התכנסות במידה שווה

התכנסות במידה שווה (בקיצור: התכנסות במ"ש) היא תכונה באנליזה מתמטית של סדרות פונקציות וטורי פונקציות, שהיא חזקה יותר מתכונת התכנסות נקודתית, ומבטיחה שתכונות כגון רציפות ואינטגרביליות עוברות מפונקציות הסדרה אל פונקציית הגבול.

הגדרה

• הגדרה בלשון $\varepsilon$: תהא $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרת פונקציות ממשיות. נאמר כי הסדרה מתכנסת במידה שווה (במ"ש) לפונקציית הגבול $f(x)$ בקבוצה $S$ אם לכל $\varepsilon >0$ קיים $N$ טבעי כך שלכל $x\in S$ ולכל $n>N$ מתקיים $|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$.
• הגדרה שקולה: $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת במידה שווה לפונקציית הגבול $f(x)$ אם ורק אם מתקיים כי:

$\lim _{n\to \infty }\sup _{x\in I}|f_{n}(x)-f(x)|=0$

כאשר $I$ תחום ההגדרה של הפונקציות ו-$\sup$ מסמן סופרמום (הכוונה כאן היא לקחת גבול לסופרמום. הדמיון לסימון $\limsup$ המייצג גבול עליון הוא מקרי).

באותה הצורה, נאמר שטור פונקציות מתכנס במידה שווה אם ורק אם סדרת הסכומים החלקיים שלו (שהיא סדרת פונקציות בעצמה) מתכנסת במידה שווה.

ההבדל העקרוני שבין הגדרה זו ובין הגדרת התכנסות נקודתית של סדרת פונקציות היא שכאן (במונחי ההגדרה הראשונה) $N$ יחיד מתאים לכל הנקודות שבהן מוגדרת פונקציית הגבול. בהתכנסות נקודתית, לנקודות שונות בתחום ההתכנסות יכולים להתאים ערכים שונים של $N$. על כן, התכנסות במידה שווה גוררת בפרט התכנסות נקודתית בכל נקודה, אך ההפך אינו נכון, ולכן התכנסות במידה שווה היא תכונה חזקה יותר מהתכנסות רגילה. עם זאת, בקטע סופי, סדרת פונקציות שמתכנסת נקודתית תתכנס במידה שווה "כמעט" בכל הקטע, במובן שלכל $\delta >0$ ניתן להסיר מהקטע קבוצה שמידתה $\delta$ כך שבקבוצה הנותרת הסדרה תתכנס במידה שווה. כמו כן, משפט דיני מבטיח כי בתנאים מסוימים התכנסות נקודתית תגרור התכנסות במידה שווה.

במרחב המטרי של פונקציות ממשיות רציפות עם המטריקה המוגדרת על ידי סופרמום ההפרש של הפונקציות, התכנסות סדרת פונקציות לפונקציה על פי המטריקה היא בדיוק התכנסות במידה שווה.

דוגמה

כדוגמה למצב שבו ההתכנסות היא נקודתית אך לא במידה שווה, נסתכל בסדרת הפונקציות $f_{n}(x)=x^{n}$ המוגדרת בקטע $I=(0,1)$. הסדרה מתכנסת נקודתית לפונקציית האפס $f(x)=0$ בקטע, אך ההתכנסות אינה במידה שווה. נוכיח זאת:

• לפי ההגדרה הראשונה – נבחר $\varepsilon _{0}=0.25$. יש להראות כי לכל $N$ טבעי קיים $n>N$ טבעי ו-$x_{n}\in (0,1)$ עבורם $|f_{n}(x_{n})-f(x_{n})|\geq \varepsilon _{0}$. נבחר $x_{n}={\frac {1}{2^{1/n}}}$ ונקבל כי לכל $n$ טבעי, ובפרט עבור כל $n>N$ מתקיים $|f_{n}(x_{n})-f(x_{n})|=0.5>\varepsilon _{0}$.
• לפי ההגדרה השנייה – $\sup _{x\in I}|f_{n}(x)-f(x)|=\sup _{x\in I}|x^{n}-0|=\sup _{x\in I}|x^{n}|=1$, ובפרט הסופרמום אינו שואף לאפס.

כלים לחקירת התכנסות במידה שווה

• קריטריון קושי: תהיינה $f_{n}$ סדרת פונקציות, הן מתכנסות במ"ש בקבוצה $S$ אם ורק אם לכל $\varepsilon >0$ קיים $N$ טבעי כך שלכל $x\in S$ ולכל $m,n>N$ מתקיים $|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\varepsilon$.
• משפט דיני: תהיינה $f_{n}$ סדרת פונקציות רציפות, המוגדרות בקטע סגור $S$, כך שלכל $x\in S$, הסדרה $f_{n}(x)$ מונוטונית. אם הגבול של סדרת הפונקציות הוא פונקציה רציפה, אז ההתכנסות היא במידה שווה.
• מבחן M של ויירשטראס: (משפט זה אינו משפט שייחודי לטורים וניתן לנסח אותו לסדרות אך הדבר אינו טבעי שכן הוא עוסק בסדרת ההפרשים, שבטורים זה פשוט אברי הטור) תהיינה $f_{n}$ סדרת פונקציות, ונניח שקיימת סדרת מספרים $M_{n}$ המקיימת שהטור: $\sum _{n\,=\,1}^{\infty }M_{n}$ מתכנס וכמו כן שלכל $x\in S$ ולכל $n$ מתקיים $|f_{n}(x)|\leq M_{n}$. אזי $\sum _{n\,=\,1}^{\infty }f_{n}$ מתכנס במ"ש ובהחלט בקבוצה $S$.
• קריטריון דריכלה להתכנסות במ"ש: עבור סדרות פונקציות $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty },\{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ בתחום $S$, הטור $\sum _{n\,=\,1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ מתכנס במ"ש ב-$S$ אם נניח כי: הסדרה $\left\{\sum _{n\,=\,1}^{N}b_{n}\right\}_{N=1}^{\infty }$ חסומה במידה אחידה ב-$S$ וגם לכל $x\in S$ הסדרה $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ מונוטונית ובנוסף $a_{n}$ מתכנסת במ"ש לפונקציה $f(x)=0$.
• קריטריון אבל להתכנסות במ"ש: עבור סדרות פונקציות $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty },\{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ בתחום $S$, הטור $\sum _{n\,=\,1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ מתכנס במ"ש ב-$S$ אם נניח כי: הטור $\sum _{n\,=\,1}^{\infty }b_{n}$ מתכנס במ"ש ב-$S$ וגם לכל $x$ הסדרה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ מונוטונית וחסומה במידה אחידה ב-$S$.
• טור חזקות מתכנס במ"ש עבור כל קטע סגור וחסום בתוך רדיוס ההתכנסות שלו.

תכונות

• אם סדרת פונקציות רציפות מתכנסת במידה שווה, אזי גם הפונקציה הגבולית רציפה.
• אם סדרת פונקציות אינטגרביליות רימן מתכנסת במידה שווה, אזי הפונקציה הגבולית גם היא אינטגרבילית רימן.
• אם סדרת פונקציות גזירות מתכנסת במידה שווה, הפונקציה הגבולית לא בהכרח גזירה. עם זאת, אם סדרת הפונקציות מתכנסת נקודתית, ובנוסף סדרת הנגזרות של הפונקציות מתכנסת במידה שווה, אזי הפונקציה הגבולית גזירה (ונגזרתה היא גבול סדרת הנגזרות).

קישורים חיצוניים

• התכנסות במידה שווה, באתר MathWorld (באנגלית)
• התכנסות במידה שווה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)