สมการออยเลอร์ (พลศาสตร์ของไหล)

ในพลศาสตร์ของไหล สมการออยเลอร์เป็นชุดสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ควบคุม การไหล แบบอะเดียแบติกและ การไหล แบบไม่มีความหนืด สมการนี้ ได้รับการตั้งชื่อตามเลออนฮาร์ด ออยเลอร์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการนี้สอดคล้องกับสมการนาเวียร์–สโตกส์ที่มีความหนืด เป็นศูนย์และ มีค่าการนำความร้อนเป็นศูนย์^[1]

สมการออยเลอร์สามารถนำไปใช้กับการไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้และ แบบบีบอัด ได้ สมการออยเลอร์ที่ไม่สามารถบีบอัดได้ประกอบด้วยสมการโคชีสำหรับการอนุรักษ์มวลและสมดุลของโมเมนตัม ร่วมกับเงื่อนไขการไม่บีบอัดที่ความเร็วของการไหลเป็นสนามโซลินอยด์ สมการออยเลอร์แบบบีบอัดได้ประกอบด้วยสมการสำหรับการอนุรักษ์มวล สมดุลของโมเมนตัม และสมดุลของพลังงาน ร่วมกับสมการประกอบ ที่เหมาะสม สำหรับความหนาแน่นของพลังงานเฉพาะของของไหล ในอดีต มีเพียงสมการการอนุรักษ์มวลและสมดุลของโมเมนตัมเท่านั้นที่ออยเลอร์ได้คิดค้น อย่างไรก็ตาม วรรณกรรมเกี่ยวกับพลศาสตร์ของไหลมักอ้างถึงชุดสมการออยเลอร์แบบบีบอัดทั้งหมด ซึ่งรวมถึงสมการพลังงานด้วย ว่าเป็น "สมการออยเลอร์แบบบีบอัดได้" ^[2]

ลักษณะทางคณิตศาสตร์ของสมการออยเลอร์แบบอัดไม่ได้และแบบอัดได้นั้นแตกต่างกันค่อนข้างมาก สำหรับความหนาแน่นของของไหลคงที่ สมการออยเลอร์แบบอัดไม่ได้สามารถเขียนเป็น สมการ การพา ความร้อนแบบกึ่งเชิงเส้น สำหรับความเร็วของของไหลร่วมกับสมการปัวซอง แบบวงรี สำหรับความดัน ในทางกลับกัน สมการออยเลอร์แบบอัดได้จะสร้างระบบสมการการอนุรักษ์ แบบ ไฮเปอร์โบลิกแบบ กึ่งเชิงเส้น

สมการออยเลอร์สามารถกำหนดเป็น "รูปแบบการพาความร้อน" (เรียกอีกอย่างว่า " รูปแบบลากรองจ์ ") หรือ "รูปแบบอนุรักษ์" (เรียกอีกอย่างว่า " รูปแบบออยเลอร์ ") รูปแบบการพาความร้อนเน้นการเปลี่ยนแปลงสถานะในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกับของไหล รูปแบบอนุรักษ์เน้นการตีความทางคณิตศาสตร์ของสมการเป็นสมการอนุรักษ์สำหรับปริมาตรควบคุมที่คงที่ในอวกาศ (ซึ่งมีประโยชน์จากมุมมองเชิงตัวเลข)

สมการของออยเลอร์ปรากฏครั้งแรกในรูปแบบที่ตีพิมพ์ในบทความของออยเลอร์เรื่อง "Principes généraux du mouvement des fluides" ซึ่งตีพิมพ์ในMémoires de l'Académie des Sciences de Berlinในปี ค.ศ. 1757 ^[3] (แม้ว่าออยเลอร์เคยนำเสนอผลงานของเขาต่อสถาบันเบอร์ลินในปี ค.ศ. 1752 มาก่อนแล้วก็ตาม) ^[4]ผลงานก่อนหน้านี้รวมถึงผลงานจากตระกูล Bernoulliเช่นเดียวกับจากJean le Rond d'Alembert [ ^5]

สมการออยเลอร์เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยชุด แรกๆ ที่เขียนขึ้นหลังจากสมการคลื่นในงานดั้งเดิมของออยเลอร์ ระบบสมการประกอบด้วยสมการโมเมนตัมและความต่อเนื่อง ดังนั้นจึงถูกกำหนดไว้ต่ำกว่าความเป็นจริง ยกเว้นในกรณีของการไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้ สมการเพิ่มเติมซึ่งเรียกว่าสภาวะอะเดียแบติกได้รับการจัดทำโดยปิแอร์-ซิมง ลาปลาซในปี พ.ศ. 2359

ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 พบว่าสมการที่เกี่ยวข้องกับสมดุลของพลังงานจะต้องคงไว้ตลอดเวลาสำหรับการไหลแบบบีบอัด และสภาวะอะเดียแบติกเป็นผลมาจากกฎพื้นฐานในกรณีของโซลูชันที่ราบรื่น ด้วยการค้นพบทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษแนวคิดของความหนาแน่นของพลังงาน ความหนาแน่นของโมเมนตัม และความเครียดถูกรวมเข้าเป็นแนวคิดของเทนเซอร์ความเครียด-พลังงานและพลังงานและโมเมนตัมก็ถูกรวมเข้าเป็นแนวคิดเดียวเช่นกัน นั่นคือเวกเตอร์พลังงาน-โมเมนตัม [ ^4]

ในรูปแบบการพาความร้อน (กล่าวคือ รูปแบบที่มีตัวดำเนินการการพาความร้อนที่ชัดเจนในสมการโมเมนตัม ) สมการออยเลอร์ที่ไม่สามารถบีบอัดได้ในกรณีที่ความหนาแน่นคงที่ในเวลาและสม่ำเสมอในอวกาศคือ: ^[6]

ที่ไหน:

• ${\displaystyle \mathbf {u} }$คือเวกเตอร์ความเร็วการไหล ที่มีองค์ประกอบในปริภูมิมิติN${\displaystyle u_{1},u_{2},\จุด ,u_{N}}$
• ${\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {\Phi }}}{Dt}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\Phi }}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla {\boldsymbol {\Phi }}}$สำหรับฟังก์ชันทั่วไป (หรือฟิลด์) หมายถึง อนุพันธ์ของ สสาร ในเวลาเทียบกับฟิลด์การพาความร้อนและ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\พี }}}$${\displaystyle \mathbf {วี} }$
• ${\displaystyle \ปิด}$คือความชัน ของ งานเทอร์โมไดนามิกที่เฉพาะเจาะจง (โดยมีความหมายต่อมวลต่อหน่วย ) เทอมแหล่งกำเนิดภายในและ
• ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} }$คือความแตกต่างของความเร็วของการไหล
• ${\displaystyle \mathbf {ก} }$แสดงถึงความเร่งของวัตถุ (ต่อหน่วยมวล) ที่กระทำต่อคอนตินิวอัม เช่นแรงโน้มถ่วง ความเร่งเฉื่อย ความเร่ง ของสนามไฟฟ้าเป็นต้น

สมการแรกคือสมการโมเมนตัมออยเลอร์ที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ (สำหรับสมการนี้ สมการนี้อาจไม่คงที่ตามเวลาก็ได้) เมื่อขยายอนุพันธ์ของวัสดุสมการจะกลายเป็น:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \mathbf {u} \over \partial t}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} &=-\nabla w+\mathbf {g } ,\\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0.\end{aligned}}}$$

ในความเป็นจริง สำหรับการไหลที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอเอกลักษณ์ต่อไปนี้เป็นจริง: โดยที่คือความดัน ทางกล สมการที่สองคือข้อจำกัดที่ไม่สามารถบีบอัดได้โดยระบุว่าความเร็วของการไหลเป็นสนามโซลินอยด์ (ลำดับของสมการไม่ใช่สาเหตุ แต่เน้นย้ำข้อเท็จจริงที่ว่าข้อจำกัดที่ไม่สามารถบีบอัดได้ไม่ใช่รูปแบบที่เสื่อมลงของสมการความต่อเนื่องแต่เป็นสมการพลังงาน ดังที่จะชัดเจนในบทต่อไป) โดยเฉพาะอย่างยิ่งสมการความต่อเนื่องยังจำเป็นสำหรับกรณีที่ไม่สามารถบีบอัดได้นี้ โดยเป็นสมการที่สามเพิ่มเติมในกรณีที่ความหนาแน่นเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาหรือเปลี่ยนแปลงไปในอวกาศ ตัวอย่างเช่น หากความหนาแน่นไม่สม่ำเสมอในอวกาศแต่คงที่ในเวลา สมการความต่อเนื่องที่ต้องเพิ่มเข้าไปในชุดข้างต้นจะสอดคล้องกับ:${\displaystyle \โร _{0}}$$${\displaystyle \nabla w\equiv \nabla \left({\frac {p}{\rho _{0}}}\right)={\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p,}$$${\displaystyle พี}$$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.}$$

ดังนั้นกรณีของความหนาแน่นคงที่และสม่ำเสมอจึงเป็นกรณีเดียวที่ไม่จำเป็นต้องใช้สมการความต่อเนื่องเป็นสมการเพิ่มเติมโดยไม่คำนึงถึงการมีอยู่หรือไม่มีอยู่ของข้อจำกัดที่ไม่สามารถบีบอัดได้ ในความเป็นจริง กรณีของสมการออยเลอร์ที่ไม่สามารถบีบอัดได้พร้อมความหนาแน่นคงที่และสม่ำเสมอที่กล่าวถึงในที่นี้เป็นแบบจำลองของเล่นที่มีสมการที่เรียบง่ายเพียงสองสมการ ดังนั้นจึงเหมาะอย่างยิ่งสำหรับวัตถุประสงค์ในการสอนแม้ว่าจะมีความเกี่ยวข้องทางกายภาพจำกัดก็ตาม

สมการข้างต้นจึงแสดงถึงการอนุรักษ์มวล (สมการสเกลาร์ 1 สมการ) และโมเมนตัม (สมการเวกเตอร์ 1 สมการที่มีองค์ประกอบสเกลาร์ โดยที่ คือมิติทางกายภาพของพื้นที่ที่สนใจ) ความเร็วการไหลและความดันเป็น ตัวแปรทางกายภาพที่เรียกว่า^[1]${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

ในระบบพิกัดที่กำหนดโดยเวกเตอร์ความเร็วและแรงภายนอกและมีองค์ประกอบและตามลำดับ จากนั้นสมการอาจแสดงเป็นสัญกรณ์ตัวห้อยดังนี้:${\displaystyle \left(x_{1},\dots ,x_{N}\right)}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {ก} }$${\displaystyle (u_{1},\จุด ,u_{N})}$${\displaystyle \left(g_{1},\dots ,g_{N}\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial u_{i} \over \partial t}+\sum _{j=1}^{N}{\partial \left(u_{i}u_{j}+w\delta _{ij}\right) \over \partial x_{j}}&=g_{i},\\\sum _{i=1}^{N}{\partial u_{i} \over \partial x_{i}}&=0.\end{aligned}}}$$

โดยที่ ตัวห้อย และเป็นตัวระบุ องค์ประกอบของพื้นที่ Nมิติ และคือเดลต้าของโครเอเน็ก เกอร์ การใช้สัญกรณ์ของไอน์สไตน์ (โดยที่ผลรวมนั้นบ่งบอกโดยดัชนีที่ซ้ำกันแทนสัญกรณ์ซิกม่า ) ก็เกิดขึ้นบ่อยครั้งเช่นกัน${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

แม้ว่าออยเลอร์จะนำเสนอสมการเหล่านี้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2298 แต่ยังมีคำถามพื้นฐานหรือแนวคิดเกี่ยวกับสมการเหล่านี้อีกหลายประการที่ยังไม่ได้รับคำตอบ

ในมิติเชิงพื้นที่สามมิติ ในสถานการณ์ที่เรียบง่ายบางสถานการณ์ สมการออยเลอร์จะสร้างภาวะเอกฐาน^[7]

วิธีแก้ปัญหาที่ราบรื่นของสมการอิสระ (ในความหมายของเงื่อนไขที่ไม่มีแหล่งที่มา: g=0) เป็นไปตามการอนุรักษ์พลังงานจลน์จำเพาะ:$${\displaystyle {\partial \over \partial t}\left({\frac {1}{2}}u^{2}\right)+\nabla \cdot \left(u^{2}\mathbf {u} +w\mathbf {u} \right)=0.}$$

ในกรณีที่มีมิติเดียวโดยไม่มีเงื่อนไขแหล่งที่มา (ทั้งการไล่ระดับความดันและแรงภายนอก) สมการโมเมนตัมจะกลายเป็นสมการเบอร์เกอร์ ไร้ความหนืด :$${\displaystyle {\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}=0.}$$

สมการแบบจำลองนี้ให้ข้อมูลเชิงลึกมากมายเกี่ยวกับสมการของออยเลอร์

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (April 2021) (Learn how and when to remove this message)

เพื่อให้สมการไม่มีมิติจำเป็นต้องกำหนด ความยาวลักษณะเฉพาะ และความเร็วลักษณะเฉพาะ โดยควรเลือกตัวแปรที่ไม่มีมิติทั้งหมดตามลำดับที่หนึ่ง ตัวแปรที่ไม่มีมิติต่อไปนี้จึงจะได้: และของ เวกเตอร์หน่วย ของสนาม:${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle u_{0}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{*}&\equiv {\frac {u}{u_{0}}},&r^{*}&\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\\[5pt]t^{*}&\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,&p^{*}&\equiv {\frac {w}{u_{0}^{2}}},\\[5pt]\nabla ^{*}&\equiv r_{0}\nabla .\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {g} }}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g}}.}$$

การแทนที่ความสัมพันธ์ผกผันเหล่านี้ในสมการออยเลอร์ โดยกำหนดหมายเลข Froudeจะได้ (โดยละเว้น * ที่จุดยอด):

สมการออยเลอร์ในลิมิตของฟรูด (ไม่มีฟิลด์ภายนอก) เรียกว่าสมการอิสระและเป็นสมการอนุรักษ์นิยม ลิมิตของจำนวนฟรูดที่มีค่าสูง (ฟิลด์ภายนอกมีค่าต่ำ) จึงมีความโดดเด่นและสามารถศึกษาได้ด้วยทฤษฎีการรบกวน

รูปแบบการอนุรักษ์เน้นย้ำถึงคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของสมการออยเลอร์ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งรูปแบบที่ย่อลงมักจะเป็นวิธีที่สะดวกที่สุดสำหรับ การจำลอง พลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณในการคำนวณ การใช้ตัวแปรที่อนุรักษ์ไว้มีข้อดีบางประการ ซึ่งทำให้เกิดวิธีการเชิงตัวเลขจำนวนมากที่เรียกว่าวิธีการอนุรักษ์^[1]

สมการออยเลอร์แบบอิสระเป็นสมการอนุรักษ์ในแง่ที่ว่าสมการนี้เทียบเท่ากับสมการอนุรักษ์ หรือในสัญกรณ์ของไอน์สไตน์ ก็คือ โดยที่ปริมาณอนุรักษ์ในกรณีนี้คือเวกเตอร์ และเป็น เมทริก ซ์ฟลักซ์ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆ$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} ={\mathbf {0} },}$$$${\displaystyle {\frac {\partial y_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial f_{ij}}{\partial r_{i}}}=0_{i},}$$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$

ในที่สุดสมการออยเลอร์สามารถเปลี่ยนเป็นสมการเฉพาะได้:

สำหรับปัญหาบางอย่าง โดยเฉพาะเมื่อใช้ในการวิเคราะห์การไหลแบบอัดได้ในท่อ หรือในกรณีที่การไหลมีความสมมาตรทรงกระบอกหรือทรงกลม สมการออยเลอร์มิติเดียวถือเป็นการประมาณค่าแรกที่มีประโยชน์ โดยทั่วไป สมการออยเลอร์จะแก้ได้โดยใช้วิธีการกำหนดลักษณะของรีมันน์ซึ่งเกี่ยวข้องกับการหาเส้นโค้งในระนาบของตัวแปรอิสระ (เช่นและ) ซึ่งสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) จะเสื่อมลงเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) คำตอบเชิงตัวเลขของสมการออยเลอร์นั้นอาศัยวิธีการกำหนดลักษณะเป็นอย่างมาก${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

ในรูปแบบการพาความร้อน สมการออยเลอร์ที่ไม่สามารถบีบอัดได้ในกรณีที่ความหนาแน่นแปรผันในอวกาศมีดังนี้: ^[6]

โดยที่ตัวแปรเพิ่มเติมคือ:

• ${\displaystyle \rho }$คือความหนาแน่นมวลของของไหล
• ${\displaystyle p}$คือความกดดัน , .${\displaystyle p=\rho w}$

สมการแรกซึ่งเป็นสมการใหม่คือสมการความต่อเนื่อง ที่ไม่บีบอัดได้ สมการความต่อเนื่องทั่วไปจะเป็นดังนี้:$${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}$$

แต่ที่นี่เทอมสุดท้ายจะเป็นศูนย์เหมือนกันสำหรับข้อจำกัดความไม่บีบอัด

สมการออยเลอร์ที่ไม่สามารถบีบอัดได้ในขีดจำกัดของ Froude จะเทียบเท่ากับสมการการอนุรักษ์เดี่ยวที่มีปริมาณอนุรักษ์และฟลักซ์ที่เกี่ยวข้องตามลำดับ:$${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}\rho \\\rho \mathbf {u} \\0\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\rho \mathbf {u} \\\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}.}$$

ที่นี่มีความยาวและมีขนาด[ ^ก] โดยทั่วไป (ไม่เพียงแต่ในขีดจำกัดของ Froude) สมการออยเลอร์สามารถแสดงได้ดังนี้:${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle N+2}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle (N+2)N}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\rho \\\rho \mathbf {u} \\0\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\rho \mathbf {u} \\\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\rho \mathbf {g} \\0\end{pmatrix}}.}$$

ตัวแปรสำหรับสมการในรูปแบบการอนุรักษ์ยังไม่ได้รับการปรับให้เหมาะสม ในความเป็นจริง เราสามารถกำหนดได้ว่า: โดยที่ ความหนาแน่น ของโมเมนตัมเป็นตัวแปรการอนุรักษ์$${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\0\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\,\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\{\frac {\mathbf {j} }{\rho }}\end{pmatrix}},}$$${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u} }$

โดยที่เป็นความหนาแน่นของแรงซึ่งเป็นตัวแปรการอนุรักษ์${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {g} }$

ในรูปแบบการพาความร้อนเชิงอนุพันธ์ สมการออยเลอร์แบบบีบอัดได้ (และทั่วไปที่สุด) สามารถเขียนได้สั้นๆ โดยใช้ สัญกรณ์ อนุพันธ์ของวัสดุ :

ซึ่งตัวแปรเพิ่มเติมที่นี่คือ:

• ${\displaystyle e}$คือ พลังงานภายในจำเพาะ(พลังงานภายในต่อหน่วยมวล)

สมการข้างต้นจึงแสดงถึงการอนุรักษ์มวลโมเมนตัมและพลังงานสมการพลังงานที่แสดงในพลังงานภายในที่แปรผันทำให้เข้าใจถึงความเชื่อมโยงกับกรณีที่ไม่สามารถบีบอัดได้ แต่ไม่ใช่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด ความหนาแน่นของมวล ความเร็วการไหล และความดันเป็นสิ่งที่เรียกว่าตัวแปรการพาความร้อน (หรือตัวแปรทางกายภาพ หรือตัวแปรลากรองจ์) ในขณะที่ความหนาแน่นของมวล ความหนาแน่นของโมเมนตัม และความหนาแน่นของพลังงานทั้งหมดเป็นสิ่งที่เรียกว่าตัวแปรอนุรักษ์ (เรียกอีกอย่างว่าตัวแปรออยเลอร์ หรือตัวแปรทางคณิตศาสตร์) ^[1]

หากเราขยายสมการอนุพันธ์ของวัสดุข้างต้นจะเป็นดังนี้:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \rho \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \mathbf {u} &=0,\\[1.2ex]{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}&=\mathbf {g} ,\\[1.2ex]{\partial e \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla e+{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} &=0.\end{aligned}}}$$

เมื่อกลับมาที่กรณีที่ไม่สามารถบีบอัดได้ ตอนนี้จะเห็นชัดว่าข้อจำกัดที่ไม่สามารถบีบอัดได้ซึ่งมีลักษณะเฉพาะของกรณีก่อนหน้านี้เป็นรูปแบบเฉพาะที่ใช้ได้กับการไหลของพลังงาน ที่ไม่สามารถบีบอัดได้ และไม่ใช่ของสมการมวล โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้อจำกัดที่ไม่สามารถบีบอัดได้นั้นสอดคล้องกับสมการพลังงานที่เรียบง่ายมากดังต่อไปนี้:$${\displaystyle {\frac {De}{Dt}}=0.}$$

ดังนั้นสำหรับของไหลที่ไม่มีความหนืดและไม่สามารถบีบอัดได้ พลังงานภายในเฉพาะจะคงที่ตลอดแนวการไหล แม้กระทั่งในของไหลที่ขึ้นกับเวลา ความดันในของไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้จะทำหน้าที่เหมือนตัวคูณลากรานจ์โดยเป็นตัวคูณของข้อจำกัดที่ไม่สามารถบีบอัดได้ในสมการพลังงาน ดังนั้น ตัวคูณลากรานจ์จึงไม่มีความหมายทางอุณหพลศาสตร์ในของไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้ ในความเป็นจริง อุณหพลศาสตร์เป็นลักษณะเฉพาะของของไหลที่สามารถบีบอัดได้ และจะเสื่อมลงในของไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้^[8]

โดยอาศัยสมการการอนุรักษ์มวล เราสามารถใส่สมการนี้ในรูปแบบการอนุรักษ์ได้ กล่าวคือ สำหรับการไหลที่ไม่มีความหนืดและไม่นำไฟฟ้า ที่ไม่สามารถบีบอัดได้ สมการความต่อเนื่องจะใช้ได้กับพลังงานภายใน$${\displaystyle {\partial \rho e \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho e\mathbf {u} )=0,}$$

เนื่องจากตามนิยาม เอนทัลปีจำเพาะคือ:$${\displaystyle h=e+{\frac {p}{\rho }}.}$$

อนุพันธ์ของพลังงานภายในจำเพาะสามารถแสดงเป็นดังนี้:$${\displaystyle {De \over Dt}={Dh \over Dt}-{\frac {1}{\rho }}\left({Dp \over Dt}-{\frac {p}{\rho }}{D\rho \over Dt}\right).}$$

จากนั้นแทนสมการโมเมนตัมในนิพจน์นี้ จะได้:$${\displaystyle {De \over Dt}={Dh \over Dt}-{\frac {1}{\rho }}\left(p\nabla \cdot \mathbf {u} +{Dp \over Dt}\right).}$$

และโดยการแทนที่ค่าหลังในสมการพลังงาน จะได้นิพจน์เอนทัลปีสำหรับสมการพลังงานออยเลอร์ดังนี้: ในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ไปตามการไหลที่ไม่มีความหนืดและไม่นำไฟฟ้า การเปลี่ยนแปลงของเอนทัลปีจะสอดคล้องโดยตรงกับการเปลี่ยนแปลงของความดัน$${\displaystyle {Dh \over Dt}={\frac {1}{\rho }}{Dp \over Dt}.}$$

ในเทอร์โมไดนามิกส์ตัวแปรอิสระได้แก่ปริมาตรจำเพาะและเอนโทรปีจำเพาะในขณะที่พลังงานจำเพาะนั้นเป็นฟังก์ชันของสถานะของตัวแปรทั้งสองนี้

สำหรับของไหลเทอร์โมไดนามิก สมการออยเลอร์แบบอัดได้จึงเขียนได้ดีที่สุดดังนี้:

ที่ไหน:

• ${\displaystyle v}$คือปริมาตรจำเพาะ
• ${\displaystyle \mathbf {u} }$คือเวกเตอร์ความเร็วของการไหล
• ${\displaystyle s}$เป็นเอนโทรปีที่เฉพาะเจาะจง

ในกรณีทั่วไปและไม่ใช่เฉพาะในกรณีที่ไม่สามารถบีบอัดได้ สมการพลังงานหมายความว่าสำหรับของไหลเทอร์โมไดนามิกที่ไม่มีความหนืด เอนโทรปีเฉพาะจะคงที่ตลอดแนวการไหล แม้กระทั่งในการไหลที่ขึ้นกับเวลา โดยอิงตามสมการการอนุรักษ์มวล เราสามารถใส่สมการนี้ในรูปแบบการอนุรักษ์ได้ดังนี้: ^[9] หมายความว่าสำหรับการไหลที่ไม่มีความหนืดและไม่นำไฟฟ้า สมการความต่อเนื่องจะใช้ได้กับเอนโทรปี$${\displaystyle {\partial \rho s \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho s\mathbf {u} )=0,}$$

ในทางกลับกัน อนุพันธ์ย่อยลำดับที่สองทั้งสองของพลังงานภายในจำเพาะในสมการโมเมนตัมจำเป็นต้องมีการระบุสมการพื้นฐานของสถานะของวัสดุที่พิจารณา กล่าวคือ พลังงานภายในจำเพาะเป็นฟังก์ชันของปริมาตรจำเพาะและเอนโทรปีจำเพาะของตัวแปรสองตัว:$${\displaystyle e=e(v,s).}$$

สม การสถานะ พื้นฐานประกอบด้วยข้อมูลทางเทอร์โมไดนามิกทั้งหมดเกี่ยวกับระบบ (Callen, 1985) ^[10]เช่นเดียวกับ สมการสถานะ ทางความร้อนคู่กับสมการสถานะ แคลอรี

สมการออยเลอร์ในขีดจำกัดของ Froude เทียบเท่ากับสมการการอนุรักษ์เดี่ยวที่มีปริมาณอนุรักษ์และฟลักซ์ที่เกี่ยวข้องตามลำดับ:$${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\E^{t}\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\\left(E^{t}+p\right){\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \end{pmatrix}},}$$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u} }$คือ ความหนาแน่น ของโมเมนตัมซึ่งเป็นตัวแปรอนุรักษ์
• ${\textstyle E^{t}=\rho e+{\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$คือ ความหนาแน่นของ พลังงานทั้งหมด (พลังงานทั้งหมดต่อหน่วยปริมาตร)

ที่นี่มีความยาว N + 2 และมีขนาด N(N + 2) ^[b]โดยทั่วไป (ไม่เพียงแต่ในขีดจำกัดของ Froude) สมการออยเลอร์สามารถแสดงได้ดังนี้:${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$

โดยที่เป็นความหนาแน่นของแรงซึ่งเป็นตัวแปรการอนุรักษ์${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {g} }$

เราสังเกตว่าสมการออยเลอร์แม้ในขณะที่อนุรักษ์นิยม (ไม่มีฟิลด์ภายนอก ขีดจำกัดของฟรูเดอ) ไม่มีค่าคงที่ของรีมันน์โดยทั่วไป^[11]จำเป็นต้องมีสมมติฐานเพิ่มเติมบางอย่าง

อย่างไรก็ตาม เราได้กล่าวไปแล้วว่าสำหรับของไหลเทอร์โมไดนามิก สมการสำหรับความหนาแน่นพลังงานทั้งหมดจะเทียบเท่ากับสมการการอนุรักษ์:$${\displaystyle {\partial \over \partial t}(\rho s)+\nabla \cdot (\rho s\mathbf {u} )=0.}$$

จากนั้นสมการการอนุรักษ์ในกรณีของของไหลเทอร์โมไดนามิกจะแสดงได้ง่ายยิ่งขึ้นดังนี้:

โดยที่เป็นความหนาแน่นของเอนโทรปี ซึ่งเป็นตัวแปรอนุรักษ์ทางเทอร์โมไดนามิก${\displaystyle S=\rho s}$

รูปแบบอื่นที่เป็นไปได้สำหรับสมการพลังงาน ซึ่งมีประโยชน์โดยเฉพาะสำหรับค่าไอโซบาริกคือ: โดยที่คือความหนาแน่น เอนทัล ปีรวม$${\displaystyle {\frac {\partial H^{t}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(H^{t}\mathbf {u} \right)=\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} -{\frac {\partial p}{\partial t}},}$$${\textstyle H^{t}=E^{t}+p=\rho e+p+{\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$

การขยายฟลักซ์อาจเป็นส่วนสำคัญของการสร้างตัวแก้ปัญหาเชิงตัวเลขเช่น การใช้ประโยชน์จากโซลูชัน ( โดยประมาณ ) ของปัญหา Riemannในพื้นที่ที่เวกเตอร์สถานะyแปรผันอย่างราบรื่น สมการในรูปแบบอนุรักษ์นิยมสามารถเขียนเป็นรูปแบบกึ่งเชิงเส้นได้ โดยเรียกว่าฟลักซ์จาโคเบียนที่กำหนดเป็นเมทริกซ์ :$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{i}{\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial r_{i}}}={\mathbf {0} }.}$$${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$$${\displaystyle \mathbf {A} _{i}(\mathbf {y} )={\frac {\partial \mathbf {f} _{i}(\mathbf {y} )}{\partial \mathbf {y} }}.}$$

เห็นได้ชัดว่าจาโคเบียนนี้ไม่มีอยู่ในบริเวณที่ไม่ต่อเนื่อง (เช่น ความไม่ต่อเนื่องของการสัมผัส คลื่นกระแทกในกระแสที่ไม่มีความหนืดและไม่นำไฟฟ้า) หากจาโคเบียนของฟลักซ์ไม่ใช่ฟังก์ชันของเวกเตอร์สถานะสมการจะเผยให้เห็นเชิงเส้น${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {y} }$

สมการออยเลอร์ที่บีบอัดได้สามารถแยกออกเป็นสม การ คลื่น N+2 ที่อธิบายเสียงในคอนตินิวอัมออยเลอร์ได้ หากสมการดังกล่าวแสดงในตัวแปรลักษณะเฉพาะแทนที่จะเป็นตัวแปรอนุรักษ์ไว้

อันที่จริงแล้วเทนเซอร์A สามารถ ทำการแปลงเป็นเส้นทแยงมุมได้เสมอหากค่าลักษณะเฉพาะ (กรณีของสมการออยเลอร์) เป็นจริงทั้งหมด ระบบจะถูกกำหนดให้เป็นไฮเปอร์โบลิกและค่าลักษณะเฉพาะทางกายภาพจะแสดงถึงความเร็วในการแพร่กระจายข้อมูล^[12]หากสามารถแยกแยะได้ทั้งหมด ระบบจะถูกกำหนดให้เป็นไฮเปอร์โบลิกอย่างเคร่งครัด (จะพิสูจน์ได้ว่าเป็นกรณีของสมการออยเลอร์มิติเดียว) นอกจากนี้ การแปลงเป็นเส้นทแยงมุมของสมการออยเลอร์ที่บีบอัดได้จะง่ายกว่าเมื่อสมการพลังงานแสดงเป็นเอนโทรปีแปรผัน (เช่น ด้วยสมการของของไหลทางอุณหพลศาสตร์) มากกว่าตัวแปรพลังงานอื่นๆ ซึ่งจะชัดเจนขึ้นเมื่อพิจารณากรณี 1 มิติ

หากเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทางขวาของเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะโดยการสร้างเมทริกซ์การฉายภาพ :${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$$${\displaystyle \mathbf {P} =\left[\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},...,\mathbf {p} _{n}\right].}$$

ในที่สุดเราสามารถค้นหาตัวแปรลักษณะเฉพาะได้ดังนี้:$${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} .}$$

เนื่องจากAเป็นค่าคงที่ การคูณสมการ 1-D ดั้งเดิมในรูปแบบฟลักซ์-จาโคเบียนด้วยP ⁻¹จะให้สมการลักษณะเฉพาะดังนี้: ^[13]$${\displaystyle {\frac {\partial w_{i}}{\partial t}}+\lambda _{j}{\frac {\partial w_{i}}{\partial r_{j}}}=0_{i}.}$$

สมการเดิมถูกแยกออกเป็นสมการลักษณะเฉพาะ N+2 ซึ่งแต่ละสมการอธิบายคลื่นแบบง่าย โดยค่าลักษณะเฉพาะคือความเร็วคลื่น ตัวแปรw _​​iเรียกว่าตัวแปรลักษณะเฉพาะและเป็นส่วนย่อยของตัวแปรอนุรักษ์ วิธีแก้ปัญหาค่าเริ่มต้นในรูปของตัวแปรลักษณะเฉพาะนั้นง่ายมาก ในมิติเชิงพื้นที่หนึ่ง คำตอบคือ:$${\displaystyle w_{i}(x,t)=w_{i}\left(x-\lambda _{i}t,0\right).}$$

จากนั้นจะได้คำตอบในรูปของตัวแปรอนุรักษ์ดั้งเดิมโดยการแปลงกลับ การคำนวณนี้สามารถระบุได้อย่างชัดเจนเป็นการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ:$${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {P} \mathbf {w} ,}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (x,t)=\sum _{i=1}^{m}w_{i}\left(x-\lambda _{i}t,0\right)\mathbf {p} _{i}.}$$

ตอนนี้จะเห็นได้ชัดเจนว่าตัวแปรลักษณะเฉพาะทำหน้าที่เป็นน้ำหนักในการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของจาโคเบียน คำตอบสามารถมองได้ว่าเป็นซูเปอร์โพซิชันของคลื่น ซึ่งแต่ละคลื่นจะถูกพาไปอย่างอิสระโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงรูปร่าง คลื่นลูกที่ i แต่ละลูก มีรูปร่างw _i p _iและความเร็วการแพร่กระจายλ _iต่อไปนี้ เราจะแสดงตัวอย่างง่ายๆ ของขั้นตอนการแก้ปัญหานี้

ถ้าเราพิจารณาสมการออยเลอร์สำหรับของไหลทางเทอร์โมไดนามิกส์โดยมีข้อสันนิษฐานเพิ่มเติมอีกสองข้อคือมิติเชิงพื้นที่หนึ่งและอิสระ (ไม่มีสนามภายนอก: g  = 0)$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial v \over \partial t}+u{\partial v \over \partial x}-v{\partial u \over \partial x}&=0,\\[1.2ex]{\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}-e_{vv}v{\partial v \over \partial x}-e_{vs}v{\partial s \over \partial x}&=0,\\[1.2ex]{\partial s \over \partial t}+u{\partial s \over \partial x}&=0.\end{aligned}}}$$

หากมีการกำหนดเวกเตอร์ของตัวแปร: จำไว้ว่าปริมาตรจำเพาะความเร็วการไหล เอนโทรปีจำเพาะ เมทริกซ์จาโคเบียนที่สอดคล้องกันคือ:$${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}v\\u\\s\end{pmatrix}},}$$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{pmatrix}u&-v&0\\-e_{vv}v&u&-e_{vs}v\\0&0&u\end{pmatrix}}.}$$

ขั้นแรกเราต้องหาค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นี้โดยการแก้สมการลักษณะเฉพาะ :$${\displaystyle \det(\mathbf {A} (\mathbf {y} )-\lambda (\mathbf {y} )\mathbf {I} )=0,}$$

นั่นก็คือ:$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}u-\lambda &-v&0\\-e_{vv}v&u-\lambda &-e_{vs}v\\0&0&u-\lambda \end{bmatrix}}=0.}$$

ตัวกำหนดนี้ง่ายมาก: การคำนวณที่เร็วที่สุดเริ่มต้นที่แถวสุดท้าย เนื่องจากมีองค์ประกอบเป็นศูนย์จำนวนมากที่สุด$${\displaystyle (u-\lambda )\det {\begin{bmatrix}u-\lambda &-v\\-e_{vv}v&u-\lambda \end{bmatrix}}=0.}$$

ตอนนี้โดยการคำนวณค่าดีเทอร์มิแนนต์ 2×2: โดยกำหนดพารามิเตอร์: หรือเทียบเท่าในตัวแปรเชิงกล ดังนี้:$${\displaystyle (u-\lambda )\left((u-\lambda )^{2}-e_{vv}v^{2}\right)=0,}$$$${\displaystyle a(v,s)\equiv v{\sqrt {e_{vv}}},}$$$${\displaystyle a(\rho ,p)\equiv {\sqrt {\partial p \over \partial \rho }}.}$$

พารามิเตอร์นี้เป็นจริงเสมอตามกฎข้อที่สองของเทอร์โมไดนามิกส์ในความเป็นจริง กฎข้อที่สองของเทอร์โมไดนามิกส์สามารถแสดงได้ด้วยสมมติฐานหลายข้อ สมมติฐานพื้นฐานที่สุดในแง่คณิตศาสตร์คือคำกล่าวเกี่ยวกับความนูนของสมการสถานะพื้นฐาน กล่าวคือเมทริกซ์เฮสเซียนของพลังงานจำเพาะที่แสดงเป็นฟังก์ชันของปริมาตรจำเพาะและเอนโทรปีจำเพาะ ซึ่งกำหนดให้เป็นค่าบวก คำกล่าวนี้สอดคล้องกับเงื่อนไขสองประการ:$${\displaystyle {\begin{pmatrix}e_{vv}&e_{vs}\\e_{vs}&e_{ss}\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}e_{vv}&>0\\[1.2ex]e_{vv}e_{ss}-e_{vs}^{2}&>0\end{aligned}}\right.}$$

เงื่อนไขแรกคือเงื่อนไขที่ต้องแน่ใจว่าพารามิเตอร์aถูกกำหนดให้เป็นจริง

สมการลักษณะเฉพาะสุดท้ายจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:$${\displaystyle (u-\lambda )\left((u-\lambda )^{2}-a^{2}\right)=0}$$

ซึ่งมีสามวิธีแก้ไขที่แท้จริง:$${\displaystyle \lambda _{1}(v,u,s)=u-a(v,s),\qquad \lambda _{2}(u)=u,\qquad \lambda _{3}(v,u,s)=u+a(v,s).}$$

จากนั้นเมทริกซ์จะมีค่าลักษณะเฉพาะจริงสามค่าที่ถูกแยกแยะทั้งหมด: สมการออยเลอร์ 1 มิติเป็นระบบไฮเปอร์โบลิก อย่างเคร่งครัด

เมื่อถึงจุดนี้ เราควรพิจารณาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั้งสามตัว โดยแต่ละตัวจะได้จากการแทนค่าลักษณะเฉพาะหนึ่งค่าในสมการค่าลักษณะเฉพาะแล้วแก้สมการนั้น โดยการแทนค่าลักษณะเฉพาะตัวแรก λ ₁จะได้:$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-v&0\\-e_{vv}v&a&-e_{vs}v\\0&0&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\u_{1}\\s_{1}\end{pmatrix}}=0.}$$

จากสมการที่ 3 ซึ่งมีคำตอบเพียงs ₁ = 0 ระบบจะลดเหลือดังนี้:$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-v\\-a^{2}/v&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\u_{1}\end{pmatrix}}=0}$$

สมการทั้งสองซ้ำซ้อนกันตามปกติ ดังนั้นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะถูกกำหนดด้วยค่าคงที่การคูณ เราเลือกเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้านขวา:$${\displaystyle \mathbf {p} _{1}={\begin{pmatrix}v\\a\\0\end{pmatrix}}.}$$

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอีกสองตัวสามารถพบได้ด้วยขั้นตอนที่คล้ายกันดังนี้:$${\displaystyle \mathbf {p} _{2}={\begin{pmatrix}e_{vs}\\0\\-\left({\frac {a}{v}}\right)^{2}\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {p} _{3}={\begin{pmatrix}v\\-a\\0\end{pmatrix}}.}$$

จากนั้นจึงสามารถสร้างเมทริกซ์การฉายภาพได้:$${\displaystyle \mathbf {P} (v,u,s)=(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},\mathbf {p} _{3})={\begin{pmatrix}v&e_{vs}&v\\a&0&-a\\0&-\left({\frac {a}{v}}\right)^{2}&0\end{pmatrix}}.}$$

ในที่สุด ก็เห็นได้ชัดว่าพารามิเตอร์จริงที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้คือความเร็วของการแพร่กระจายของลักษณะข้อมูลของระบบไฮเปอร์โบลิกที่สร้างจากสมการออยเลอร์ กล่าวคือความเร็วคลื่นยังคงต้องพิสูจน์ว่าความเร็วเสียงสอดคล้องกับกรณีเฉพาะของการแปลงไอเซนโทรปิก :$${\displaystyle a_{s}\equiv {\sqrt {\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}}}.}$$

ความเร็วเสียงถูกกำหนดให้เป็นความเร็วคลื่นของการแปลงไอเซนโทรปิก: ตามคำจำกัดความของการบีบอัดไอเซนโทรปิก: ความเร็วเสียงจะได้ผลลัพธ์เป็นรากที่สองของอัตราส่วนระหว่างการบีบอัดไอเซนโทรปิกและความหนาแน่นเสมอ:$${\displaystyle a_{s}(\rho ,p)\equiv {\sqrt {\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}}},}$$$${\displaystyle K_{s}(\rho ,p)\equiv \rho \left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s},}$$$${\displaystyle a_{s}\equiv {\sqrt {\frac {K_{s}}{\rho }}}.}$$

ความเร็วเสียงในก๊าซอุดมคติขึ้นอยู่กับอุณหภูมิเท่านั้น:$${\displaystyle a_{s}(T)={\sqrt {\gamma {\frac {T}{m}}}}.}$$

เนื่องจากเอนทัลปีจำเพาะในก๊าซอุดมคติจะแปรผันตามอุณหภูมิ:

$${\displaystyle h=c_{p}T={\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {T}{m}},}$$

ความเร็วเสียงในก๊าซในอุดมคติสามารถคำนวณได้โดยขึ้นอยู่กับเอนทัลปีเฉพาะเท่านั้น:

$${\displaystyle a_{s}(h)={\sqrt {(\gamma -1)h}}.}$$

ทฤษฎีบทของแบร์นูลลีเป็นผลโดยตรงจากสมการของออยเลอร์

เอกลักษณ์ แคลคูลัสเวกเตอร์ของผลคูณไขว้ของขดมีดังนี้:

$${\displaystyle \mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{F}\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\mathbf {v\cdot \nabla } \mathbf {F} \ ,}$$

โดยที่ ใช้รูปแบบการห้อย Feynman ซึ่งหมายความว่าการไล่ระดับแบบห้อยจะดำเนินการกับ ปัจจัย เท่านั้น${\displaystyle \nabla _{F}}$${\displaystyle \mathbf {F} }$

แลมบ์ใช้อัตลักษณ์นี้ในการเปลี่ยนเทอมการพาความร้อนของความเร็วการไหลในรูปแบบการหมุนในหนังสือคลาสสิกชื่อดังของเขาเรื่อง Hydrodynamics (พ.ศ. 2438) ซึ่งยังคงพิมพ์อยู่: ^[14]

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} ={\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} ,}$$

สมการโมเมนตัมของออยเลอร์ในรูปของแลมบ์จะกลายเป็น:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}=\mathbf {g} ={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)-\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+{\frac {\nabla p}{\rho }}.}$$

ตอนนี้อ้างอิงจากตัวตนอีกประการหนึ่ง:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {p}{\rho }}\right)={\frac {\nabla p}{\rho }}-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho ,}$$

สมการโมเมนตัมของออยเลอร์มีรูปแบบที่เหมาะสมที่สุดในการสาธิตทฤษฎีบทของแบร์นูลลีสำหรับการไหลคงที่:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {p}{\rho }}\right)-\mathbf {g} =-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}.}$$

ในความเป็นจริง ในกรณีของสนามอนุรักษ์ ภายนอก โดยการกำหนดศักยภาพ φ ของมัน:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}.}$$

ในกรณีที่การไหลคงที่ อนุพันธ์ตามเวลาของความเร็วการไหลจะหายไป ดังนั้นสมการโมเมนตัมจึงกลายเป็น:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} ).}$$

และด้วยการฉายสมการโมเมนตัมบนทิศทางการไหล กล่าวคือ ไปตามเส้นกระแสน้ำผลคูณไขว้จะหายไป เนื่องจากผลลัพธ์จะตั้งฉากกับความเร็วเสมอ:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla \rho .}$$

ในกรณีที่ไม่บีบอัดได้คงที่ สมการมวลจะเป็นดังนี้:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0,}$$นั่นคือการอนุรักษ์มวลสำหรับการไหลคงที่ที่บีบอัดไม่ได้ ระบุว่าความหนาแน่นตามแนวกระแสน้ำนั้นคงที่ดังนั้นสมการโมเมนตัมของออยเลอร์ในกรณีที่บีบอัดไม่ได้คงที่จะกลายเป็น:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=0.}$$

ความสะดวกในการกำหนดหัวรวมสำหรับการไหลของของเหลวที่ไม่มีความหนืดนั้นชัดเจนแล้ว:

$${\displaystyle b_{l}\equiv {\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }},}$$

ซึ่งอาจเขียนง่ายๆ ได้ว่า:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla b_{l}=0.}$$

นั่นคือสมดุลโมเมนตัมสำหรับการไหลคงที่ ไม่มีความหนืด และไม่บีบอัดได้ในสนามอนุรักษ์ภายนอก ระบุว่าส่วนหัวทั้งหมดตามแนวกระแสน้ำนั้นคงที่

ในกรณีที่คงที่ (บีบอัดได้) ทั่วไปที่สุด สมการมวลในรูปแบบอนุรักษ์คือ:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =\rho \nabla \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0.}$$ดังนั้นการแสดงออกก่อนหน้านี้จึงค่อนข้าง

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)={\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

ด้านขวามือปรากฏบนสมการพลังงานในรูปแบบการพาความร้อน ซึ่งเมื่ออยู่ในสถานะคงที่ จะระบุว่า:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla e=-{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

สมการพลังงานจึงกลายเป็น:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left(e+{\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}u^{2}+\phi \right)=0,}$$

เพื่อให้พลังงานเฉพาะภายในปรากฏในหัวแล้ว

เนื่องจากศักยภาพของสนามภายนอกมักจะเล็กเมื่อเทียบกับเงื่อนไขอื่นๆ จึงสะดวกที่จะจัดกลุ่มเงื่อนไขหลังไว้ในเอนทัลปีรวม :

$${\displaystyle h^{t}\equiv e+{\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}u^{2},}$$

และค่าคงที่ของเบอร์นูลลีสำหรับการไหลของก๊าซที่ไม่มีความหนืดคือ:

$${\displaystyle b_{g}\equiv h^{t}+\phi =b_{l}+e,}$$

ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla b_{g}=0.}$$

นั่นคือสมดุลพลังงานสำหรับการไหลคงที่ที่ไม่มีความหนืดในสนามอนุรักษ์ภายนอกระบุว่าผลรวมของเอนทัลปีทั้งหมดและศักย์ภายนอกนั้นคงที่ตลอดแนวกระแสน้ำ

ในกรณีทั่วไปของสนามศักยภาพขนาดเล็ก ให้ทำดังนี้:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla h^{t}\sim 0.}$$

โดยการแทนที่การไล่ระดับความดันด้วยการไล่ระดับเอนโทรปีและเอนทัลปี ตามกฎข้อแรกของเทอร์โมไดนามิกส์ในรูปแบบเอนทัลปี:

$${\displaystyle v\nabla p=-T\nabla s+\nabla h,}$$

ในรูปแบบการพาความร้อนของสมการโมเมนตัมของออยเลอร์ จะได้ดังนี้:

$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=T\nabla \,s-\nabla \,h.}$$

ฟรีดมันน์ได้สรุปสมการนี้สำหรับกรณีเฉพาะของก๊าซสมบูรณ์แบบและตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2465 ^[15]อย่างไรก็ตาม สมการนี้ถือเป็นสมการทั่วไปสำหรับของไหลที่ไม่มีความหนืดและไม่นำไฟฟ้า และไม่มีสมการสถานะใดที่โดยนัยอยู่ในสมการนี้

ในทางกลับกัน โดยการแทนที่รูปแบบเอนทัลปีของกฎข้อแรกของเทอร์โมไดนามิกส์ในรูปแบบการหมุนของสมการโมเมนตัมของออยเลอร์ เราจะได้:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}=\mathbf {g} ,}$$

และโดยการกำหนดค่าเอนทัลปีรวมเฉพาะ:

$${\displaystyle h^{t}=h+{\frac {1}{2}}u^{2},}$$

มาถึงรูปแบบ Crocco–Vazsonyi ^[16] (Crocco, 1937) ของสมการโมเมนตัมออยเลอร์:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} -T\nabla s+\nabla h^{t}=\mathbf {g} .}$$

ในกรณีที่คงที่ เอนโทรปีและเอนทัลปีรวมสองตัวแปรมีประโยชน์อย่างยิ่ง เนื่องจากสมการออยเลอร์สามารถเปลี่ยนกลับเป็นรูปแบบของคร็อกโคได้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times \nabla \times \mathbf {u} +T\nabla s-\nabla h^{t}&=\mathbf {g} ,\\\mathbf {u} \cdot \nabla s&=0,\\\mathbf {u} \cdot \nabla h^{t}&=0.\end{aligned}}}$$

สุดท้ายหากการไหลเป็นแบบอุณหภูมิคงที่:

$${\displaystyle T\nabla s=\nabla (Ts),}$$

โดยการกำหนด พลังงานอิสระของกิ๊บส์รวมเฉพาะเจาะจง:

$${\displaystyle g^{t}\equiv h^{t}+Ts,}$$

รูปแบบของ Crocco สามารถลดลงเหลือดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times \nabla \times \mathbf {u} -\nabla g^{t}&=\mathbf {g} ,\\\mathbf {u} \cdot \nabla g^{t}&=0.\end{aligned}}}$$

จากความสัมพันธ์เหล่านี้ เราสามารถสรุปได้ว่าพลังงานอิสระทั้งหมดจำเพาะนั้นสม่ำเสมอในกระแสที่คงที่ ไม่หมุน มีอุณหภูมิคงที่ มีเอนโทรปีเท่ากัน และไม่มีความหนืด

สมการออยเลอร์เป็น สมการ ไฮเปอร์โบลิกกึ่งเชิงเส้น และคำตอบทั่วไปคือคลื่น ภายใต้สมมติฐานบางประการ สมการเหล่านี้สามารถลดรูปลงได้ ทำให้ เกิด สมการเบอร์เกอร์เช่นเดียวกับคลื่น ในมหาสมุทรที่คุ้นเคย คลื่นที่อธิบายโดยสมการออยเลอร์จะเกิด'การแตกหัก'และสิ่งที่เรียกว่าคลื่นกระแทก ซึ่งเป็นเอฟเฟกต์ไม่เชิงเส้นและแสดงถึงคำตอบ ที่มีค่าหลายค่าในทางกายภาพ สมการนี้แสดงถึงการแยกย่อยของสมมติฐานที่นำไปสู่การกำหนดสมการเชิงอนุพันธ์ และเพื่อดึงข้อมูลเพิ่มเติมจากสมการ เราต้องย้อนกลับไปที่รูปแบบอินทิกรัลพื้นฐานยิ่งขึ้น จากนั้นคำตอบที่อ่อนแอจะถูกกำหนดขึ้นโดยการทำงานแบบ 'กระโดด' (ความไม่ต่อเนื่อง) ในปริมาณการไหล - ความหนาแน่น ความเร็ว ความดัน เอนโทรปี - โดยใช้สมการแรงคิน-ฮิวโกนิออตปริมาณทางกายภาพมักไม่ต่อเนื่อง ในการไหลจริง ความไม่ต่อเนื่องเหล่านี้จะถูกทำให้เรียบด้วยความหนืดและการถ่ายเทความร้อน (ดูสมการ Navier–Stokes )

การแพร่กระจายของแรงกระแทกถูกศึกษาในสาขาอื่นๆ มากมาย เช่นวิชาอากาศพลศาสตร์และระบบขับเคลื่อนจรวดซึ่งเกิดการไหลเร็วเพียงพอ

ในการคำนวณปริมาณคอนตินิวอัมในโซนไม่ต่อเนื่อง (เช่น คลื่นกระแทก หรือชั้นขอบเขต) จากรูปแบบท้องถิ่น^[c] (รูปแบบข้างต้นทั้งหมดเป็นรูปแบบท้องถิ่น เนื่องจากตัวแปรที่กำลังอธิบายนั้นเป็นแบบทั่วไปของจุดหนึ่งในอวกาศที่พิจารณา กล่าวคือ เป็นตัวแปรท้องถิ่น ) ของสมการออยเลอร์โดยใช้วิธีการความแตกต่างจำกัดโดยทั่วไปแล้ว จุดในพื้นที่และขั้นตอนเวลาจำนวนมากเกินไปจะจำเป็นสำหรับหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์ในปัจจุบันและในอนาคตอันใกล้ ในกรณีเหล่านี้ จำเป็นต้องหลีกเลี่ยงรูปแบบท้องถิ่นของสมการการอนุรักษ์ โดยผ่านรูปแบบที่อ่อนแอเช่นปริมาตรจำกัดหนึ่ง

เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุด พิจารณาสมการการอนุรักษ์อิสระคงที่ในรูปแบบการอนุรักษ์ในโดเมนของอวกาศ:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {0} ,}$$

โดยที่โดยทั่วไปFคือเมทริกซ์ฟลักซ์ โดยการอินทิเกรตสมการท้องถิ่นนี้เหนือปริมาตรคงที่ V _mจะได้ดังนี้:

$${\displaystyle \int _{V_{m}}\nabla \cdot \mathbf {F} \,dV=\mathbf {0} .}$$

จากนั้น โดยอาศัยทฤษฎีบทการแยกส่วนเราสามารถเปลี่ยนอินทิกรัลนี้ให้เป็นอินทิกรัลขอบเขตของฟลักซ์ได้:

$${\displaystyle \oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \,ds=\mathbf {0} .}$$

รูปแบบสากลนี้ระบุเพียงว่าไม่มีฟลักซ์สุทธิของปริมาณอนุรักษ์ที่ผ่านบริเวณในกรณีที่คงที่และไม่มีแหล่งกำเนิด ใน 1D ปริมาตรจะลดลงเหลือช่วงโดยมีขอบเขตเป็นจุดสุดขั้ว จากนั้นทฤษฎีบทการแยกตัวจะลดลงเหลือทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส :

$${\displaystyle \int _{x_{m}}^{x_{m+1}}\mathbf {F} (x')\,dx'=\mathbf {0} ,}$$

นั่นคือสมการความแตกต่างจำกัด แบบง่าย เรียกว่าความสัมพันธ์การกระโดด

$${\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {0} .}$$

ซึ่งสามารถทำให้ชัดเจนได้ดังนี้:

$${\displaystyle \mathbf {F} _{m+1}-\mathbf {F} _{m}=\mathbf {0} ,}$$

โดยที่ใช้สัญลักษณ์คือ:

$${\displaystyle \mathbf {F} _{m}=\mathbf {F} (x_{m}).}$$

หรือถ้าหากเราดำเนินการอินทิกรัลไม่จำกัดขอบเขต:

$${\displaystyle \mathbf {F} -\mathbf {F} _{0}=\mathbf {0} .}$$

ในทางกลับกัน สมการการอนุรักษ์ชั่วคราว:

$${\displaystyle {\partial y \over \partial t}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {0} ,}$$

นำไปสู่ความสัมพันธ์แบบกระโดด:

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}\,\Delta u=\Delta \mathbf {F} .}$$

สำหรับสมการออยเลอร์มิติเดียว ตัวแปรอนุรักษ์และฟลักซ์คือเวกเตอร์:

$${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{v}}\\j\\E^{t}\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}j\\vj^{2}+p\\vj\left(E^{t}+p\right)\end{pmatrix}},}$$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle v}$คือปริมาตรจำเพาะ
• ${\displaystyle j}$คือมวลไหล

ในกรณีมิติเดียว ความสัมพันธ์ของการกระโดดที่สอดคล้องกัน เรียกว่าสมการ Rankine–Hugoniotมีดังนี้:< ^[17]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}\Delta \left({\frac {1}{v}}\right)&=\Delta j,\\[1.2ex]{\frac {dx}{dt}}\Delta j&=\Delta (vj^{2}+p),\\[1.2ex]{\frac {dx}{dt}}\Delta E^{t}&=\Delta (jv(E^{t}+p)).\end{aligned}}}$$

ในกรณีที่มีมิติเดียวคงที่จะกลายเป็นเรื่องง่ายๆ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta j&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(vj^{2}+p\right)&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(j\left({\frac {E^{t}}{\rho }}+{\frac {p}{\rho }}\right)\right)&=0.\end{aligned}}}$$

ด้วยสมการความแตกต่างของมวล สมการความแตกต่างของพลังงานสามารถลดความซับซ้อนได้โดยไม่มีข้อจำกัดใดๆ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta j&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(vj^{2}+p\right)&=0,\\[1.2ex]\Delta h^{t}&=0,\end{aligned}}}$$

โดยที่คือ เอนทัลปีรวมจำเพาะ${\displaystyle h^{t}}$

สิ่งเหล่านี้มักจะแสดงในตัวแปรการพาความร้อน:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta j&=0,\\[1.2ex]\Delta \left({\frac {u^{2}}{v}}+p\right)&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(e+{\frac {1}{2}}u^{2}+pv\right)&=0,\end{aligned}}}$$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle u}$คือความเร็วของการไหล
• ${\displaystyle e}$เป็นพลังงานภายในที่เฉพาะเจาะจง

สมการพลังงานเป็นรูปแบบอินทิกรัลของสมการเบอร์นูลลีในกรณีที่บีบอัดได้ สมการมวลและโมเมนตัมก่อนหน้านี้ที่แทนที่จะนำไปสู่สมการเรย์ลีห์:

$${\displaystyle {\frac {\Delta p}{\Delta v}}=-{\frac {u_{0}^{2}}{v_{0}}}.}$$

เนื่องจากเทอมที่สองเป็นค่าคงที่ สมการเรย์ลีห์จึงอธิบายเส้นตรง ธรรมดา ในระนาบปริมาตรความดันที่ไม่ขึ้นอยู่กับสมการสถานะใดๆ เช่น เส้นเรย์ลีห์ โดยการแทนที่ในสมการแรงไคน์–ฮิวโกนิออต สามารถทำให้ชัดเจนได้ดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho u&=\rho _{0}u_{0},\\[1.2ex]\rho u^{2}+p&=\rho _{0}u_{0}^{2}+p_{0},\\[1.2ex]e+{\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {p}{\rho }}&=e_{0}+{\frac {1}{2}}u_{0}^{2}+{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}.\end{aligned}}}$$

นอกจากนี้ยังสามารถหาสมการจลนศาสตร์และสมการของฮิวโกนิออตได้อีกด้วย ข้อความวิเคราะห์ไม่ได้แสดงไว้ที่นี่เพื่อความกระชับ

เหล่านี้คือตามลำดับ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}(v,p)&=u_{0}^{2}+(p-p_{0})(v_{0}+v),\\[1.2ex]e(v,p)&=e_{0}+{\tfrac {1}{2}}(p+p_{0})(v_{0}-v).\end{aligned}}}$$

สมการของฮูโกนิออต ร่วมกับสมการพื้นฐานของสถานะของสสาร:

$${\displaystyle e=e(v,p),}$$

อธิบายโดยทั่วไปในระนาบปริมาตรความดันถึงเส้นโค้งที่ผ่านเงื่อนไข (v ₀ , p ₀ ) หรือที่เรียกว่าเส้นโค้งฮูโกนิออต ซึ่งรูปร่างนั้นขึ้นอยู่กับประเภทของวัสดุที่พิจารณาเป็นอย่างมาก

นอกจากนี้ยังเป็นธรรมเนียมในการกำหนดฟังก์ชัน Hugoniot : ^[18]

$${\displaystyle {\mathfrak {h}}(v,s)\equiv e(v,s)-e_{0}+{\tfrac {1}{2}}(p(v,s)+p_{0})(v-v_{0}),}$$

ช่วยให้สามารถระบุปริมาณการเบี่ยงเบนจากสมการ Hugoniot ได้ในลักษณะเดียวกับคำจำกัดความก่อนหน้านี้ของหัวไฮดรอลิกซึ่งมีประโยชน์สำหรับการเบี่ยงเบนจากสมการของ Bernoulli

ในทางกลับกัน โดยการบูรณาการสมการการอนุรักษ์ทั่วไป:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {s} ,}$$

บนปริมาตรคงที่V _mแล้วจากทฤษฎีบทการแยกส่วนจะได้ดังนี้:

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{V_{m}}\mathbf {y} dV+\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}ds=\mathbf {S} .}$$

โดยการบูรณาการสมการนี้ในช่วงเวลาหนึ่งด้วย:

$${\displaystyle \int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n+1})\,dV-\int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n})\,dV+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt=\mathbf {0} .}$$

ตอนนี้โดยการกำหนดปริมาณอนุรักษ์โหนด:

$${\displaystyle \mathbf {y} _{m,n}\equiv {\frac {1}{V_{m}}}\int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n})\,dV,}$$

เราสรุปรูปแบบปริมาตรจำกัดได้ดังนี้:

$${\displaystyle \mathbf {y} _{m,n+1}=\mathbf {y} _{m,n}-{\frac {1}{V_{m}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt.}$$