית הגבול רציפה.

קישורים חיצוניים

• התכנסות נקודתית, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.