การไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้

บทความนี้ต้องการการอ้างอิงเพิ่มเติมเพื่อการตรวจสอบโปรดช่วยปรับปรุงบทความนี้โดยเพิ่มการอ้างอิงจากแหล่งที่มาที่เชื่อถือได้เนื้อหาที่ไม่มีแหล่งที่มาอาจถูกโต้แย้งและลบออก ค้นหาแหล่งที่มา:  "กระแสที่ไม่บีบอัดได้" – ข่าว  ·หนังสือพิมพ์  ·หนังสือ  ·นักวิชาการ  · JSTOR ( ธันวาคม 2019 ) ( เรียนรู้วิธีและเวลาในการลบข้อความนี้ )

ในกลศาสตร์ของไหลหรือกลศาสตร์ต่อเนื่องโดย ทั่วไป การไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้ ( การไหลแบบไอโซคอริก ) หมายถึงการไหลที่ความหนาแน่น ของวัสดุ ในแต่ละส่วนของของไหล ( ปริมาตร อนันต์ที่เคลื่อนที่ไปตามความเร็วของการไหล ) ไม่แปรผันตามเวลา คำกล่าวที่เทียบเท่าซึ่งสื่อถึงการไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้คือการแยกตัวของความเร็วของการไหลเป็นศูนย์ (ดูที่มาด้านล่าง ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเหตุใดเงื่อนไขเหล่านี้จึงเทียบเท่ากัน)

การไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้ไม่ได้หมายความว่าของไหลนั้นไม่สามารถบีบอัดได้ โดยจะแสดงให้เห็นในอนุมานด้านล่างว่าภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม การไหลของของไหลที่สามารถบีบอัดได้นั้นสามารถจำลองเป็นการไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้โดยประมาณ

ข้อกำหนดพื้นฐานสำหรับการไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้คือความหนาแน่น , , จะต้องคงที่ภายในปริมาตรองค์ประกอบขนาดเล็กdVซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วการไหลuในทางคณิตศาสตร์ ข้อจำกัดนี้หมายความว่าอนุพันธ์ของวัสดุ (ที่กล่าวถึงด้านล่าง) ของความหนาแน่นจะต้องหายไปเพื่อให้แน่ใจว่าการไหลจะไม่สามารถบีบอัดได้ ก่อนที่จะนำข้อจำกัดนี้มาใช้ เราต้องใช้การอนุรักษ์มวลเพื่อสร้างความสัมพันธ์ที่จำเป็น มวลจะคำนวณได้จากปริพันธ์ปริมาตรของความหนาแน่น:${\displaystyle \โร}$${\displaystyle \โร}$

${\displaystyle {m}={\iiint \limits _{V}\!\rho \,\mathrm {d} V}.}$

การอนุรักษ์มวลต้องใช้อนุพันธ์ตามเวลาของมวลภายในปริมาตรควบคุมเท่ากับฟลักซ์มวลJข้ามขอบเขตของปริมาตรควบคุมนั้น ในทางคณิตศาสตร์ เราสามารถแสดงข้อจำกัดนี้ในรูปของอินทิกรัลพื้นผิวได้ ดังนี้ :

${\displaystyle {\partial m \over \partial t}=-}$ ${\displaystyle เอส}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

เครื่องหมายลบในนิพจน์ข้างต้นทำให้มั่นใจได้ว่าการไหลออกส่งผลให้มวลลดลงเมื่อเทียบกับเวลา โดยใช้หลักการที่ว่าเวกเตอร์พื้นที่ผิวชี้ออกด้านนอก ตอนนี้ โดยใช้ทฤษฎีบทการแยกตัวเราสามารถหาความสัมพันธ์ระหว่างฟลักซ์และอนุพันธ์เวลาบางส่วนของความหนาแน่นได้:

${\displaystyle {\iiint \limits _{V}{\partial \rho \over \partial t}\,\mathrm {d} V}={-\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} V},}$

ดังนั้น:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}=-\nabla \cdot \mathbf {J} .}$

อนุพันธ์ย่อยของความหนาแน่นเทียบกับเวลาไม่จำเป็นต้องหายไปเพื่อให้แน่ใจว่าการไหล ไม่สามารถบีบอัดได้ เมื่อเราพูดถึงอนุพันธ์ย่อยของความหนาแน่นเทียบกับเวลา เราหมายถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงนี้ภายในปริมาตรควบคุมที่มีตำแหน่งคงที่ โดยการปล่อยให้อนุพันธ์ย่อยของความหนาแน่นมีค่าไม่เท่ากับศูนย์ เราไม่ได้จำกัดตัวเองอยู่แค่ของไหล ที่ไม่สามารถบีบอัดได้ เนื่องจากความหนาแน่นสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามที่สังเกตจากตำแหน่งคงที่เมื่อของไหลไหลผ่านปริมาตรควบคุม แนวทางนี้รักษาความเป็นทั่วไปไว้ และไม่จำเป็นต้องให้อนุพันธ์ย่อยของความหนาแน่นหายไปเพื่อแสดงให้เห็นว่าของไหลที่สามารถบีบอัดได้ยังคงไหลไม่สามารถบีบอัดได้ สิ่งที่เราสนใจคือการเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นของปริมาตรควบคุมที่เคลื่อนที่ไปตามความเร็วของการไหลuฟลักซ์มีความสัมพันธ์กับความเร็วของการไหลผ่านฟังก์ชันต่อไปนี้:

${\displaystyle {\mathbf {J} }={\rho \mathbf {u} }.}$

ดังนั้นการอนุรักษ์มวลจึงหมายความว่า:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)}={\บางส่วน \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }+{\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}=0.}$

ความสัมพันธ์ก่อนหน้านี้ (ซึ่งเราใช้กฎผลคูณ ที่เหมาะสม ) เรียกว่าสมการความต่อเนื่องตอนนี้ เราต้องการความสัมพันธ์ต่อไปนี้เกี่ยวกับอนุพันธ์รวมของความหนาแน่น (ซึ่งเราใช้กฎลูกโซ่ ):

${\displaystyle {\mathrm {d} \rho \over \mathrm {d} t}={\partial \rho \over \partial t}+{\partial \rho \over \partial x}{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial y}{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial z}{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} t}.}$

ดังนั้นหากเราเลือกปริมาตรควบคุมที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเดียวกับของไหล (เช่น ( dx / dt ,  dy / dt ,  dz / dt ) =  u ) สมการนี้จะถูกลดรูปเป็นอนุพันธ์ของวัสดุ ดังนี้ :

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }.}$

และเมื่อใช้สมการความต่อเนื่องที่ได้ข้างต้น เราจะเห็นว่า:

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={-\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}.}$

การเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นเมื่อเวลาผ่านไปจะบ่งบอกว่าของเหลวถูกบีบอัดหรือขยายตัว (หรือมวลที่มีอยู่ในปริมาตรคงที่dV ของเรา เปลี่ยนแปลงไป) ซึ่งเราได้ห้ามไว้ จากนั้นเราต้องกำหนดให้อนุพันธ์ของวัสดุของความหนาแน่นหายไป และในทางกลับกัน (สำหรับความหนาแน่นที่ไม่เป็นศูนย์) การแยกตัวของความเร็วการไหลก็ต้องหายไปด้วย:

${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} }=0.}$

ดังนั้นโดยเริ่มต้นด้วยการอนุรักษ์มวลและข้อจำกัดที่ว่าความหนาแน่นภายในปริมาตรของของไหลที่เคลื่อนที่จะต้องคงที่ แสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขเทียบเท่าที่จำเป็นสำหรับการไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้ก็คือ การแยกตัวของความเร็วของการไหลจะต้องหายไป

ในบางสาขา การวัดความไม่บีบอัดของการไหลคือการเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นอันเป็นผลจากการเปลี่ยนแปลงความดัน ซึ่งจะแสดงออกได้ดีที่สุดในรูปของความสามารถในการบีบอัด

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} p}}.}$

หากความสามารถในการบีบอัดมีขนาดเล็กที่ยอมรับได้ การไหลนั้นจะถือว่าไม่สามารถบีบอัดได้

การไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้นั้นอธิบายได้ด้วย สนามความเร็วของการไหล แบบโซลินอยด์แต่สนามโซลินอยด์นอกจากจะมีการแยกตัว เป็นศูนย์แล้ว ยังมีความหมายเพิ่มเติมด้วยว่ามีค่าการม้วนง อไม่เท่ากับศูนย์(กล่าวคือ องค์ประกอบการหมุน)

มิฉะนั้น หากการไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้มีค่าการม้วนงอเป็นศูนย์ แสดงว่าการไหลนั้นไม่มีการหมุน ด้วย ดังนั้น สนามความเร็วของการไหลนั้นจึงเป็นแบบลาปลาเซียน

ตามที่ได้ให้คำจำกัดความไว้ก่อนหน้านี้ การไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้ (ไอโซโคริก) คือการไหลที่

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.\,}$

นี่เทียบเท่ากับการพูดว่า

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0}$

กล่าวคืออนุพันธ์ของวัสดุจากความหนาแน่นมีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้น หากเราปฏิบัติตามองค์ประกอบของวัสดุ ความหนาแน่นมวลขององค์ประกอบนั้นจะยังคงเท่าเดิม โปรดทราบว่าอนุพันธ์ของวัสดุประกอบด้วยสองเทอม เทอมแรกอธิบายถึงการเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นขององค์ประกอบของวัสดุตามเวลา เทอมนี้เรียกอีกอย่างว่าเทอมไม่คงที่ เทอมที่สองอธิบายถึงการเปลี่ยนแปลงของความหนาแน่นเมื่อองค์ประกอบของวัสดุเคลื่อนที่จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง นี่คือเทอมการพาความร้อน (เทอมการพาความร้อนสำหรับสนามสเกลาร์) หากต้องการให้การไหลนั้นถือเป็นการไม่บีบอัด ผลรวมการเพิ่มมวลของเทอมเหล่านี้จะต้องหายไป${\displaystyle {\tfrac {\partial \rho }{\partial t}}}$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho }$

ในทางกลับกันวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่สามารถบีบอัดได้คือวัสดุที่มีความหนาแน่นคงที่ตลอดวัสดุ สำหรับวัสดุดังกล่าวนั่นหมายความว่า ${\displaystyle \rho ={\text{constant}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$และ

${\displaystyle \nabla \rho =0}$ อย่างอิสระ

จากสมการความต่อเนื่องจะได้ว่า

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\ \Rightarrow \ \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

ดังนั้นวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันจะไหลไปตามกระแสที่ไม่สามารถบีบอัดได้เสมอ แต่ในทางกลับกันก็ไม่เป็นเช่นนั้น นั่นคือ วัสดุที่บีบอัดได้อาจไม่เกิดการบีบอัดในกระแส

ในพลศาสตร์ของไหล การไหลจะถือว่าไม่สามารถบีบอัดได้หากความแตกต่างของความเร็วการไหลเป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม บางครั้งอาจใช้สูตรที่เกี่ยวข้องได้ ขึ้นอยู่กับระบบการไหลที่กำลังสร้างแบบจำลอง ด้านล่างนี้เป็นคำอธิบายบางเวอร์ชัน:

1. การไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้ : ซึ่งอาจถือเอาความหนาแน่นคงที่ (ไม่สามารถบีบอัดได้อย่างเคร่งครัด) หรือการไหลที่มีความหนาแน่นเปลี่ยนแปลง ชุดความหนาแน่นเปลี่ยนแปลงนี้ยอมรับวิธีแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการรบกวนเล็กน้อยใน สนาม ความหนาแน่นความดัน และ/หรืออุณหภูมิ และสามารถอนุญาตให้มีการแบ่งชั้น ความดัน ในโดเมนได้${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} =0}}$
2. การไหลแบบไม่ยืดหยุ่น : การไหลแบบไม่ยืดหยุ่น มักใช้ในสาขาวิชาบรรยากาศข้อจำกัดแบบไม่ยืดหยุ่นขยายความถูกต้องของการไหลแบบไม่บีบอัดให้ครอบคลุมถึงความหนาแน่นแบบแบ่งชั้นและ/หรืออุณหภูมิ รวมถึงความดันด้วย ซึ่งช่วยให้ตัวแปรทางอุตุนิยมวิทยาผ่อนคลายลงสู่สถานะฐาน "บรรยากาศ" ที่เห็นได้ในชั้นบรรยากาศที่ต่ำกว่าเมื่อใช้ในสาขาวิชาอุตุนิยมวิทยา เป็นต้น เงื่อนไขนี้ยังสามารถใช้ได้กับระบบดาราศาสตร์ฟิสิกส์ต่างๆ อีกด้วย^[1]${\displaystyle {\nabla \cdot \left(\rho _{o}\mathbf {u} \right)=0}}$
3. การไหลที่มีเลขมัคต่ำหรือความไม่บีบอัดเทียม : ข้อจำกัด ของเลขมัคต่ำสามารถหาได้จากสมการออยเลอร์ที่บีบอัดได้โดยใช้การวิเคราะห์ขนาดของปริมาณที่ไม่มีมิติ ข้อจำกัดเช่นเดียวกับส่วนก่อนหน้าในส่วนนี้ ช่วยให้สามารถลบคลื่นเสียงได้ แต่ยังช่วยให้เกิด การรบกวนในความหนาแน่นและ/หรืออุณหภูมิ ได้มากอีกด้วย สมมติฐานคือการไหลยังคงอยู่ในขีดจำกัดของเลขมัค (โดยปกติจะน้อยกว่า 0.3) สำหรับการแก้ปัญหาใดๆ ที่ใช้ข้อจำกัดดังกล่าวจึงจะถูกต้อง อีกครั้ง ตามการไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้ทั้งหมด ความเบี่ยงเบนของความดันจะต้องเล็กน้อยเมื่อเทียบกับสถานะฐานความดัน^[2]${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$

วิธีการเหล่านี้มีสมมติฐานที่แตกต่างกันเกี่ยวกับการไหล แต่ทั้งหมดจะคำนึงถึงรูปแบบทั่วไปของข้อจำกัดสำหรับฟังก์ชั่นที่ขึ้นอยู่กับการไหลทั่วไป และ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

ลักษณะที่เข้มงวดของสมการการไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้ทำให้ต้องมีการคิดค้นเทคนิคทางคณิตศาสตร์เฉพาะเพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว วิธีการบางส่วน ได้แก่:

1. วิธีการฉายภาพ (ทั้งแบบประมาณค่าและแบบแน่นอน)
2. เทคนิคการบีบอัดเทียม (โดยประมาณ)
3. การปรับสภาพเบื้องต้นของการบีบอัด

• หลักการของเบอร์นูลลี
• สมการออยเลอร์ (พลศาสตร์ของไหล)
• สมการของ Navier–Stokes