ทฤษฎีวงแหวน

ในพีชคณิตทฤษฎีริงเป็นการศึกษาเกี่ยวกับริงซึ่ง เป็น โครงสร้างพีชคณิตที่การบวกและการคูณถูกกำหนดขึ้น และมีคุณสมบัติคล้ายคลึงกับการดำเนินการที่กำหนดไว้สำหรับจำนวนเต็มทฤษฎีริงศึกษาโครงสร้างของริงการแสดงแทนหรือในภาษาอื่นๆ ก็ คือ โมดูลคลาสพิเศษของริง ( ริงกลุ่มริงการหาร พีชคณิตห่อหุ้มสากล ) โครงสร้างที่เกี่ยวข้อง เช่นrngตลอดจนอาร์เรย์ของคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วว่าน่าสนใจทั้งภายในทฤษฎีเองและสำหรับการใช้งาน เช่นคุณสมบัติโฮโมโลยีและเอกลักษณ์พหุนาม

วงแหวนสับเปลี่ยนนั้นเข้าใจได้ดีกว่าวงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยนมากเรขาคณิตพีชคณิตและทฤษฎีจำนวนพีชคณิตซึ่งให้ตัวอย่างตามธรรมชาติมากมายของวงแหวนสับเปลี่ยน ได้ขับเคลื่อนการพัฒนาทฤษฎีวงแหวนสับเปลี่ยนเป็นอย่างมาก ซึ่งปัจจุบันอยู่ภายใต้ชื่อพีชคณิตสับเปลี่ยนซึ่งเป็นสาขาหลักของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เนื่องจากทั้งสามสาขานี้ (เรขาคณิตพีชคณิต ทฤษฎีจำนวนพีชคณิต และพีชคณิตสับเปลี่ยน) มีความเชื่อมโยงกันอย่างใกล้ชิด จึงมักเป็นเรื่องยากและไม่มีความหมายที่จะตัดสินว่าผลลัพธ์เฉพาะนั้นอยู่ในสาขาใด ตัวอย่างเช่นNullstellensatz ของฮิลเบิร์ตเป็นทฤษฎีบทที่เป็นพื้นฐานของเรขาคณิตพีชคณิต และได้รับการกล่าวและพิสูจน์ในรูปของพีชคณิตสับเปลี่ยน ในทำนองเดียวกันทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้รับการกล่าวในรูปของเลขคณิต เบื้องต้น ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของพีชคณิตสับเปลี่ยน แต่การพิสูจน์นั้นเกี่ยวข้องกับผลลัพธ์เชิงลึกของทั้งทฤษฎีจำนวนพีชคณิตและเรขาคณิตพีชคณิต

วงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยนมีลักษณะที่แตกต่างกันมาก เนื่องจากพฤติกรรมที่ผิดปกติอาจเกิดขึ้นได้ แม้ว่าทฤษฎีนี้จะได้รับการพัฒนาในตัวเอง แต่แนวโน้มล่าสุดได้พยายามที่จะขนานไปกับพัฒนาการของการสับเปลี่ยนโดยการสร้างทฤษฎีของคลาสวงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยนบางคลาสในลักษณะทางเรขาคณิตราวกับว่าพวกมันเป็นวงแหวนของฟังก์ชันบน 'ปริภูมิที่ไม่สับเปลี่ยน' (ซึ่งไม่มีอยู่จริง) แนวโน้มนี้เริ่มต้นขึ้นในช่วงทศวรรษ 1980 ด้วยการพัฒนาเรขาคณิตที่ไม่สับเปลี่ยนและการค้นพบกลุ่มควอนตัมส่งผลให้มีความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับวงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยน โดยเฉพาะวงแหวน Noetherian ที่ไม่ สับเปลี่ยน^[1]

สำหรับคำจำกัดความของวงแหวน แนวคิดพื้นฐานและคุณสมบัติของวงแหวน โปรดดูที่วงแหวน (คณิตศาสตร์)คำจำกัดความของคำศัพท์ที่ใช้ตลอดทฤษฎีวงแหวนสามารถพบได้ในคำศัพท์ของทฤษฎีวงแหวน

วงแหวนจะเรียกว่าการสับเปลี่ยนหากการคูณของวงแหวนนั้นเป็นการสับเปลี่ยนวงแหวนสับเปลี่ยนนั้นคล้ายกับระบบตัวเลขที่คุ้นเคย และคำจำกัดความต่างๆ สำหรับวงแหวนสับเปลี่ยนนั้นได้รับการออกแบบมาเพื่อทำให้คุณสมบัติของจำนวนเต็ม เป็นทางการ วงแหวนสับเปลี่ยนยังมีความสำคัญในเรขาคณิตพีชคณิต อีกด้วย ในทฤษฎีวงแหวนสับเปลี่ยน ตัวเลขมักจะถูกแทนที่ด้วยอุดมคติและคำจำกัดความของอุดมคติเฉพาะพยายามที่จะจับสาระสำคัญของจำนวนเฉพาะโดเมนอินทิกรัล วงแหวนสับเปลี่ยนที่ไม่ธรรมดา ซึ่งไม่มีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวคูณกันจนได้ศูนย์ ขยายคุณสมบัติอื่นของจำนวนเต็ม และทำหน้าที่เป็นขอบเขตที่เหมาะสมในการศึกษาการหาร โดเมนอุดมคติหลักคือโดเมนอินทิกรัลที่อุดมคติทุกอันสามารถสร้างได้โดยองค์ประกอบเดียว ซึ่งเป็นคุณสมบัติอื่นที่จำนวนเต็มมีร่วมกันโดเมนยูคลิดคือโดเมนอินทิกรัลที่ สามารถดำเนินการ อัลกอริทึมยูคลิดได้ ตัวอย่างที่สำคัญของวงแหวนสับเปลี่ยนสามารถสร้างได้เป็นวงแหวนของพหุนามและวงแหวนตัวประกอบของพวกมัน บทสรุป: โดเมนยูคลิด ⊂ โดเมนอุดมคติหลัก ⊂ โดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะตัว ⊂ โดเมนอินทิกรัล ⊂ ริงสับเปลี่ยน

เรขาคณิตพีชคณิตเป็นภาพสะท้อนของพีชคณิตการสับเปลี่ยนในหลายๆ ด้าน ความสอดคล้องนี้เริ่มต้นด้วยNullstellensatz ของฮิลเบิร์ตซึ่งสร้างความสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดของความหลากหลายทางพีชคณิตและอุดมคติสูงสุดของวงแหวนพิกัดความสอดคล้องนี้ได้รับการขยายและจัดระบบเพื่อแปล (และพิสูจน์) คุณสมบัติทางเรขาคณิตส่วนใหญ่ของความหลากหลายทางพีชคณิตเป็นคุณสมบัติทางพีชคณิตของวงแหวนสับเปลี่ยนที่เกี่ยวข้องอเล็กซานเดอร์ โกรเธ็นดิเอคทำให้สิ่งนี้สมบูรณ์โดยแนะนำโครงร่างซึ่งเป็นการสรุปทั่วไปของความหลากหลายทางพีชคณิต ซึ่งอาจสร้างจากวงแหวนสับเปลี่ยนใดๆ ก็ได้ กล่าวอย่างแม่นยำยิ่งขึ้นสเปกตรัมของวงแหวนสับเปลี่ยนคือพื้นที่ของอุดมคติเฉพาะของมันที่ติดตั้งด้วยโทโพโลยีซาริสกี้และเพิ่มด้วยมัดของวงแหวน วัตถุเหล่านี้คือ "โครงร่างแบบแอฟฟีน" (การสรุปลักษณะทั่วไปของโครงร่างแบบแอฟฟีน ) และโครงร่างทั่วไปจะได้มาโดยการ "เชื่อม" โครงร่างแบบแอฟฟีนหลายๆ โครงร่างเข้าด้วยกัน (โดยใช้วิธีการทางพีชคณิตล้วนๆ) โดยเปรียบเทียบกับวิธีการสร้างท่อร่วมโดยการติดกาวแผนภูมิของแผนที่ เข้าด้วย กัน

วงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยนนั้นคล้ายกับวงแหวนของเมทริกซ์ในหลายๆ ด้าน โดยทำตามแบบจำลองของเรขาคณิตพีชคณิตเมื่อไม่นานมานี้ได้มีความพยายามในการกำหนดเรขาคณิตที่ไม่สับเปลี่ยนโดยอิงจากวงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยน วงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยนและพีชคณิตเชิงเชื่อมโยง (วงแหวนที่เป็นปริภูมิเวกเตอร์ ด้วย ) มักถูกศึกษาผ่านหมวดหมู่ของโมดูล โมดูลเหนือวงแหวนเป็นกลุ่ม อาเบเลียน ที่วงแหวนทำหน้าที่เหมือนวงแหวนของเอนโดมอร์ฟิซึมซึ่งคล้ายคลึงกับวิธีที่ฟิลด์ (โดเมนอินทิกรัลซึ่งองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวสามารถผกผันได้) ทำหน้าที่บนปริภูมิเวกเตอร์ ตัวอย่างของวงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยนนั้นแสดงโดยวงแหวนของเมทริกซ์ สี่เหลี่ยม หรือโดยทั่วไปแล้วคือวงแหวนของเอนโดมอร์ฟิซึมของกลุ่มอาเบเลียนหรือโมดูล และโดยวงแหวนมอนอย ด์

ทฤษฎีการแทนค่าเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ดึงเอาริงที่ไม่สับเปลี่ยนมาใช้เป็นอย่างมาก ทฤษฎีนี้ศึกษาโครงสร้างพีชคณิตนามธรรม โดยแสดงองค์ประกอบของมันในรูปแบบการแปลงเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์และศึกษา โมดูลต่างๆเหนือโครงสร้างพีชคณิตนามธรรมเหล่านี้ โดยพื้นฐานแล้ว การแสดงค่าทำให้วัตถุพีชคณิตนามธรรมเป็นรูปธรรมมากขึ้นโดยการอธิบายองค์ประกอบของมันด้วยเมทริกซ์และการดำเนินการพีชคณิตในแง่ของการบวกเมทริกซ์และการคูณเมทริกซ์ซึ่งไม่สับเปลี่ยน วัตถุ พีชคณิตที่สามารถอธิบายได้ดังกล่าว ได้แก่กลุ่มพีชคณิตเชิงเชื่อมโยงและพีชคณิตลี ทฤษฎี การแสดงค่า ที่โดดเด่นที่สุด (และในประวัติศาสตร์เป็นอันดับแรก) คือทฤษฎีการแสดงค่าของกลุ่มซึ่งองค์ประกอบของกลุ่มแสดงด้วยเมทริกซ์ผกผันในลักษณะที่การดำเนินการกลุ่มคือการคูณเมทริกซ์

ทั่วไป

• ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับวงแหวน
• เล็มมาของนากายามะ

ทฤษฎีบทโครงสร้าง

• ทฤษฎีบท อาร์ทิน–เวดเดอร์เบิร์นกำหนดโครงสร้างของวงแหวนกึ่งเรียบง่าย
• ทฤษฎีบทความหนาแน่นของจาคอบสันกำหนดโครงสร้างของวงแหวนดั้งเดิม
• ทฤษฎีบทของโกลดี้กำหนดโครงสร้างของวงแหวนโกลดี้กึ่งไพรม์
• ทฤษฎีบทซาริสกี้–ซามูเอลกำหนดโครงสร้างของริงอุดมคติหลัก สับเปลี่ยน
• ทฤษฎีบทของฮอปกินส์–เลวิตซ์กี้ให้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับแหวนโนเอเธอเรียนที่จะเป็นแหวนอาร์ทิเนียน
• ทฤษฎีโมริตะประกอบด้วยทฤษฎีบทที่กำหนดว่าเมื่อใดแหวนสองวงจึงมีหมวดหมู่โมดูลที่ "เทียบเท่ากัน"
• ทฤษฎีบท Cartan–Brauer–Huaให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับโครงสร้างของวงแหวนการแบ่ง
• ทฤษฎีบทเล็กของเวดเดอร์เบิร์นระบุว่าโดเมน จำกัด เป็นฟิลด์

อื่น

• ทฤษฎีบทสโคเลม–โนอีเธอร์กำหนดลักษณะอัตลักษณ์ของวงแหวนธรรมดา

ในส่วนนี้Rหมายถึงริงสับเปลี่ยนมิติของครัลล์ของRคือค่าสูงสุดของความยาวnของห่วงโซ่ทั้งหมดของอุดมคติเฉพาะปรากฏว่าริงพหุนามเหนือฟิลด์kมีมิติnทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีมิติระบุว่าตัวเลขต่อไปนี้ตรงกันสำหรับริงท้องถิ่นโนเอเธอเรียน: ^[2]${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}}$${\displaystyle k[t_{1},\cdots ,t_{n}]}$${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$

• มิติครุลล์ของR
• จำนวนน้อยที่สุดของเครื่องกำเนิดอุดมคติหลัก${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
• มิติของริงที่ถูกไล่ระดับ(เทียบเท่ากับ 1 บวกดีกรีของพหุนามฮิลเบิร์ต )${\displaystyle \textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m}}^{k+1}}}$

วงแหวนสับเปลี่ยนRเรียกว่าเป็นโซ่เชื่อมโยงถ้าสำหรับอุดมคติเฉพาะทุกคู่มีห่วงโซ่จำกัดของอุดมคติเฉพาะที่มีค่าสูงสุดในแง่ที่ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะแทรกอุดมคติเฉพาะเพิ่มเติมระหว่างอุดมคติสองอันในห่วงโซ่ และห่วงโซ่สูงสุดทั้งหมดระหว่างและ มีความยาวเท่ากัน วงแหวนโนเอเธอเรียนแทบทั้งหมดที่ปรากฏในแอปพลิเคชันเป็นโซ่เชื่อมโยง รัทลิฟฟ์พิสูจน์ว่าโดเมนอินทิกรัลท้องถิ่นโนเอเธอเรียนRเป็นโซ่เชื่อมโยง ก็ต่อเมื่อ สำหรับอุดมคติเฉพาะทุกอัน${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \operatorname {dim} R=\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}+\operatorname {dim} R/{\mathfrak {p}}}$

ความสูงของ อยู่ ที่ไหน^[3 ]${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

หากRเป็นโดเมนอินทิกรัลที่เป็น พีชคณิต k ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด มิติของ R คือดีกรีความเหนือกว่าของฟิลด์เศษส่วนเหนือkหากSเป็นส่วนขยายอินทิกรัลของริงสับเปลี่ยนRดังนั้นSและRจะมีมิติเดียวกัน

แนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดคือแนวคิดเรื่องความลึกและมิติทั่วไปโดยทั่วไป หากRเป็นวงแหวนท้องถิ่นแบบโนเอเธอเรียน ความลึกของRจะน้อยกว่าหรือเท่ากับมิติของRเมื่อความเท่าเทียมกันเกิดขึ้นRจะถูกเรียกว่าวงแหวนโคเฮน–แมคคอเลย์วงแหวนท้องถิ่นปกติเป็นตัวอย่างของวงแหวนโคเฮน–แมคคอเลย์ ทฤษฎีบทของเซร์ระบุว่าRเป็นวงแหวนท้องถิ่นปกติก็ต่อเมื่อมีมิติทั่วไปจำกัด และในกรณีนั้น มิติทั่วไปคือมิติครัลล์ของRความสำคัญของสิ่งนี้คือ มิติทั่วไปเป็นแนวคิด ที่คล้ายคลึงกัน

วงแหวนสองวงRและSเรียกว่าเทียบเท่ากับโมริตะหากหมวดหมู่ของโมดูลด้านซ้ายเหนือRเทียบเท่ากับหมวดหมู่ของโมดูลด้านซ้ายเหนือSในความเป็นจริง วงแหวนสับเปลี่ยนสองวงที่เทียบเท่ากับโมริตะจะต้องเป็นไอโซมอร์ฟิก ดังนั้นแนวคิดนี้จึงไม่เพิ่มสิ่งใหม่ให้กับหมวดหมู่ของวงแหวนสับเปลี่ยน อย่างไรก็ตาม วงแหวนสับเปลี่ยนสามารถเทียบเท่ากับโมริตะกับวงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยนได้ ดังนั้นความเท่าเทียมของโมริตะจึงหยาบกว่าไอโซมอร์ฟิก ความเท่าเทียมของโมริตะมีความสำคัญอย่างยิ่งในโทโพโลยีพีชคณิตและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

ให้Rเป็นริงสับเปลี่ยนและเซตของคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของโมดูลโปรเจกทีฟ ที่สร้างจำกัด เหนือRให้เซตย่อยที่ประกอบด้วยค่าคงที่n (ค่าคงที่ของโมดูลMคือฟังก์ชันต่อเนื่อง^[4] ) มักแสดงด้วย Pic( R )ซึ่งเป็นกลุ่มอาเบเลียนที่เรียกว่ากลุ่มพิการ์ดของR ^[5]หากRเป็นโดเมนอินทิกรัลที่มีฟิลด์เศษส่วนFของR จะมีลำดับกลุ่มที่แน่นอน: ^[6]${\displaystyle \mathbf {P} (R)}$${\displaystyle \mathbf {P} _{n}(R)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} R\to \mathbb {Z} ,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \dim M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle \mathbf {P} _{1}(R)}$

${\displaystyle 1\to R^{*}\to F^{*}{\overset {f\mapsto fR}{\to }}\operatorname {Cart} (R)\to \operatorname {Pic} (R)\to 1}$

ที่เป็นเซตของอุดมคติเศษส่วนของRหากRเป็น โดเมน ปกติ (กล่าวคือ ปกติที่อุดมคติเฉพาะใดๆ) ดังนั้น Pic(R) คือกลุ่มคลาสตัวหารของR อย่างแม่นยำ ^[7]${\displaystyle \operatorname {Cart} (R)}$

ตัวอย่างเช่น หากRเป็นโดเมนอุดมคติหลัก Pic( R ) จะหายไป ในทฤษฎีจำนวนพีชคณิตRจะถือว่าเป็นริงของจำนวนเต็มซึ่งเป็นเดเดคินด์และจึงสม่ำเสมอ ดังนั้น Pic( R ) จึงเป็นกลุ่มจำกัด ( ความจำกัดของจำนวนคลาส ) ที่วัดความเบี่ยงเบนของริงของจำนวนเต็มจากการเป็น PID

นอกจากนี้ยังสามารถพิจารณาการเติมเต็มกลุ่มของซึ่งจะส่งผลให้เกิดริงสับเปลี่ยน K ₀ (R) โปรดสังเกตว่า K ₀ (R) = K ₀ (S) หากริงสับเปลี่ยนสองวงR , Sเทียบเท่ากับโมริตะ${\displaystyle \mathbf {P} (R)}$

โครงสร้างของริงที่ไม่สับเปลี่ยนมีความซับซ้อนมากกว่าริงที่สับเปลี่ยน ตัวอย่างเช่น มี ริง ธรรมดาที่ไม่มีอุดมคติเฉพาะ (สองด้าน) ที่ไม่สำคัญ แต่กลับมีอุดมคติเฉพาะซ้ายหรือขวาที่ไม่สำคัญ มีค่าคงที่ต่างๆ สำหรับริงที่สับเปลี่ยน ในขณะที่ค่าคงที่ของริงที่ไม่สับเปลี่ยนนั้นหาได้ยาก ตัวอย่างเช่น นิลเรดิคัลของริงเซตขององค์ประกอบที่ไม่สับเปลี่ยนทั้งหมด ไม่จำเป็นต้องเป็นอุดมคติ เว้นแต่ว่าริงจะสับเปลี่ยน กล่าวคือ เซตขององค์ประกอบที่ไม่สับเปลี่ยนทั้งหมดในริงของ เมทริกซ์ n × n ทั้งหมด เหนือริงหารจะไม่สร้างอุดมคติ โดยไม่คำนึงถึงริงหารที่เลือก อย่างไรก็ตาม มีนิลเรดิคัลที่คล้ายคลึงกันซึ่งกำหนดไว้สำหรับริงที่ไม่สับเปลี่ยน ซึ่งสอดคล้องกับนิลเรดิคัลเมื่อถือว่ามีการสับเปลี่ยน

ตัวอย่างหนึ่งคือ แนวคิดของอนุมูลจาโคบสันของวงแหวน ซึ่งก็คือ การตัดกันของตัวทำลายล้าง ด้านขวา (ซ้าย) ทั้งหมด ของ โมดูลด้านขวา (ซ้าย) ที่เรียบง่ายบนวงแหวน ข้อเท็จจริงที่ว่าอนุมูลจาโคบสันสามารถมองได้ว่าเป็นจุดตัดกันของอุดมคติสูงสุดด้านขวา (ซ้าย) ทั้งหมดในวงแหวน แสดงให้เห็นว่าโครงสร้างภายในของวงแหวนสะท้อนให้เห็นโดยโมดูลต่างๆ ของวงแหวนอย่างไร นอกจากนี้ ยังเป็นข้อเท็จจริงที่ว่าการตัดกันของอุดมคติสูงสุดด้านขวาทั้งหมดในวงแหวนนั้นเหมือนกับการตัดกันของอุดมคติสูงสุดด้านซ้ายทั้งหมดในวงแหวน ในบริบทของวงแหวนทั้งหมด โดยไม่คำนึงว่าวงแหวนนั้นสับเปลี่ยนได้หรือไม่

วงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยนถือเป็นสาขาการวิจัยที่ได้รับความสนใจเนื่องจากวงแหวนเหล่านี้มีอยู่ทั่วไปในทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น วงแหวนของเมทริกซ์ขนาด nxn บนฟิลด์จะไม่สับเปลี่ยนแม้ว่าจะเกิดขึ้นตามธรรมชาติในเรขาคณิต ฟิสิกส์และส่วนต่างๆมากมายของคณิตศาสตร์โดยทั่วไปแล้ววงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของกลุ่มอาเบเลียนจะไม่ค่อยสับเปลี่ยน ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของกลุ่มสี่กลุ่มไคลน์

วงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยนอย่างแท้จริงและเป็นที่รู้จักดีที่สุดคือควอเทอร์เนียน

หากXเป็นวาไรตี้พีชคณิตแบบอะฟฟีน เซตของฟังก์ชันปกติทั้งหมดบนXจะสร้างวงแหวนที่เรียกว่าวงแหวนพิกัดของXสำหรับวาไรตี้แบบโปรเจกทีฟจะมีวงแหวนที่มีลักษณะคล้ายกันที่เรียกว่าวงแหวนพิกัดแบบเนื้อเดียวกันวงแหวนเหล่านี้เป็นสิ่งเดียวกันกับวาไรตี้โดยพื้นฐานแล้ว พวกมันสอดคล้องกันในลักษณะเฉพาะตัวโดยพื้นฐาน ซึ่งอาจเห็นได้จากNullstellensatz ของฮิลเบิร์ตหรือโครงสร้างทางทฤษฎีโครงร่าง (เช่น Spec และ Proj)

คำถามพื้นฐาน (และอาจเป็นคำถามพื้นฐานที่สุด) ในทฤษฎีคงตัว แบบคลาสสิก คือการค้นหาและศึกษาพหุนามในริงพหุนามที่คงตัวภายใต้การกระทำของกลุ่มจำกัด (หรือลดรูปโดยทั่วไป) GบนVตัวอย่างหลักคือริงของพหุนามสมมาตรพหุนามสมมาตรคือพหุนามที่คงตัวภายใต้การเรียงสับเปลี่ยนของตัวแปรทฤษฎีบทพื้นฐานของพหุนามสมมาตรระบุว่าริงนี้คือที่ที่พหุนามสมมาตรเบื้องต้นมีอยู่${\displaystyle k[V]}$${\displaystyle R[\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]}$${\displaystyle \sigma _{i}}$

ทฤษฎีวงแหวนสับเปลี่ยนมีต้นกำเนิดมาจากทฤษฎีจำนวนพีชคณิต เรขาคณิตพีชคณิต และทฤษฎีคงที่ วงแหวนของจำนวนเต็มในฟิลด์จำนวนพีชคณิตและฟิลด์ฟังก์ชันพีชคณิต และวงแหวนของพหุนามในสองตัวแปรขึ้นไปถือเป็นหัวใจสำคัญของการพัฒนาวิชาเหล่านี้ ทฤษฎีวงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยนเริ่มต้นจากความพยายามที่จะขยายจำนวนเชิงซ้อนไปสู่ ระบบ จำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ ต่างๆ ทฤษฎีวงแหวนสับเปลี่ยนและไม่สับเปลี่ยนถือกำเนิดขึ้นเมื่อต้นศตวรรษที่ 19 ในขณะที่ทฤษฎีเหล่านี้ได้รับการพัฒนาจนสมบูรณ์ในช่วงทศวรรษที่สามของศตวรรษที่ 20

กล่าวได้ชัดเจนกว่านั้นวิลเลียม โรวัน แฮมิลตันเสนอควอเทอร์เนียน และไบควอเทอร์ เนียน เจมส์ ค็อกเคิลเสนอเทสซารีนและโคควอเทอร์เนียนและวิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ดเป็นผู้ชื่นชอบ ควอเทอร์เนียน แบบแยกส่วนซึ่งเขาเรียกว่ามอเตอร์ พีชคณิต พีชคณิตที่ไม่สับเปลี่ยนเหล่านี้และ พีชคณิตลีที่ไม่เชื่อมโยงได้รับการศึกษาภายในพีชคณิตสากลก่อนที่วิชานี้จะถูกแบ่งออกเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ประเภทต่างๆ สัญญาณหนึ่งของการจัดระบบใหม่คือการใช้ผลรวมโดยตรงเพื่ออธิบายโครงสร้างพีชคณิต

จำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ต่างๆ ได้รับการระบุด้วยวงแหวนเมทริกซ์โดยJoseph Wedderburn (1908) และEmil Artin (1928) ทฤษฎีบทโครงสร้างของ Wedderburn ได้รับการกำหนดขึ้นสำหรับพีชคณิตมิติจำกัดบนฟิลด์ในขณะที่ Artin ได้สรุปผลทั่วไปเป็นวงแหวน ของ Artinian

ในปี 1920 Emmy Noetherร่วมมือกับ W. Schmeidler ตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับทฤษฎีของอุดมคติซึ่งพวกเขาได้กำหนดอุดมคติซ้ายและขวาในวงแหวนในปีถัดมา เธอได้ตีพิมพ์บทความสำคัญที่เรียกว่าIdealtheorie in Ringbereichenซึ่งวิเคราะห์เงื่อนไขของห่วงโซ่ที่เพิ่มขึ้นเกี่ยวกับอุดมคติ (ทางคณิตศาสตร์) นักพีชคณิตชื่อดังIrving Kaplanskyเรียกผลงานนี้ว่า "ปฏิวัติวงการ" ^[8]การตีพิมพ์ดังกล่าวทำให้เกิดคำว่า " Noetherian ring " และวัตถุทาง คณิตศาสตร์อื่นๆ อีกหลายชิ้นถูกเรียกว่าNoetherian ^{[8] [9]}

• Allenby, RBJT (1991), Rings, Fields and Groups (ฉบับที่ 2), Edward Arnold, London, หน้า xxvi+383, ISBN 0-7131-3476-3, นาย  1144518
• Blyth, TS; Robertson, EF (1985), Groups, Rings and Fields: Algebra through practice, เล่มที่ 3 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-27288-2
• Faith, Carl (1999), Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 65, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0993-8, นาย  1657671
• Goodearl, KR; Warfield, RB Jr. (1989), An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings , London Mathematical Society Student Texts, vol. 16, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-36086-2, นาย  1020298
• Judson, Thomas W. (1997), พีชคณิตนามธรรม: ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้
• Kimberling, Clark (1981), "Emmy Noether and Her Influence", ใน Brewer, James W; Smith, Martha K (บรรณาธิการ), Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work , Marcel Dekker , หน้า 3–61
• Lam, TY (1999), บทบรรยายเกี่ยวกับโมดูลและวงแหวน , ตำราบัณฑิตในคณิตศาสตร์, เล่ม 189, นิวยอร์ก: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 0-387-98428-3, นาย  1653294
• Lam, TY (2001), A First Course in Noncommutative Rings , Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (พิมพ์ครั้งที่สอง), New York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, นาย  1838439
• Lam, TY (2003), Exercises in Classical Ring Theory , Problem Books in Mathematics (Second ed.), New York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-00500-5, นาย  2003255
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, เล่ม 8 (ฉบับที่ 2), เคมบริดจ์, สหราชอาณาจักร: Cambridge University Press, ISBN 0-521-36764-6, นาย  1011461
• McConnell, JC; Robson, JC (2001), Noncommutative Noetherian Rings , Graduate Studies in Mathematics, vol. 30, Providence, RI: American Mathematical Society, doi :10.1090/gsm/030, ISBN 0-8218-2169-5, นาย  1811901
• O'Connor, JJ; Robertson, EF (กันยายน 2004) "การพัฒนาของทฤษฎีวงแหวน" คลังเอกสารประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ของ MacTutor
• Pierce, Richard S. (1982), Associative Algebras , Graduate Texts in Mathematics, vol. 88, New York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90693-2, คุณ  0674652
• Rowen, Louis H. (1988), Ring Theory, Vol. I , Pure and Applied Mathematics, vol. 127, Boston, MA: Academic Press, ISBN 0-12-599841-4, คุณ  0940245. เล่มที่ 2 คณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ 128, ISBN 0-12-599842-2 . 
• Weibel, Charles A. (2013), The K-book: An introduction to algebraic K-theory, Graduate Studies in Mathematics, เล่ม 145, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-9132-2, นาย  3076731