การบูรณาการแบบแยกส่วน

ส่วนหนึ่งของชุดบทความเกี่ยวกับ
แคลคูลัส
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
ทฤษฎีบทพื้นฐาน ข้อจำกัด ความต่อเนื่อง ทฤษฎีบทของโรลล์ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน
ความแตกต่าง คำจำกัดความ อนุพันธ์  ( การสรุปโดยทั่วไป ) ความแตกต่าง อนันต์ ของฟังก์ชั่น ทั้งหมด แนวคิด สัญกรณ์การแยกความแตกต่าง อนุพันธ์ลำดับที่สอง การแยกแยะโดยปริยาย Logarithmic differentiation Related rates Taylor's theorem Rules and identities Sum Product Chain Power Quotient L'Hôpital's rule Inverse General Leibniz Faà di Bruno's formula Reynolds
Integral Lists of integrals Integral transform Leibniz integral rule Definitions Antiderivative Integral (improper) Riemann integral Lebesgue integration Contour integration Integral of inverse functions Integration by Parts Discs Cylindrical shells Substitution (trigonometric, tangent half-angle, Euler) Euler's formula Partial fractions (Heaviside's method) Changing order Reduction formulae Differentiating under the integral sign Risch algorithm
Series Geometric (arithmetico-geometric) Harmonic Alternating Power Binomial Taylor Convergence tests Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

ในแคลคูลัสและโดยทั่วไปในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์การอินทิเกรตแบบแยกส่วนหรืออินทิเกรตบางส่วนเป็นกระบวนการที่หาอินทิเกรตของผลคูณของฟังก์ชันในรูปของอินทิเกรตของผลคูณของอนุพันธ์และแอนตี้เดริเวทีฟของฟังก์ชัน กระบวนการนี้มักใช้เพื่อเปลี่ยนแอนตี้เดริเวทีฟของผลคูณของฟังก์ชันให้เป็นแอนตี้เดริเวทีฟที่สามารถหาคำตอบได้ง่ายขึ้น กฎนี้สามารถคิดได้ว่าเป็นเวอร์ชันอินทิเกรตของกฎผลคูณของการหาอนุพันธ์ซึ่งแท้จริงแล้วกฎนี้ได้รับการอนุมานโดยใช้กฎผลคูณ

สูตรการอินทิเกรตตามส่วนระบุว่า:$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

หรือ let และwhile และสามารถเขียนสูตรให้กระชับมากขึ้นได้ดังนี้:${\displaystyle u=u(x)}$${\displaystyle du=u'(x)\,dx}$${\displaystyle v=v(x)}$${\displaystyle dv=v'(x)\,dx,}$$${\displaystyle \int u\,dv\ =\ uv-\int v\,du.}$$

นิพจน์แรกเขียนเป็นอินทิกรัลจำกัด และนิพจน์หลังเขียนเป็นอินทิกรัลไม่จำกัด การใช้ขีดจำกัดที่เหมาะสมกับนิพจน์หลังควรให้ผลลัพธ์แบบแรก แต่แบบหลังไม่จำเป็นต้องเทียบเท่ากับแบบแรก

นักคณิตศาสตร์บรู๊ค เทย์เลอร์ค้นพบการอินทิเกรตแบบแบ่งส่วน และเผยแพร่แนวคิดนี้เป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1715 ^{[1] [2]}มีการกำหนดสูตรการอินทิเกรตแบบแบ่งส่วนทั่วไปมากขึ้นสำหรับ อินทิเกรต ของรีมันน์–สติลเจสและเลอเบสก์–สติลเจ ส อนาล็อกแบบแยกส่วนของลำดับเรียกว่าการหาผลรวมแบบแบ่งส่วน

ทฤษฎีบทสามารถอนุมานได้ดังนี้ สำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง สองฟังก์ชัน และกฎผลคูณระบุว่า: ${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle v(x)}$

$${\displaystyle {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).}$$

การบูรณาการทั้งสองด้านด้วยความเคารพต่อ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \int {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\,dx=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$$

และสังเกตว่าอินทิกรัลไม่จำกัดจำกัดเป็นแอนติเดริเวทีฟจะได้

$${\displaystyle u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$$

โดยที่เราละเลยการเขียนค่าคงที่ของการอินทิเกรตซึ่งจะได้สูตรการอินทิเกรตแบบแบ่งส่วนดังนี้

$${\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx,}$$

หรือในแง่ของความแตกต่าง ${\displaystyle du=u'(x)\,dx}$${\displaystyle dv=v'(x)\,dx,\quad }$

$${\displaystyle \int u(x)\,dv=u(x)v(x)-\int v(x)\,du.}$$

สิ่งนี้จะต้องเข้าใจได้ว่าเป็นความเท่ากันของฟังก์ชันที่มีค่าคงที่ไม่ระบุที่เพิ่มเข้าไปแต่ละด้าน เมื่อนำความแตกต่างของแต่ละด้านระหว่างค่าสองค่ามาประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสจะได้เวอร์ชันอินทิกรัลจำกัด: อินทิกรัลดั้งเดิมประกอบด้วยอนุพันธ์v'หากต้องการใช้ทฤษฎีบทนี้ จะต้องค้นหาvซึ่งเป็นอนุพันธ์ตรงข้ามของv'จากนั้นจึงประเมินอินทิกรัลที่ได้${\displaystyle x=a}$${\displaystyle x=b}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.}$$${\displaystyle \int uv'\,dx}$ ${\displaystyle \int vu'\,dx.}$

ไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง การอินทิเกรตแบบแยกส่วนจะได้ผลก็ต่อเมื่อฟังก์ชัน นั้น ต่อเนื่องอย่างแน่นอนและฟังก์ชันที่กำหนดนั้นสามารถอินทิเกรตแบบเลอเบสก์ได้ (แต่ไม่จำเป็นต้องต่อเนื่อง) ^[3] (หากมีจุดไม่ต่อเนื่อง อนุพันธ์แบบแอนตี้เดริเวทีฟก็อาจไม่มีอนุพันธ์ที่จุดนั้น)${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle v}$

หากช่วงของการอินทิเกรตไม่กะทัดรัดก็ไม่จำเป็นต้องต่อเนื่องโดยสมบูรณ์ในช่วงทั้งหมด หรืออินทิเกรตแบบเลอเบสก์ได้ในช่วงนั้น ดังที่ตัวอย่างสองสามตัวอย่าง (ซึ่งและต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง) จะแสดงให้เห็น ตัวอย่างเช่น หาก${\displaystyle u}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

$${\displaystyle u(x)=e^{x}/x^{2},\,v'(x)=e^{-x}}$$

${\displaystyle u}$ไม่ต่อเนื่องแน่นอนบนช่วง[1, ∞)แต่ถึงกระนั้นก็ตาม:

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}$$

ตราบใดที่หมายถึงขีดจำกัดของและตราบใดที่สองพจน์ทางด้านขวามือมีขอบเขตจำกัด สิ่งนี้เป็นจริงเฉพาะเมื่อเราเลือก ในทำนองเดียวกัน ถ้า${\displaystyle \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{\infty }}$${\displaystyle u(L)v(L)-u(1)v(1)}$${\displaystyle L\to \infty }$${\displaystyle v(x)=-e^{-x}.}$

$${\displaystyle u(x)=e^{-x},\,v'(x)=x^{-1}\sin(x)}$$

${\displaystyle v'}$ไม่สามารถอินทิเกรต Lebesgue ได้ในช่วง[1, ∞)แต่ถึงกระนั้นก็ตาม

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}$$ด้วยการตีความเดียวกัน

นอกจากนี้ ยังสามารถเสนอตัวอย่างที่คล้ายคลึงกันได้อย่างง่ายดาย โดยที่และไม่สามารถแยกความแตกต่างได้อย่างต่อเนื่อง${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

นอกจากนี้ หากเป็นฟังก์ชันของการแปรผันที่มีขอบเขตบนส่วนและสามารถหาอนุพันธ์ได้บนนั้น${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b],}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle [a,b],}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }{\widetilde {\varphi }}(x)\,d({\widetilde {\chi }}_{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x)),}$$

โดยที่หมายถึงการวัดที่มีเครื่องหมายซึ่งสอดคล้องกับฟังก์ชันของการแปรผันที่มีขอบเขตและฟังก์ชันเป็นส่วนขยายของซึ่งจะมีการแปรผันที่มีขอบเขตและสามารถหาอนุพันธ์ได้ตามลำดับ^{[ จำเป็นต้องอ้างอิง ]}${\displaystyle d(\chi _{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x))}$${\displaystyle \chi _{[a,b]}(x)f(x)}$${\displaystyle {\widetilde {f}},{\widetilde {\varphi }}}$${\displaystyle f,\varphi }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

การบูรณาการกฎผลคูณสำหรับฟังก์ชันคูณสามฟังก์ชัน, , , จะให้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกัน:${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle v(x)}$${\displaystyle w(x)}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}uv\,dw\ =\ {\Big [}uvw{\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}uw\,dv-\int _{a}^{b}vw\,du.}$$

โดยทั่วไปสำหรับปัจจัย${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right)'\ =\ \sum _{j=1}^{n}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x),}$$

ซึ่งนำไปสู่

$${\displaystyle \left[\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right]_{a}^{b}\ =\ \sum _{j=1}^{n}\int _{a}^{b}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x).}$$

พิจารณาเส้นโค้งพาราเมตริก โดยถือว่าเส้นโค้งเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง ในพื้นที่ และสามารถอินทิเกรตได้เราสามารถกำหนดได้${\displaystyle (x,y)=(f(t),g(t))}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x(y)&=f(g^{-1}(y))\\y(x)&=g(f^{-1}(x))\end{aligned}}}$$

พื้นที่บริเวณสีน้ำเงิน คือ

$${\displaystyle A_{1}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)\,dy}$$

ในทำนองเดียวกัน พื้นที่บริเวณสีแดงคือ$${\displaystyle A_{2}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)\,dx}$$

พื้นที่ทั้งหมดA ₁ + A ₂เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ใหญ่กว่าx ₂ y ₂ลบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เล็กกว่าx ₁ y ₁ :

$${\displaystyle \overbrace {\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)\,dy} ^{A_{1}}+\overbrace {\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)\,dx} ^{A_{2}}\ =\ {\biggl .}x\cdot y(x){\biggl |}_{x_{1}}^{x_{2}}\ =\ {\biggl .}y\cdot x(y){\biggl |}_{y_{1}}^{y_{2}}}$$หรือ ในรูปของtหรือ ในรูปของอินทิกรัลไม่จำกัดจำกัด สามารถเขียนได้ว่า การจัดเรียงใหม่ ดังนั้น การอินทิกรัลแบบแบ่งส่วนอาจคิดได้ว่าเป็นการอนุมานพื้นที่ของบริเวณสีน้ำเงินจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและพื้นที่ของบริเวณสีแดง$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}x(t)\,dy(t)+\int _{t_{1}}^{t_{2}}y(t)\,dx(t)\ =\ {\biggl .}x(t)y(t){\biggl |}_{t_{1}}^{t_{2}}}$$$${\displaystyle \int x\,dy+\int y\,dx\ =\ xy}$$$${\displaystyle \int x\,dy\ =\ xy-\int y\,dx}$$

การสร้างภาพนี้ยังอธิบายด้วยว่าเหตุใดการอินทิเกรตแบบแยกส่วนจึงอาจช่วยหาอินทิเกรตของฟังก์ชันผกผันf ⁻¹ ( x ) ได้เมื่อทราบอินทิเกรตของฟังก์ชันf ( x ) แล้ว อันที่จริง ฟังก์ชันx ( y ) และy ( x ) เป็นอินทิเกรต และสามารถคำนวณอินทิเกรต ∫ x  dyได้ตามข้างต้นจากการทราบอินทิเกรต ∫ y  dxโดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้จะอธิบายการใช้การอินทิเกรตแบบแยกส่วนเพื่ออินทิ เกรตฟังก์ชัน ลอการิทึมและตรีโกณมิติผกผันในความเป็นจริง ถ้าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วงหนึ่ง การอินทิเกรตแบบแยกส่วนจึงสามารถใช้ในการหาสูตรสำหรับอินทิเกรตของในรูปของอินทิเกรตของ ได้ซึ่งแสดงให้เห็นในบทความอินทิเกรตของฟังก์ชันผกผัน${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$

การอินทิกรัลแบบแยกส่วนเป็น กระบวนการเชิง ประจักษ์มากกว่าเชิงกลไกในการแก้อินทิกรัล เมื่อกำหนดให้อินทิกรัลเป็นฟังก์ชันเดียว กลยุทธ์ทั่วไปคือแยกฟังก์ชันเดียวนี้ออกเป็นผลคูณของฟังก์ชันu ( x ) v ( x ) สองตัวอย่างระมัดระวัง เพื่อให้อินทิกรัลที่เหลือจากสูตรการอินทิกรัลแบบแยกส่วนประเมินได้ง่ายกว่าฟังก์ชันเดี่ยว รูปแบบต่อไปนี้มีประโยชน์ในการอธิบายกลยุทธ์ที่ดีที่สุดที่จะใช้:

$${\displaystyle \int uv\,dx=u\int v\,dx-\int \left(u'\int v\,dx\right)\,dx.}$$

ทางด้านขวามือuจะแยกอนุพันธ์ได้และvจะอินทิเกรต ดังนั้น จึงเป็นประโยชน์ที่จะเลือกuเป็นฟังก์ชันที่ลดความซับซ้อนเมื่อแยกอนุพันธ์แล้ว หรือเลือกvเป็นฟังก์ชันที่ลดความซับซ้อนเมื่ออินทิเกรต ตัวอย่างง่ายๆ ให้พิจารณาดังนี้:

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx\,.}$$

เนื่องจากอนุพันธ์ของ ln( x ) คือ1-เอ็กซ์⁠หนึ่งทำให้ (ln( x )) ส่วนu ; เนื่องจากแอนตี้เดริเวทีฟของ⁠1-x ²⁠คือ − ⁠1-เอ็กซ์⁠ , หนึ่งทำ⁠1-x ²ส่วนที่vสูตรตอนนี้ให้ผลลัพธ์ดังนี้ :

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\,dx\,.}$$

แอนตี้เดริเวทีฟของ − ⁠1-x ²⁠สามารถพบได้ด้วยกฎกำลังและเป็น⁠1-เอ็กซ์⁠ .

หรืออีกวิธีหนึ่ง อาจเลือกuและvโดยที่ผลคูณu ′ (∫ v  dx ) จะลดรูปลงเนื่องจากการยกเลิก ตัวอย่างเช่น สมมติว่าต้องการอินทิเกรต:

$${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx.}$$

หากเราเลือกu ( x ) = ln(|sin( x )|) และv ( x ) = sec ² x แล้วuจะแยกความแตกต่างโดยใช้กฎลูกโซ่และvจะอินทิเกรตเป็น tan xดังนั้นสูตรจะได้ดังนี้:${\displaystyle {\frac {1}{\tan x}}}$

$${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}\,dx\ .}$$

อินทิกรัลจะลดรูปเหลือ 1 ดังนั้น แอนตี้เดริเวทีฟคือxการหาค่าผสมที่ลดรูปมักต้องมีการทดลอง

ในบางแอปพลิเคชัน อาจไม่จำเป็นต้องทำให้แน่ใจว่าอินทิกรัลที่ได้จากการอินทิกรัลแบบแยกส่วนนั้นมีรูปแบบที่เรียบง่าย ตัวอย่างเช่น ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขอาจเพียงพอที่อินทิกรัลดังกล่าวจะมีขนาดเล็กและก่อให้เกิดค่าผิดพลาดเพียงเล็กน้อย เทคนิคพิเศษอื่นๆ บางส่วนได้รับการสาธิตในตัวอย่างด้านล่าง

เพื่อที่จะคำนวณ

$${\displaystyle I=\int x\cos(x)\,dx\,,}$$

อนุญาต:$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=x\ &\Rightarrow \ &&du&=dx\\dv&=\cos(x)\,dx\ &\Rightarrow \ &&v&=\int \cos(x)\,dx=\sin(x)\end{alignedat}}}$$

แล้ว:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx&=\int u\ dv\\&=u\cdot v-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C,\end{aligned}}}$$

โดยที่Cเป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรต

สำหรับพลังที่สูงกว่าในรูปแบบ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \int x^{n}e^{x}\,dx,\ \int x^{n}\sin(x)\,dx,\ \int x^{n}\cos(x)\,dx\,,}$$

การใช้การอินทิเกรตแบบแยกส่วนซ้ำๆ กันสามารถประเมินอินทิเกรตเช่นนี้ได้ โดยการนำทฤษฎีบทไปใช้ในแต่ละครั้งจะลดกำลังของลงหนึ่ง${\displaystyle x}$

ตัวอย่างที่ใช้กันทั่วไปในการตรวจสอบการทำงานของการบูรณาการแบบแยกส่วนคือ

$${\displaystyle I=\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$$

ในที่นี้ การอินทิเกรตแบบแยกส่วนจะดำเนินการสองครั้ง ขั้นแรก ให้

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=\cos(x)\ &\Rightarrow \ &&du&=-\sin(x)\,dx\\dv&=e^{x}\,dx\ &\Rightarrow \ &&v&=\int e^{x}\,dx=e^{x}\end{alignedat}}}$$

แล้ว:

$${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\,dx.}$$

ตอนนี้ในการประเมินอินทิกรัลที่เหลือ เราใช้การอินทิกรัลแบบแบ่งส่วนอีกครั้ง ดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=\sin(x)\ &\Rightarrow \ &&du&=\cos(x)\,dx\\dv&=e^{x}\,dx\,&\Rightarrow \ &&v&=\int e^{x}\,dx=e^{x}.\end{alignedat}}}$$

แล้ว:

$${\displaystyle \int e^{x}\sin(x)\,dx=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$$

การนำสิ่งเหล่านี้มารวมกัน

$${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$$

อินทิกรัลเดียวกันปรากฏทั้งสองด้านของสมการนี้ อินทิกรัลนี้สามารถบวกกับทั้งสองด้านได้ง่ายๆ เพื่อหา

$${\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C,}$$

ซึ่งจัดเรียงใหม่เป็น

$${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx={\frac {1}{2}}e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C'}$$

โดยที่(และ) อีกครั้ง เป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรต${\displaystyle C}$${\displaystyle C'={\frac {C}{2}}}$

ใช้วิธีการที่คล้ายกันเพื่อหาอินทิกรัลของซีแคนต์กำลังสาม

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีอีกสองตัวอย่างคือเมื่อการอินทิเกรตแบบแบ่งส่วนใช้กับฟังก์ชันที่แสดงเป็นผลคูณของ 1 และตัวมันเอง วิธีนี้ใช้ได้หากทราบอนุพันธ์ของฟังก์ชัน และทราบอินทิเกรตของอนุพันธ์คูณนี้ด้วย${\displaystyle x}$

ตัวอย่างแรกคือ. เราเขียนดังนี้:${\displaystyle \int \ln(x)dx}$

$${\displaystyle I=\int \ln(x)\cdot 1\,dx\,.}$$

อนุญาต:

$${\displaystyle u=\ln(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{x}}}$$$${\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}$$

แล้ว:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}}$$

ค่าคงที่ของการบูรณาการ อยู่ที่ไหน${\displaystyle C}$

ตัวอย่างที่สองคือฟังก์ชันแทนเจนต์ผกผัน :${\displaystyle \arctan(x)}$

$${\displaystyle I=\int \arctan(x)\,dx.}$$

เขียนใหม่นี้เป็น

$${\displaystyle \int \arctan(x)\cdot 1\,dx.}$$

ตอนนี้ให้:

$${\displaystyle u=\arctan(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{1+x^{2}}}}$$

$${\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}$$

แล้ว

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arctan(x)\,dx&=x\arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=x\arctan(x)-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}+C\end{aligned}}}$$

โดยใช้การผสมผสานระหว่างวิธีกฎลูกโซ่ผกผันและเงื่อนไขอินทิกรัลลอการิทึมธรรมชาติ

กฎ LIATE เป็นกฎง่ายๆ สำหรับการอินทิเกรตแบบแยกส่วน ซึ่งเกี่ยวข้องกับการเลือกฟังก์ชันที่มาก่อนในรายการต่อไปนี้: ^[4]

• L – ฟังก์ชันลอการิทึม : ฯลฯ${\displaystyle \ln(x),\ \log _{b}(x),}$
• I – ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (รวมถึงอนาล็อกไฮเปอร์โบลิก ): ฯลฯ${\displaystyle \arctan(x),\ \operatorname {arcsec}(x),\ \operatorname {arsinh} (x),}$
• A – ฟังก์ชันพีชคณิต (เช่นพหุนาม ): ฯลฯ${\displaystyle x^{2},\ 3x^{50},}$
• T – ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (รวมถึงอนาล็อกไฮเปอร์โบลิก ): ฯลฯ${\displaystyle \sin(x),\ \tan(x),\ \operatorname {sech} (x),}$
• E – ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง : ฯลฯ${\displaystyle e^{x},\ 19^{x},}$

ฟังก์ชันที่ควรเป็นdvคือฟังก์ชันใดก็ตามที่อยู่ท้ายสุดในรายการ เหตุผลก็คือฟังก์ชันที่อยู่ล่างสุดในรายการโดยทั่วไปจะมีอนุพันธ์ย้อนกลับ ที่ง่ายกว่า ฟังก์ชันที่อยู่ด้านบน กฎนี้บางครั้งเขียนเป็น "DETAIL" โดยที่Dแทนdv และฟังก์ชันที่เลือกให้เป็น dvจะอยู่ด้านบนสุดของรายการทางเลือกอื่นสำหรับกฎนี้คือกฎ ILATE โดยฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันจะอยู่ก่อนฟังก์ชันลอการิทึม

เพื่อสาธิตกฎ LIATE ให้พิจารณาอินทิกรัล

$${\displaystyle \int x\cdot \cos(x)\,dx.}$$

ตามกฎ LIATE u = xและdv = cos( x )  dxดังนั้นdu = dxและv = sin( x ) ซึ่งทำให้อินทิกรัลกลายเป็น ซึ่งเท่ากับ$${\displaystyle x\cdot \sin(x)-\int 1\sin(x)\,dx,}$$$${\displaystyle x\cdot \sin(x)+\cos(x)+C.}$$

โดยทั่วไป จะพยายามเลือกuและdvโดยที่du นั้น ง่ายกว่าuและdvนั้นสามารถอินทิกรัลได้ง่าย หากเลือก cos( x ) เป็น uและx dxเป็นdv แทน เราก็จะได้อินทิกรัล

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}\cos(x)+\int {\frac {x^{2}}{2}}\sin(x)\,dx,}$$

ซึ่งหลังจากนำสูตรการอินทิเกรตแบบแบ่งส่วนมาใช้ซ้ำแล้วซ้ำเล่า จะเห็นได้ชัดว่าผลลัพธ์คือการเรียกซ้ำแบบไม่สิ้นสุด และไม่นำไปสู่สิ่งใดเลย

แม้ว่ากฎ LIATE จะเป็นกฎที่มีประโยชน์ แต่ก็มีข้อยกเว้น ทางเลือกทั่วไปคือการพิจารณากฎตามลำดับ "ILATE" แทน นอกจากนี้ ในบางกรณี จำเป็นต้องแยกพจน์พหุนามในลักษณะที่ไม่ซับซ้อน ตัวอย่างเช่น เพื่ออินทิเกรต

$${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx,}$$

หนึ่งจะตั้ง

$${\displaystyle u=x^{2},\quad dv=x\cdot e^{x^{2}}\,dx,}$$

เพื่อให้

$${\displaystyle du=2x\,dx,\quad v={\frac {e^{x^{2}}}{2}}.}$$

แล้ว

$${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx=\int \left(x^{2}\right)\left(xe^{x^{2}}\right)\,dx=\int u\,dv=uv-\int v\,du={\frac {x^{2}e^{x^{2}}}{2}}-\int xe^{x^{2}}\,dx.}$$

สุดท้ายนี้ผลลัพธ์ที่ได้คือ$${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx={\frac {e^{x^{2}}\left(x^{2}-1\right)}{2}}+C.}$$

การอินทิเกรตแบบแยกส่วนมักใช้เป็นเครื่องมือในการพิสูจน์ทฤษฎีบทในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ผลิตภัณฑ์วอลลิสอินฟินิทสำหรับ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \end{aligned}}}$$

อาจได้มาโดยใช้การบูรณาการแบบแยกส่วน

ฟังก์ชันแกมมาเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันพิเศษซึ่งกำหนดให้เป็นอินทิกรัลไม่แท้สำหรับการอินทิกรัลแบบแบ่งส่วนแสดงให้เห็นว่าเป็นส่วนขยายของฟังก์ชันแฟกทอเรียล:${\displaystyle z>0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{z-1}dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,d\left(e^{-x}\right)\\[6pt]&=-{\Biggl [}e^{-x}x^{z-1}{\Biggl ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-x}d\left(x^{z-1}\right)\\[6pt]&=0+\int _{0}^{\infty }\left(z-1\right)x^{z-2}e^{-x}dx\\[6pt]&=(z-1)\Gamma (z-1).\end{aligned}}}$$

เนื่องจาก

$${\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx=1,}$$

เมื่อเป็นจำนวนธรรมชาติ นั่นคือเมื่อนำสูตรนี้ไปใช้ซ้ำๆ จะได้แฟกทอเรียล ดังนี้ :${\displaystyle z}$${\displaystyle z=n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$

การหาปริพันธ์แบบแยกส่วนมักใช้ในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกโดยเฉพาะการวิเคราะห์ฟูเรียร์เพื่อแสดงว่าปริพันธ์ที่แกว่งเร็วที่มีปริพันธ์ที่ราบรื่นเพียงพอจะสลายตัวอย่างรวดเร็วตัวอย่างที่พบได้บ่อยที่สุดคือการใช้เพื่อแสดงว่าการสลายตัวของการแปลงฟูเรียร์ของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับความราบรื่นของฟังก์ชันนั้น ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง

หากเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง - คูณ และอนุพันธ์ทั้งหมดจนถึงค่าที่สลายตัวเป็นศูนย์ที่อินฟินิตี้การ แปลงฟูเรียร์ จะเป็นไปตามนั้น${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

$${\displaystyle ({\mathcal {F}}f^{(k)})(\xi )=(2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi ),}$$

โดยที่เป็นอนุพันธ์ลำดับที่ 3 ของ(ค่าคงที่ที่แน่นอนทางด้านขวาขึ้นอยู่กับอนุสัญญาของการแปลงฟูเรียร์ที่ใช้ ) ซึ่งพิสูจน์ได้โดยการสังเกตว่า${\displaystyle f^{(k)}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dy}}e^{-2\pi iy\xi }=-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi },}$$

ดังนั้นการใช้การอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ ในการแปลงฟูเรียร์ของอนุพันธ์เราจึงได้

$${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {F}}f')(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f'(y)\,dy\\&=\left[e^{-2\pi iy\xi }f(y)\right]_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }(-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi })f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi \int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi {\mathcal {F}}f(\xi ).\end{aligned}}}$$

การใช้ วิธีการอุปนัยนี้จะให้ผลลัพธ์สำหรับค่าทั่วไปวิธีการที่คล้ายกันนี้สามารถใช้หาการแปลงลาปลาซของอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้${\displaystyle k}$

ผลลัพธ์ข้างต้นบอกเราเกี่ยวกับการสลายตัวของการแปลงฟูเรียร์ เนื่องจากสรุปได้ว่าหากและรวมเข้าด้วยกันได้${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{(k)}}$

$${\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq {\frac {I(f)}{1+\vert 2\pi \xi \vert ^{k}}},{\text{ where }}I(f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigl (}\vert f(y)\vert +\vert f^{(k)}(y)\vert {\Bigr )}\,dy.}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากเป็นไปตามเงื่อนไขเหล่านี้ การแปลงฟูเรียร์จะสลายตัวที่อินฟินิตี้อย่างน้อยเร็วเท่ากับ1/| ξ | ^kโดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากการแปลงฟูเรียร์นั้นสามารถอินทิเกรตได้${\displaystyle f}$${\displaystyle k\geq 2}$

การพิสูจน์ใช้ข้อเท็จจริงซึ่งเกิดขึ้นโดยตรงจากคำจำกัดความของการแปลงฟูเรียร์ว่า

$${\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f(y)\vert \,dy.}$$

การใช้แนวคิดเดียวกันเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันที่ระบุไว้ในตอนต้นของหัวข้อย่อยนี้จะให้

$${\displaystyle \vert (2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f^{(k)}(y)\vert \,dy.}$$

การรวมความไม่เท่าเทียมสองข้อนี้และการหารด้วย1 + |2 π ξ ^k |จะให้ความไม่เท่าเทียมที่ระบุไว้

การใช้การอินทิเกรตแบบใช้ชิ้นส่วนในทฤษฎีตัวดำเนินการ อย่างหนึ่ง ก็คือ การแสดงให้เห็นว่า−∆ (โดยที่ ∆ คือตัวดำเนินการ Laplace ) เป็นตัวดำเนินการเชิงบวกบน(ดูพื้นที่L ^p ) หากเป็นแบบเรียบและรองรับอย่างแน่นหนา จากนั้นโดยใช้การอินทิเกรตแบบใช้ชิ้นส่วน เราจะได้${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle -\Delta f,f\rangle _{L^{2}}&=-\int _{-\infty }^{\infty }f''(x){\overline {f(x)}}\,dx\\[5pt]&=-\left[f'(x){\overline {f(x)}}\right]_{-\infty }^{\infty }+\int _{-\infty }^{\infty }f'(x){\overline {f'(x)}}\,dx\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f'(x)\vert ^{2}\,dx\geq 0.\end{aligned}}}$$

• การกำหนดเงื่อนไขขอบเขตในทฤษฎี Sturm–Liouville
• การหาสมการออยเลอร์-ลากรองจ์ในแคลคูลัสของการแปรผัน

เมื่อพิจารณาอนุพันธ์ลำดับที่สองของในอินทิกรัลบน LHS ของสูตรสำหรับการอินทิกรัลบางส่วน ชี้ให้เห็นถึงการประยุกต์ใช้ซ้ำกับอินทิกรัลบน RHS:${\displaystyle v}$$${\displaystyle \int uv''\,dx=uv'-\int u'v'\,dx=uv'-\left(u'v-\int u''v\,dx\right).}$$

การขยายแนวคิดของการอินทิเกรตย่อยซ้ำๆ ไปจนถึงอนุพันธ์ที่มีดีกรีnจะนำไปสู่$${\displaystyle {\begin{aligned}\int u^{(0)}v^{(n)}\,dx&=u^{(0)}v^{(n-1)}-u^{(1)}v^{(n-2)}+u^{(2)}v^{(n-3)}-\cdots +(-1)^{n-1}u^{(n-1)}v^{(0)}+(-1)^{n}\int u^{(n)}v^{(0)}\,dx.\\[5pt]&=\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}u^{(k)}v^{(n-1-k)}+(-1)^{n}\int u^{(n)}v^{(0)}\,dx.\end{aligned}}}$$

แนวคิดนี้อาจมีประโยชน์เมื่ออินทิกรัลลำดับถัดไปของพร้อมใช้งานได้ทันที (เช่น เลขชี้กำลังธรรมดาหรือไซน์และโคไซน์ เช่นใน การแปลงลาปลาซหรือ ฟูเรียร์ ) และเมื่อ อนุพันธ์ลำดับที่ nของหายไป (เช่น เป็นฟังก์ชันพหุนามที่มีดีกรี) เงื่อนไขหลังนี้จะหยุดการทำซ้ำของการอินทิกรัลบางส่วน เนื่องจากอินทิกรัล RHS หายไป${\displaystyle v^{(n)}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle (n-1)}$

ในกระบวนการทำซ้ำอินทิกรัลย่อยข้างต้น อินทิกรัล และและ จะสัมพันธ์กัน ซึ่งอาจตีความได้ว่าเป็นการ "เลื่อน" อนุพันธ์ระหว่างและภายในอินทิกรัลโดยพลการ และพิสูจน์ได้ว่ามีประโยชน์เช่นกัน (ดูสูตรของโรดริเกซ )$${\displaystyle \int u^{(0)}v^{(n)}\,dx\quad }$$${\displaystyle \quad \int u^{(\ell )}v^{(n-\ell )}\,dx\quad }$${\displaystyle \quad \int u^{(m)}v^{(n-m)}\,dx\quad {\text{ for }}1\leq m,\ell \leq n}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$

กระบวนการสำคัญของสูตรข้างต้นสามารถสรุปเป็นตารางได้ วิธีการที่ได้เรียกว่า "การอินทิเกรตแบบตาราง" ^[5]และปรากฏในภาพยนตร์เรื่องStand and Deliver (1988) ^[6]

ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัล

$${\displaystyle \int x^{3}\cos x\,dx\quad }$$และนำ${\displaystyle \quad u^{(0)}=x^{3},\quad v^{(n)}=\cos x.}$

เริ่มแสดงรายการฟังก์ชันและอนุพันธ์ตาม ลำดับในคอลัมน์ Aจนกระทั่งถึงศูนย์ จากนั้นแสดงรายการฟังก์ชันและอินทิกรัลตามลำดับ ในคอลัมน์ Bจนกระทั่งขนาดของคอลัมน์Bเท่ากับขนาดของคอลัมน์Aผลลัพธ์จะเป็นดังนี้:${\displaystyle u^{(0)}=x^{3}}$${\displaystyle u^{(i)}}$${\displaystyle v^{(n)}=\cos x}$${\displaystyle v^{(n-i)}}$

# ฉัน	เข้าสู่ระบบ	ก. อนุพันธ์${\displaystyle u^{(i)}}$	บี: อินทิกรัล${\displaystyle v^{(n-i)}}$
0	-	${\displaystyle x^{3}}$	${\displaystyle \cos x}$
1	−	${\displaystyle 3x^{2}}$	${\displaystyle \sin x}$
2	-	${\displaystyle 6x}$	${\displaystyle -\cos x}$
3	−	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle -\sin x}$
4	-	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \cos x}$

ผลคูณของรายการในแถวiของคอลัมน์AและBร่วมกับเครื่องหมายที่เกี่ยวข้องจะให้ผลรวมที่เกี่ยวข้องในขั้นตอนiในระหว่างอินทิกรัลซ้ำโดยแบ่งส่วนขั้นตอนที่i = 0ให้ผลรวมดั้งเดิม สำหรับผลลัพธ์ที่สมบูรณ์ในขั้นตอนi > 0จะต้องเพิ่มอินทิกรัลที่ i เข้ากับผลคูณก่อนหน้าทั้งหมด ( 0 ≤ j < i ) ของรายการที่jของคอลัมน์ A และรายการที่( j + 1)ของคอลัมน์ B (กล่าวคือ คูณรายการที่ 1 ของคอลัมน์ A กับรายการที่ 2 ของคอลัมน์ B รายการที่ 2 ของคอลัมน์ A กับรายการที่ 3 ของคอลัมน์ B เป็นต้น ...) ด้วยเครื่องหมายที่j ที่กำหนด กระบวนการนี้จะหยุดลงโดยธรรมชาติ เมื่อผลคูณที่ให้ผลรวมเป็นศูนย์ ( i = 4ในตัวอย่าง) ผลลัพธ์ที่สมบูรณ์คือต่อไปนี้ (โดยมีเครื่องหมายสลับกันในแต่ละเทอม):

$${\displaystyle \underbrace {(+1)(x^{3})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(3x^{2})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {(+1)(6x)(-\sin x)} _{j=2}+\underbrace {(-1)(6)(\cos x)} _{j=3}+\underbrace {\int (+1)(0)(\cos x)\,dx} _{i=4:\;\to \;C}.}$$

สิ่งนี้ให้ผล

$${\displaystyle \underbrace {\int x^{3}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=x^{3}\sin x+3x^{2}\cos x-6x\sin x-6\cos x+C.}$$

การอินทิเกรตบางส่วนที่ทำซ้ำกันนั้นยังมีประโยชน์อีกด้วย เมื่ออยู่ระหว่างการแยกและอินทิเกรตฟังก์ชันตามลำดับและ ผลคูณของฟังก์ชันเหล่านั้นจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มของอินทิเกรตดั้งเดิม ในกรณีนี้ การทำซ้ำอาจสิ้นสุดลงด้วยดัชนีi ได้เช่นกัน ซึ่งอาจเกิดขึ้นได้กับฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันตรีโกณมิติ ดังที่คาดไว้ ตัวอย่างเช่น${\displaystyle u^{(i)}}$${\displaystyle v^{(n-i)}}$

$${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx.}$$

# ฉัน	เข้าสู่ระบบ	ก. อนุพันธ์${\displaystyle u^{(i)}}$	บี: อินทิกรัล${\displaystyle v^{(n-i)}}$
0	-	${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle \cos x}$
1	−	${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle \sin x}$
2	-	${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle -\cos x}$

ในกรณีนี้ ผลคูณของเทอมในคอลัมน์AและBที่มีเครื่องหมายเหมาะสมสำหรับดัชนีi = 2จะให้ผลลัพธ์เป็นลบของอินทิกรัลดั้งเดิม (เปรียบเทียบแถวi = 0 และi = 2 )

$${\displaystyle \underbrace {\int e^{x}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=\underbrace {(+1)(e^{x})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(e^{x})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {\int (+1)(e^{x})(-\cos x)\,dx} _{i=2}.}$$

เมื่อสังเกตว่าอินทิกรัลบน RHS สามารถมีค่าคงที่ของการอินทิกรัลของตัวเองได้และนำอินทิกรัลนามธรรมไปที่อีกด้านหนึ่ง จะได้:${\displaystyle C'}$

$${\displaystyle 2\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x+C',}$$

และสุดท้าย:

$${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx={\frac {1}{2}}\left(e^{x}(\sin x+\cos x)\right)+C,}$$

ที่ไหน.${\displaystyle C={\frac {C'}{2}}}$

การอินทิเกรตแบบแยกส่วนสามารถขยายไปยังฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวได้โดยการนำทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสมาใช้กับกฎผลคูณที่เหมาะสม มีการจับคู่ดังกล่าวได้หลายแบบในแคลคูลัสหลายตัวแปร ซึ่งเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันค่าสเกลาร์uและฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ (สนามเวกเตอร์) V [ ^7]

กฎของผลิตภัณฑ์สำหรับการแยกส่วนระบุว่า:

$${\displaystyle \nabla \cdot (u\mathbf {V} )\ =\ u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \ +\ \nabla u\cdot \mathbf {V} .}$$

สมมติว่าเป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตเปิดของที่มีขอบเขตเรียบเป็นชิ้น ๆการบูรณาการเหนือรูปแบบปริมาตรมาตรฐานและการใช้ทฤษฎีบทการแยกส่วนจะได้:${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma =\partial \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle d\Omega }$

$${\displaystyle \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma \ =\ \int _{\Omega }\nabla \cdot (u\mathbf {V} )\,d\Omega \ =\ \int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \,d\Omega \ +\ \int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {V} \,d\Omega ,}$$

โดยที่ เป็นเวกเตอร์ปกติหน่วยขาออกของขอบเขตที่บูรณาการกับรูปแบบปริมาตรรีมันเนียนมาตรฐานเมื่อจัดเรียงใหม่จะได้:${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$${\displaystyle d\Gamma }$

$${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {V} \,d\Omega ,}$$

หรืออีกนัยหนึ่ง ข้อกำหนดความสม่ำเสมอของทฤษฎีบทสามารถผ่อนปรนได้ ตัวอย่างเช่น ขอบเขต จำเป็นต้องเป็น แบบต่อเนื่องลิปชิตซ์เท่านั้นและฟังก์ชันu , v จะต้องอยู่ในปริภูมิโซโบเลฟเท่านั้น$${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\operatorname {div} (\mathbf {V} )\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }\operatorname {grad} (u)\cdot \mathbf {V} \,d\Omega .}$$${\displaystyle \Gamma =\partial \Omega }$ ${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$

พิจารณาสนามเวกเตอร์ที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องและโดยที่เป็นเวกเตอร์พื้นฐานมาตรฐานลำดับที่ i สำหรับ จากนั้นใช้การอินทิเกรตข้างต้นแบบแบ่งส่วนกับแต่ละคูณของสนามเวกเตอร์:${\displaystyle \mathbf {U} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +u_{n}\mathbf {e} _{n}}$${\displaystyle v\mathbf {e} _{1},\ldots ,v\mathbf {e} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle v\mathbf {e} _{i}}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }u_{i}{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u_{i}v\,\mathbf {e} _{i}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}v\,d\Omega .}$$

การสรุปผลiจะให้สูตรอินทิเกรตแบบแบ่งส่วนใหม่:

$${\displaystyle \int _{\Omega }\mathbf {U} \cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }v\mathbf {U} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }v\,\nabla \cdot \mathbf {U} \,d\Omega .}$$

กรณีที่เป็นที่รู้จักในฐานะตัวตนแรกของกรีน :${\displaystyle \mathbf {U} =\nabla u}$${\displaystyle u\in C^{2}({\bar {\Omega }})}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }v\,\nabla u\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }v\,\nabla ^{2}u\,d\Omega .}$$

• การอินทิกรัลโดยชิ้นส่วนสำหรับอินทิกรัล Lebesgue–Stieltjes
• การอินทิเกรตแบบแยกส่วนสำหรับเซมิมาร์ติงเกลซึ่งเกี่ยวข้องกับความแปรปรวนร่วมกำลังสอง
• การอินทิเกรตโดยการแทนที่
• การแปลงร่างของเลอฌ็องดร์

• Louis Brand (10 ตุลาคม 2013) แคลคูลัสขั้นสูง: บทนำสู่การวิเคราะห์แบบคลาสสิก Courier Corporation หน้า 267– ISBN 978-0-486-15799-3-
• Hoffmann, Laurence D.; Bradley, Gerald L. (2004). แคลคูลัสสำหรับธุรกิจ เศรษฐศาสตร์ สังคมศาสตร์ และวิทยาศาสตร์ชีวภาพ (พิมพ์ครั้งที่ 8) หน้า 450–464 ISBN 0-07-242432-X-
• Willard, Stephen (1976). แคลคูลัสและการประยุกต์ใช้บอสตัน: Prindle, Weber & Schmidt หน้า 193–214 ISBN 0-87150-203-8-
• วอชิงตัน, อัลลิน เจ. (1966). แคลคูลัสทางเทคนิคพร้อมเรขาคณิตวิเคราะห์การอ่าน: แอดดิสัน-เวสลีย์ หน้า 218–245 ISBN 0-8465-8603-7-