วงเล็บโมยัล

ส่วนหนึ่งของชุดบทความเกี่ยวกับ
กลศาสตร์ควอนตัม
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ สมการของชเรอดิงเงอร์
การแนะนำ คำศัพท์ ประวัติศาสตร์
พื้นหลัง กลศาสตร์คลาสสิก ทฤษฎีควอนตัมเก่า สัญกรณ์บรา-เกต แฮมิลตัน การรบกวน
พื้นฐาน ความสมบูรณ์แบบ การสูญเสียความสอดคล้อง การพันกัน ระดับพลังงาน การวัด ความไม่เฉพาะถิ่น เลขควอนตัม สถานะ การซ้อนทับ สมมาตร การขุดอุโมงค์ ความไม่แน่นอน ฟังก์ชันคลื่น ทรุด
การทดลอง ความไม่เท่าเทียมของเบลล์ ความไม่เท่าเทียมของ CHSH เดวิสสัน–เกอร์เมอร์ ช่องผ่าคู่ เอลีเซอร์–ไวด์แมน แฟรงค์-เฮิรตซ์ ความไม่เท่าเทียมของเลกเกตต์ ความไม่เท่าเทียมระหว่าง Leggett และ Garg มัค-เซนเดอร์ ป๊อปเปอร์ ยางลบควอนตัม การเลือกที่ล่าช้า แมวของชเรอดิงเงอร์ สเติร์น-เกอร์ลาช การเลือกที่ล่าช้าของวีลเลอร์
สูตรการผลิต ภาพรวม ไฮเซนเบิร์ก ปฏิสัมพันธ์ เมทริกซ์ เฟสสเปซ ชเรอดิงเงอร์ ผลรวมของประวัติ (อินทิกรัลเส้นทาง)
สมการ ดิรัก ไคลน์-กอร์ดอน เปาลี ริดเบิร์ก ชเรอดิงเงอร์
การตีความ เบย์เซียน ประวัติศาสตร์ที่สอดคล้องกัน โคเปนเฮเกน เดอ บรอยล์–โบห์ม วงดนตรี ตัวแปรที่ซ่อนอยู่ ท้องถิ่น ลัทธิการกำหนดล่วงหน้า หลายโลก วัตถุประสงค์-การล่มสลาย ตรรกะควอนตัม ความสัมพันธ์ การทำธุรกรรม ฟอน นอยมันน์–วิกเนอร์
หัวข้อขั้นสูง กลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพันธภาพ ทฤษฎีสนามควอนตัม วิทยาศาสตร์ข้อมูลควอนตัม การคำนวณแบบควอนตัม ความโกลาหลควอนตัม ความขัดแย้ง EPR เมทริกซ์ความหนาแน่น ทฤษฎีการกระเจิง กลศาสตร์สถิติควอนตัม การเรียนรู้ของเครื่องควอนตัม
นักวิทยาศาสตร์ อาฮาโรนอฟ กระดิ่ง เบเธ แบล็กเก็ตต์ บล็อค โบห์ม โบร์ เกิด โบส เดอ บรอยล์ คอมป์ตัน ดิรัก เดวิสสัน เดอบาย เอเรนเฟสต์ ไอน์สไตน์ เอเวอเร็ตต์ ฟ็อก แฟร์มี ไฟน์แมน กลอเบอร์ กัตซ์วิลเลอร์ ไฮเซนเบิร์ก ฮิลเบิร์ต จอร์แดน ครามเมอร์ส เนื้อแกะ ลันเดา เลาเอ โมเสลีย์ มิลลิแกน ออนเนส เปาลี พลังค์ ราบี รามัน ริดเบิร์ก ชเรอดิงเงอร์ ซิมมอนส์ ซอมเมอร์เฟลด์ ฟอน นอยมันน์ ไวล์ เวียนนา วิกเนอร์ ซีมาน ไซลิงเกอร์
วี ที อี

ในฟิสิกส์วงเล็บMoyalคือความแอนตี้สมมาตรของผลิตภัณฑ์ดาว ในอวกาศ เฟส ที่ได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานอย่างเหมาะสม

วงเล็บ Moyal ได้รับการพัฒนาในราวปีพ.ศ. 2483 โดยJosé Enrique Moyalแต่ Moyal ประสบความสำเร็จในการตีพิมพ์ผลงานของเขาในปีพ.ศ. 2492 หลังจากมีข้อพิพาทยาวนานกับPaul Dirac [ ^{1] [2]} ในระหว่างนั้น แนวคิดนี้ได้รับการแนะนำโดยอิสระในปีพ.ศ. 2489 โดยHip Groenewold [ ^3]

วงเล็บ Moyal เป็นวิธีหนึ่งในการอธิบายคอมมิวเตเตอร์ของค่าที่สังเกตได้ในการกำหนดสูตรของปริภูมิเฟสของกลศาสตร์ควอนตัมเมื่อค่าที่สังเกตได้เหล่านี้ถูกอธิบายเป็นฟังก์ชันบนปริภูมิเฟสวงเล็บนี้ใช้รูปแบบสำหรับการระบุฟังก์ชันบนปริภูมิเฟสด้วยค่าที่สังเกตได้ของควอนตัม โดยรูปแบบที่มีชื่อเสียงที่สุดคือการแปลงวิกเนอร์–ไวล์ วงเล็บนี้ เป็นพื้นฐานของสมการไดนามิกของ Moyalซึ่งเป็นการกำหนดสูตรเทียบเท่ากับสมการควอนตัมของการเคลื่อนที่ของไฮเซนเบิร์กจึงให้การสรุปทั่วไปเชิงควอนตัมของ สม การ ของแฮมิลตัน

ทางคณิตศาสตร์ เป็นการบิดเบือนวงเล็บปัวซองในปริภูมิเฟส(โดยพื้นฐานแล้ว เป็น ส่วนขยายของวงเล็บปัวซอง) โดยพารามิเตอร์การบิดเบือนคือค่าคงที่ของพลังค์ ที่ลดลง ħดังนั้นการหดตัวของกลุ่ม ħ →0 จึงให้พีชคณิตลีของวงเล็บปัว ซอง

วงเล็บ Moyal เป็นการเปลี่ยนรูปของพีชคณิตลีแบบพารามิเตอร์เดียวที่ไม่ซ้ำใครของวงเล็บปัวซองจนถึงระดับความเท่าเทียมอย่างเป็นทางการ การแปรสภาพพีชคณิตของวงเล็บ Moyal กับพีชคณิตของตัวสับเปลี่ยนนั้นข้ามผลลัพธ์เชิงลบของทฤษฎีบท Groenewold–van Hove ซึ่งขัดขวางการแปรสภาพดังกล่าวสำหรับวงเล็บปัวซอง ซึ่งเป็นคำถามที่ Dirac หยิบยกขึ้นมาโดยปริยายในวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของเขาในปี 1926 ^[4] "วิธีการเปรียบเทียบแบบคลาสสิก" สำหรับการหาปริมาณ^[5]

ตัวอย่างเช่น ในพื้นที่เฟส แบนสองมิติ และสำหรับการโต้ตอบของ Weyl-mapวงเล็บ Moyal อ่านว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}\{\{f,g\}\}&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{i\hbar }}(f\star g-g\star f)\\&=\{f,g\}+O(\hbar ^{2}),\\\end{aligned}}}$

โดยที่ ★คือตัวดำเนินการผลคูณดาวในปริภูมิเฟส (เทียบกับผลคูณของ Moyal ) ในขณะที่f และgคือฟังก์ชันปริภูมิเฟสที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และ{ f , g }คือวงเล็บปัวซองของฟังก์ชันเหล่านี้^[6]

โดยเฉพาะอย่างยิ่งในภาษา แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ นี่เท่ากับ

ลูกศรซ้ายและขวาเหนืออนุพันธ์ย่อยหมายถึงอนุพันธ์ย่อยซ้ายและขวา บางครั้งวงเล็บ Moyal จะถูกเรียกว่าวงเล็บ Sine

การแสดงอินทิกรัล (ฟูริเยร์) ที่เป็นที่นิยมสำหรับมัน แนะนำโดยจอร์จ เบเกอร์^[7]คือ

${\displaystyle \{\{f,g\}\}(x,p)={2 \over \hbar ^{3}\pi ^{2}}\int dp'\,dp''\,dx'\,dx''f(x+x',p+p')g(x+x'',p+p'')\sin \left({\tfrac {2}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)~.}$

แผนที่การติดต่อแต่ละแผนที่จากปริภูมิเฟสไปยังปริภูมิฮิลเบิร์ตจะทำให้เกิดวงเล็บ "Moyal" ที่มีลักษณะเฉพาะ (เช่น วงเล็บที่แสดงไว้ที่นี่สำหรับแผนที่ Weyl) วงเล็บ Moyal ทั้งหมดนั้นเทียบเท่ากันอย่างเป็นทางการตามทฤษฎีเชิงระบบ^[8]

วงเล็บ Moyal ระบุ พีชคณิตลี มิติอนันต์ที่มีชื่อเดียวกัน ซึ่งไม่สมมาตรในอาร์กิวเมนต์f และgและเป็นไปตามเอกลักษณ์ของจาโคบีพีชคณิตลีนามธรรมที่สอดคล้องกันเกิดขึ้นได้จากT _f ≡ f ★ดังนั้น

${\displaystyle [T_{f}~,T_{g}]=T_{i\hbar \{\{f,g\}\}}.}$

บนปริภูมิเฟส 2 ทอรัสT ²ที่มีพิกัดxและp เป็นระยะ ๆ โดย แต่ละพิกัดอยู่ใน[0,2 π ]และดัชนีโหมดจำนวนเต็มm _iสำหรับฟังก์ชันพื้นฐานexp( i ( m ₁ x + m ₂ p ))พีชคณิตลีนี้จะอ่านว่า^[9]

${\displaystyle [T_{m_{1},m_{2}}~,T_{n_{1},n_{2}}]=2i\sin \left({\tfrac {\hbar }{2}}(n_{1}m_{2}-n_{2}m_{1})\right)~T_{m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2}},~}$

ซึ่งลดลงเหลือSU ( N ) สำหรับจำนวนเต็มN  ≡ 4 π/ħจาก นั้น SU ( N ) จะปรากฏเป็นการบิดเบือนของSU (∞) โดยมีพารามิเตอร์การบิดเบือน 1 / N

การสรุปความทั่วไปของวงเล็บ Moyal สำหรับระบบควอนตัมที่มีข้อจำกัดระดับที่สองเกี่ยวข้องกับการดำเนินการกับคลาสความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันในปริภูมิเฟส^[10]ซึ่งสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการเสียรูปควอนตัมของ วงเล็บDirac

นอกเหนือไปจากวงเล็บไซน์ที่กล่าวถึงแล้ว Groenewold ยังได้แนะนำเพิ่มเติม^[3]วงเล็บโคไซน์ ซึ่งอธิบายเพิ่มเติมโดย Baker ^{[7] [11]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\{\{\{f,g\}\}\}&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\tfrac {1}{2}}(f\star g+g\star f)=fg+O(\hbar ^{2}).\\\end{aligned}}}$

ที่นี่อีกครั้ง★คือตัวดำเนินการผลคูณดาวในปริภูมิเฟสf และgเป็นฟังก์ชันปริภูมิเฟสที่หาอนุพันธ์ได้ และf gคือผลคูณสามัญ

วงเล็บไซน์และโคไซน์เป็นผลลัพธ์ของการแอนตี้สมมาตรและสมมาตรของผลิตภัณฑ์ดาวตามลำดับ ดังนั้น เนื่องจากวงเล็บไซน์คือแผนที่วิกเนอร์ ของคอมมิวเตเตอร์ วงเล็บโคไซน์จึงเป็นภาพวิกเนอร์ของแอนตี้คอมมิวเตเตอร์ในกลศาสตร์ควอนตัมมาตรฐาน ในทำนองเดียวกัน เนื่องจากวงเล็บโมยาลมีค่าเท่ากับวงเล็บปัวซองจนถึงอันดับที่สูงขึ้นของħวงเล็บโคไซน์จึงมีค่าเท่ากับผลิตภัณฑ์สามัญจนถึงอันดับที่สูงขึ้นของħในลิมิตแบบคลาสสิกวงเล็บโมยาลช่วยลดสมการลิอูวิลล์ (กำหนดในรูปของวงเล็บปัวซอง)เนื่องจากวงเล็บโคไซน์นำไปสู่สมการแฮมิลตัน–จาโคบีแบบ คลาสสิก ^[12]

วงเล็บไซน์และโคไซน์ยังมีความสัมพันธ์กับสมการของคำอธิบายเชิงพีชคณิตล้วนๆของกลศาสตร์ควอนตัม อีกด้วย ^{[12] [13]}