ระบบสมการเชิงเส้น

บทความนี้มีรายการอ้างอิงทั่วไปแต่ขาดการอ้างอิงแบบอินไลน์ ที่ เพียงพอโปรดช่วยปรับปรุงบทความนี้โดยเพิ่มการอ้างอิงที่แม่นยำยิ่งขึ้น ( ตุลาคม 2015 ) ( เรียนรู้วิธีและเวลาในการลบข้อความนี้ )

ในทางคณิตศาสตร์ระบบสมการเชิงเส้น (หรือระบบเชิงเส้น ) คือกลุ่มของสมการเชิงเส้น สองสมการหรือ มากกว่า ที่เกี่ยวข้องกับ ตัวแปรเดียวกัน^{[1] [2]} ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle {\begin{กรณี}3x+2y-z=1\\2x-2y+4z=-2\\-x+{\frac {1}{2}}yz=0\end{กรณี}}}$

เป็นระบบสมการสามสมการในตัวแปรสามตัวคือx , y , zคำตอบของระบบเชิงเส้นคือการกำหนดค่าให้กับตัวแปรเพื่อให้สมการทั้งหมดเป็นจริงพร้อมกัน ในตัวอย่างข้างต้น คำตอบนั้นกำหนดโดยสมการสามตัวตามลำดับ เนื่องจากสมการทั้งสามนี้ถูกต้อง${\displaystyle (x,y,z)=(1,-2,-2),}$

ระบบเชิงเส้นเป็นส่วนพื้นฐานของพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งเป็นหัวข้อที่ใช้ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ส่วนใหญ่อัลกอริทึมการ คำนวณ สำหรับหาคำตอบเป็นส่วนสำคัญของพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขและมีบทบาทสำคัญในด้านวิศวกรรมฟิสิกส์เคมีวิทยาการคอมพิวเตอร์และเศรษฐศาสตร์ระบบสมการไม่เชิงเส้นมักจะประมาณได้โดยใช้ระบบเชิงเส้น (ดูการทำให้เป็นเชิงเส้น ) ซึ่งเป็นเทคนิคที่มีประโยชน์เมื่อทำแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หรือจำลองคอมพิวเตอร์ของระบบที่ ค่อนข้าง ซับซ้อน

บ่อยครั้ง ในบทความนี้ค่าสัมประสิทธิ์และคำตอบของสมการถูกจำกัดให้เป็น จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อนแต่ทฤษฎีและอัลกอริทึมสามารถนำไปใช้กับค่าสัมประสิทธิ์และคำตอบในทุกสาขาสำหรับโครงสร้างพีชคณิต อื่นๆ ทฤษฎีอื่นๆ ได้รับการพัฒนาแล้ว สำหรับค่าสัมประสิทธิ์และคำตอบในโดเมนอินทิกรัลเช่นริงของจำนวนเต็มโปรดดูสมการเชิงเส้นบนริงสำหรับค่าสัมประสิทธิ์และคำตอบที่เป็นพหุนาม โปรดดูพื้นฐานของ Gröbnerสำหรับการค้นหาคำตอบจำนวนเต็ม "ที่ดีที่สุด" จากหลายๆ คำตอบ โปรดดูการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็มสำหรับตัวอย่างของโครงสร้างที่แปลกใหม่กว่าซึ่งพีชคณิตเชิงเส้นสามารถนำไปใช้ได้ โปรดดูเรขาคณิตเขตร้อน

ระบบสมการหนึ่งในสิ่งที่ไม่รู้จักหนึ่งสมการ

${\displaystyle 2x=4}$

มีทางแก้

${\displaystyle x=2.}$

อย่างไรก็ตาม ระบบเชิงเส้นที่น่าสนใจที่สุดมีสมการอย่างน้อยสองสมการ

ระบบเชิงเส้นแบบไม่ธรรมดาที่ง่ายที่สุดประกอบด้วยสมการสองสมการและตัวแปรสองตัว:

${\displaystyle {\begin{จัดแนว}{5}2x&&\;+\;&&3y&&\;=\;&&6&\\4x&&\;+\;&&9y&&\;=\;&&15&.\end{จัดแนว}}}$

วิธีหนึ่งในการแก้ระบบดังกล่าวคือดังต่อไปนี้ ขั้นแรก ให้แก้สมการบนในรูปของ:${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=3-{\frac {3}{2}}y.}$

ตอนนี้แทนที่นิพจน์นี้สำหรับxลงในสมการด้านล่าง:

${\displaystyle 4\left(3-{\frac {3}{2}}y\right)+9y=15.}$

วิธี นี้จะทำให้ได้สมการเดียวที่มีเฉพาะตัวแปรการแก้ปัญหาจะได้และแทนที่ค่านี้กลับเข้าไปในสมการเพื่อให้ได้ผลลัพธ์วิธีนี้ใช้กับระบบที่มีตัวแปรเพิ่มเติม (ดู "การกำจัดตัวแปร" ด้านล่าง หรือบทความเกี่ยวกับพีชคณิตเบื้องต้น )${\displaystyle y}$${\displaystyle y=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x={\frac {3}{2}}}$

ระบบสมการเชิงเส้น ทั่วไป m ตัวที่มีตัวแปร ที่ไม่ทราบค่าและค่าสัมประสิทธิ์n ตัว สามารถเขียนเป็น

${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m},\end{cases}}}$

โดยที่ค่าที่ไม่ทราบคือค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ และคือค่าคงที่^[3]${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle a_{11},a_{12},\dots ,a_{mn}}$${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{m}}$

บ่อยครั้งที่สัมประสิทธิ์และค่าที่ไม่รู้จะเป็นจำนวนจริงหรือ จำนวนเชิงซ้อน แต่จำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะก็ปรากฏให้เห็นเช่นกัน เช่นเดียวกับพหุนามและองค์ประกอบของโครงสร้างพีชคณิตนามธรรม

มุมมองที่เป็นประโยชน์อย่างยิ่งประการหนึ่งก็คือ ค่าที่ไม่รู้แต่ละตัวจะเป็นน้ำหนักสำหรับเวกเตอร์คอลัมน์ในการรวมเชิงเส้น

${\displaystyle x_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+x_{2}{\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}}+\dots +x_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}$

สิ่งนี้ทำให้สามารถนำภาษาและทฤษฎีทั้งหมดของปริภูมิเวกเตอร์ (หรือโดยทั่วไปคือโมดูล ) มาใช้ ตัวอย่างเช่น การรวบรวมชุดค่าผสมเชิงเส้นที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเวกเตอร์ทางด้านซ้ายมือเรียกว่าสแปนและสมการจะมีคำตอบเมื่อเวกเตอร์ด้านขวามืออยู่ภายในสแปนนั้น หากเวกเตอร์ทุกตัวภายในสแปนนั้นมีนิพจน์เพียงนิพจน์เดียวเท่านั้นที่เป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นของเวกเตอร์ด้านซ้ายมือที่กำหนด ดังนั้นคำตอบใดๆ ก็ตามจะไม่ซ้ำกัน ไม่ว่าในกรณีใด สแปนจะมีฐานของ เวกเตอร์ อิสระเชิงเส้นที่รับประกันนิพจน์ได้เพียงหนึ่งนิพจน์เท่านั้น และจำนวนเวกเตอร์ในฐานนั้น ( มิติ ) ไม่สามารถมากกว่าmหรือn ได้ แต่สามารถน้อยกว่าได้ ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญเพราะหากเรามี เวกเตอร์อิสระ mตัว คำตอบจะรับประกันได้โดยไม่คำนึงถึงด้านขวามือ และจะไม่รับประกันในกรณีอื่น

สมการเวกเตอร์เทียบเท่ากับ สมการ เมทริกซ์ในรูปแบบ ที่Aเป็น เมทริกซ์ m × n , xเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ที่มี รายการ nรายการ และbเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ที่มี รายการ mรายการ^[4]$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}.}$$จำนวนเวกเตอร์ในฐานสำหรับช่วงนั้นจะแสดงเป็นอันดับของเมทริกซ์ ตอนนี้

คำตอบของระบบเชิงเส้นคือการกำหนดค่าให้กับตัวแปร เพื่อให้สมการแต่ละสมการเป็นจริงเซตของคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดเรียกว่าเซตคำตอบ ^[5]${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$

ระบบเชิงเส้นอาจมีพฤติกรรมได้สามแบบดังต่อไปนี้:

1. ระบบมีโซลูชั่นเป็นจำนวนมากอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
2. ระบบมีโซลูชั่นที่เป็นเอกลักษณ์
3. ระบบ ไม่มี ทางแก้ไข

สำหรับระบบที่มีตัวแปรสองตัว ( xและy ) สมการเชิงเส้นแต่ละสมการจะกำหนดเส้นตรงบนระนาบxyเนื่องจากคำตอบของระบบเชิงเส้นจะต้องเป็นไปตามสมการทั้งหมด ชุดคำตอบจึงเป็นจุดตัดของเส้นเหล่านี้ และจึงเป็นเส้นตรง จุดเดี่ยว หรือเซต ว่าง

สำหรับตัวแปรสามตัว สมการเชิงเส้นแต่ละสมการจะกำหนดระนาบในปริภูมิสามมิติและเซตคำตอบคือจุดตัดของระนาบเหล่านี้ ดังนั้น เซตคำตอบอาจเป็นระนาบ เส้นตรง จุดเดียว หรือเซตว่าง ตัวอย่างเช่น เนื่องจากระนาบขนานสามระนาบไม่มีจุดร่วม เซตคำตอบของสมการจึงว่างเปล่า เซตคำตอบของสมการของระนาบสามระนาบที่ตัดกันที่จุดเป็นจุดเดียว หากระนาบสามระนาบผ่านจุดสองจุด สมการของระนาบเหล่านั้นจะมีคำตอบร่วมอย่างน้อยสองคำตอบ อันที่จริง เซตคำตอบนั้นไม่มีที่สิ้นสุดและประกอบด้วยเส้นตรงทั้งหมดที่ผ่านจุดเหล่านี้^[6]

สำหรับ ตัวแปร nสมการเชิงเส้นแต่ละสมการจะกำหนดไฮเปอร์เพลนในปริภูมิn มิติ ชุดคำตอบคือจุดตัดของไฮเปอร์เพลนเหล่านี้ และจะเป็นแบบแบนซึ่งอาจมีค่ามิติใดๆ ที่ต่ำกว่าnก็ได้

โดยทั่วไป พฤติกรรมของระบบเชิงเส้นจะถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนสมการและจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้ ในที่นี้ "โดยทั่วไป" หมายถึงพฤติกรรมที่แตกต่างกันอาจเกิดขึ้นสำหรับค่าเฉพาะของสัมประสิทธิ์ของสมการ

• โดยทั่วไป ระบบที่มีสมการน้อยกว่าสมการที่ไม่ทราบค่าจะมีคำตอบมากมายอย่างไม่สิ้นสุด แต่ก็อาจไม่มีคำตอบเลย ระบบดังกล่าวเรียกว่าระบบที่มีการกำหนดน้อยกว่า
• โดยทั่วไป ระบบที่มีสมการและค่าที่ไม่รู้จำนวนเท่ากันจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัวเพียงคำตอบเดียว
• โดยทั่วไป ระบบที่มีสมการมากกว่าสมการที่ไม่ทราบค่าจะไม่มีคำตอบ ระบบดังกล่าวเรียกอีกอย่างหนึ่งว่าระบบที่กำหนดเกิน

ในกรณีแรกมิติของชุดคำตอบโดยทั่วไปจะเท่ากับn − mโดยที่nคือจำนวนตัวแปรและmคือจำนวนสมการ

รูปภาพต่อไปนี้จะแสดงให้เห็นไตรภาคในกรณีที่มีตัวแปรสองตัว:

สมการหนึ่ง	สมการสองข้อ	สามสมการ

ระบบแรกมีคำตอบมากมายอย่างไม่สิ้นสุด นั่นคือ จุดทั้งหมดบนเส้นสีน้ำเงิน ระบบที่สองมีคำตอบเดียวที่ไม่ซ้ำกัน นั่นคือ จุดตัดของเส้นสองเส้น ระบบที่สามไม่มีคำตอบ เนื่องจากเส้นทั้งสามเส้นไม่มีจุดร่วมกัน

โปรดทราบไว้ว่าภาพด้านบนแสดงเฉพาะกรณีที่พบบ่อยที่สุด (กรณีทั่วไป) ระบบสมการสองสมการและตัวแปรที่ไม่ทราบค่าสองตัวอาจไม่มีคำตอบ (หากเส้นตรงสองเส้นขนานกัน) หรือระบบสมการสามสมการและตัวแปรที่ไม่ทราบค่าสองตัวอาจแก้ได้ (หากเส้นตรงสามเส้นตัดกันที่จุดเดียว)

ระบบสมการเชิงเส้นจะมีพฤติกรรมแตกต่างจากกรณีทั่วไปหากสมการมีความสัมพันธ์เชิงเส้นหรือหากสมการไม่สอดคล้องกันและไม่มีสมการเกินกว่าสมการที่ไม่ทราบค่า

สมการของระบบเชิงเส้นจะเป็นอิสระต่อกันหากไม่มีสมการใดที่สามารถหาได้จากสมการอื่นในเชิงพีชคณิต เมื่อสมการเป็นอิสระ สมการแต่ละสมการจะมีข้อมูลใหม่เกี่ยวกับตัวแปร และการลบสมการใด ๆ ออกไปจะทำให้ขนาดของชุดคำตอบเพิ่มขึ้น สำหรับสมการเชิงเส้น ความเป็นอิสระทางตรรกะจะเหมือนกับความเป็นอิสระเชิงเส้น

เช่นสมการ

${\displaystyle 3x+2y=6\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;6x+4y=12}$

ไม่เป็นอิสระ — พวกมันจะเป็นสมการเดียวกันเมื่อปรับด้วยปัจจัยสอง และจะสร้างกราฟที่เหมือนกันทุกประการ นี่คือตัวอย่างของความเท่าเทียมกันในระบบสมการเชิงเส้น

สำหรับตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น สมการ

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}x&&\;-\;&&2y&&\;=\;&&-1&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;=\;&&8&\\4x&&\;+\;&&3y&&\;=\;&&7&\end{alignedat}}}$

ไม่เป็นอิสระ เนื่องจากสมการที่สามเป็นผลรวมของอีกสองสมการ แท้จริงแล้ว สมการใดสมการหนึ่งสามารถหาได้จากอีกสองสมการ และสมการใดสมการหนึ่งสามารถลบออกได้โดยไม่กระทบต่อชุดคำตอบ กราฟของสมการเหล่านี้คือเส้นสามเส้นที่ตัดกันที่จุดเดียว

ระบบเชิงเส้นจะไม่สอดคล้องกันหากไม่มีคำตอบ และในกรณีอื่นจะกล่าวว่าระบบนั้นสอดคล้องกัน^[7]เมื่อระบบไม่สอดคล้องกัน เป็นไปได้ที่จะอนุมานความขัดแย้งจากสมการ ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้เสมอเป็นข้อความ0 = 1

เช่นสมการ

${\displaystyle 3x+2y=6\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;3x+2y=12}$

ไม่สอดคล้องกัน ในความเป็นจริง เมื่อลบสมการแรกออกจากสมการที่สองแล้วคูณทั้งสองด้านของผลลัพธ์ด้วย 1/6 เราจะได้0 = 1กราฟของสมการเหล่านี้บน ระนาบ xy เป็น เส้นขนานคู่ หนึ่ง

สมการเชิงเส้นสามสมการอาจไม่สอดคล้องกัน แม้ว่าสมการสองสมการจะสอดคล้องกันก็ตาม ตัวอย่างเช่น สมการ

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&y&&\;=\;&&1&\\2x&&\;+\;&&y&&\;=\;&&1&\\3x&&\;+\;&&2y&&\;=\;&&3&\end{alignedat}}}$

ไม่สอดคล้องกัน การบวกสมการสองสมการแรกเข้าด้วยกันจะได้3 x + 2 y = 2ซึ่งสามารถลบออกจากสมการที่สามเพื่อให้ได้0 = 1สมการสองสมการใดๆ เหล่านี้มีคำตอบร่วมกัน ปรากฏการณ์เดียวกันนี้สามารถเกิดขึ้นได้กับสมการจำนวนเท่าใดก็ได้

โดยทั่วไป ความไม่สอดคล้องจะเกิดขึ้นหากด้านซ้ายมือของสมการในระบบขึ้นอยู่เชิงเส้น และเงื่อนไขคงที่ไม่เป็นไปตามความสัมพันธ์ของการพึ่งพา ระบบสมการที่มีด้านซ้ายมือเป็นอิสระเชิงเส้นจะสอดคล้องกันเสมอ

พูดอีกอย่างหนึ่ง ตามทฤษฎีบท Rouché–Capelliระบบสมการใดๆ (ที่กำหนดเกินหรือไม่มีก็ได้) จะไม่สอดคล้องกันหากอันดับของเมทริกซ์เสริมมีค่ามากกว่าอันดับของ เมท ริกซ์สัมประสิทธิ์ในทางกลับกัน หากอันดับของเมทริกซ์ทั้งสองนี้เท่ากัน ระบบจะต้องมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ คำตอบจะไม่ซ้ำกันก็ต่อเมื่ออันดับเท่ากับจำนวนตัวแปร มิฉะนั้น คำตอบทั่วไปจะมีพารามิเตอร์อิสระk ตัว โดยที่ kคือความแตกต่างระหว่างจำนวนตัวแปรและอันดับ ดังนั้น ในกรณีดังกล่าวจะมีคำตอบที่ไม่สิ้นสุด อันดับของระบบสมการ (กล่าวคือ อันดับของเมทริกซ์เสริม) ไม่สามารถสูงกว่า [จำนวนตัวแปร] + 1 ได้ ซึ่งหมายความว่าระบบที่มีสมการจำนวนใดๆ ก็ตามสามารถลดจำนวนลงเหลือเพียงระบบที่มีสมการอิสระ จำนวนหนึ่ง ที่มีค่ามากที่สุดเท่ากับ [จำนวนตัวแปร] + 1

ระบบเชิงเส้นสองระบบที่ใช้ชุดตัวแปรเดียวกันจะเทียบเท่ากันหากสมการแต่ละสมการในระบบที่สองสามารถหาได้จากสมการในระบบแรกในเชิงพีชคณิต และในทางกลับกัน ระบบสองระบบจะเทียบเท่ากันหากสมการทั้งสองไม่สอดคล้องกันหรือสมการแต่ละสมการของแต่ละระบบเป็นผลรวมเชิงเส้นของสมการของอีกระบบหนึ่ง ดังนั้น ระบบเชิงเส้นสองระบบจะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อระบบทั้งสองมีชุดคำตอบเดียวกัน

มีอัลกอริทึม หลายประการ สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

เมื่อชุดคำตอบมีขอบเขตจำกัด คำตอบจะลดลงเหลือเพียงองค์ประกอบเดียว ในกรณีนี้ คำตอบเฉพาะตัวจะอธิบายโดยลำดับของสมการซึ่งด้านซ้ายมือเป็นชื่อของตัวแปรที่ไม่ทราบค่า และด้านขวามือเป็นค่าที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่นเมื่อลำดับของตัวแปรที่ไม่ทราบค่าถูกกำหนดแล้ว เช่นลำดับตัวอักษรคำตอบอาจอธิบายได้เป็นเวกเตอร์ของค่า เช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้${\displaystyle (x=3,\;y=-2,\;z=6)}$${\displaystyle (3,\,-2,\,6)}$

ในการอธิบายเซตที่มีคำตอบจำนวนอนันต์ โดยทั่วไปตัวแปรบางตัวจะถูกกำหนดให้เป็นอิสระ (หรืออิสระหรือเป็นพารามิเตอร์ ) ซึ่งหมายความว่าตัวแปรเหล่านั้นสามารถรับค่าใดก็ได้ ในขณะที่ตัวแปรที่เหลือจะขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรอิสระ

ตัวอย่างเช่น พิจารณาระบบต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&3y&&\;-\;&&2z&&\;=\;&&5&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;+\;&&6z&&\;=\;&&7&\end{alignedat}}}$

ชุดคำตอบของระบบนี้สามารถอธิบายได้ด้วยสมการต่อไปนี้:

${\displaystyle x=-7z-1\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;y=3z+2{\text{.}}}$

ที่นี่zคือตัวแปรอิสระ ในขณะที่x และ y ขึ้นอยู่กับzจุดใดๆ ในชุดคำตอบสามารถหาได้โดยเลือกค่าสำหรับz ก่อน จากนั้นคำนวณค่าที่สอดคล้องกันสำหรับxและy

ตัวแปรอิสระแต่ละตัวจะให้พื้นที่คำตอบมีองศาอิสระหนึ่งองศาซึ่งจำนวนองศาอิสระจะเท่ากับมิติของชุดคำตอบ ตัวอย่างเช่น ชุดคำตอบสำหรับสมการข้างต้นคือเส้นตรง เนื่องจากสามารถเลือกจุดในชุดคำตอบได้โดยระบุค่าของพารามิเตอร์zคำตอบอนันต์ที่มีลำดับสูงกว่าอาจอธิบายระนาบหรือชุดที่มีมิติสูงกว่า

การเลือกตัวแปรอิสระที่แตกต่างกันอาจนำไปสู่คำอธิบายที่แตกต่างกันของชุดคำตอบเดียวกัน ตัวอย่างเช่น คำตอบของสมการข้างต้นสามารถอธิบายได้ดังนี้:

${\displaystyle y=-{\frac {3}{7}}x+{\frac {11}{7}}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;z=-{\frac {1}{7}}x-{\frac {1}{7}}{\text{.}}}$

ที่นี่xคือตัวแปรอิสระ และyและzขึ้นอยู่กับ

วิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นคือการกำจัดตัวแปรซ้ำๆ วิธีนี้สามารถอธิบายได้ดังนี้:

1. ในสมการแรก ให้แก้หาตัวแปรตัวหนึ่งในรูปของตัวแปรตัวอื่นๆ
2. แทนค่านิพจน์นี้ลงในสมการที่เหลือ วิธีนี้จะทำให้ได้ระบบสมการที่มีสมการน้อยลงหนึ่งสมการและไม่ทราบค่า
3. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 1 และ 2 จนกระทั่งระบบลดลงเหลือสมการเชิงเส้นเดียว
4. แก้สมการนี้ แล้วแทนค่ากลับมาจนกระทั่งพบคำตอบทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น พิจารณาระบบต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{cases}x+3y-2z=5\\3x+5y+6z=7\\2x+4y+3z=8\end{cases}}}$

การแก้สมการแรกสำหรับxจะได้และแทนค่านี้ลงในสมการที่สองและสามจะได้${\displaystyle x=5+2z-3y}$

${\displaystyle {\begin{cases}y=3z+2\\y={\tfrac {7}{2}}z+1\end{cases}}}$

เนื่องจาก LHS ของสมการทั้งสองนี้เท่ากับyซึ่งทำให้ RHS ของสมการเท่ากัน ตอนนี้เรามี:

${\displaystyle {\begin{aligned}3z+2={\tfrac {7}{2}}z+1\\\Rightarrow z=2\end{aligned}}}$

การแทนค่าz = 2 ลงในสมการที่สองหรือสามจะได้y = 8 และค่าyและzลงในสมการแรกจะได้x = −15 ดังนั้น ชุดคำตอบคือชุดสามลำดับ${\displaystyle (x,y,z)=(-15,8,2)}$

ในการลดแถว (เรียกอีกอย่างว่าการกำจัดแบบเกาส์เซียน ) ระบบเชิงเส้นจะแสดงเป็นเมทริกซ์เสริม^[8]

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\3&5&6&7\\2&4&3&8\end{array}}\right]{\text{.}}}$

จากนั้นเมทริกซ์นี้จะถูกปรับเปลี่ยนโดยใช้การดำเนินการแถวเบื้องต้นจนกว่าจะถึงรูปแบบขั้นบันไดแถวที่ลดลงมีการดำเนินการแถวเบื้องต้นสามประเภท: ^[8]

ประเภทที่ 1 : สลับตำแหน่งแถวทั้ง 2 แถว

ประเภทที่ 2 : คูณแถวด้วยสเกลาร์ ที่ไม่ใช่ ศูนย์

ประเภทที่ 3 : เพิ่มสเกลาร์คูณกับอีกแถวหนึ่ง

เนื่องจากการดำเนินการเหล่านี้สามารถย้อนกลับได้ เมทริกซ์เสริมที่สร้างขึ้นจึงแสดงระบบเชิงเส้นที่เทียบเท่ากับต้นฉบับเสมอ

มีอัลกอริทึมเฉพาะหลายตัวสำหรับการลดแถวของเมทริกซ์เสริม ซึ่งอัลกอริทึมที่ง่ายที่สุดคือการกำจัดแบบเกาส์เซียนและการกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดนการคำนวณต่อไปนี้แสดงให้เห็นการกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดนที่ใช้กับเมทริกซ์ด้านบน:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\3&5&6&7\\2&4&3&8\end{array}}\right]&\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&-4&12&-8\\2&4&3&8\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&-4&12&-8\\0&-2&7&-2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&1&-3&2\\0&-2&7&-2\end{array}}\right]\\&\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&1&-3&2\\0&0&1&2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&-2&5\\0&1&0&8\\0&0&1&2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&0&9\\0&1&0&8\\0&0&1&2\end{array}}\right]\sim \left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&-15\\0&1&0&8\\0&0&1&2\end{array}}\right].\end{aligned}}}$

เมทริกซ์สุดท้ายอยู่ในรูปแบบขั้นบันไดแถวที่ลดรูป และแสดงถึงระบบx = −15 , y = 8 , z = 2การเปรียบเทียบกับตัวอย่างในหัวข้อก่อนหน้าเกี่ยวกับการกำจัดตัวแปรทางพีชคณิตแสดงให้เห็นว่าวิธีการทั้งสองนี้เหมือนกัน ความแตกต่างอยู่ที่วิธีการเขียนการคำนวณ

กฎของคราเมอร์เป็นสูตรที่ชัดเจนสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยที่ตัวแปรแต่ละตัวกำหนดโดยผลหารของตัวกำหนด สอง ตัว^[9]ตัวอย่างเช่น การแก้ระบบ

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;3y&\;-&\;2z&\;=&\;5\\3x&\;+&\;5y&\;+&\;6z&\;=&\;7\\2x&\;+&\;4y&\;+&\;3z&\;=&\;8\end{alignedat}}}$

ได้รับจาก

${\displaystyle x={\frac {\,{\begin{vmatrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{vmatrix}}\,}{\,{\begin{vmatrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{vmatrix}}\,}},\;\;\;\;y={\frac {\,{\begin{vmatrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{vmatrix}}\,}{\,{\begin{vmatrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{vmatrix}}\,}},\;\;\;\;z={\frac {\,{\begin{vmatrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{vmatrix}}\,}{\,{\begin{vmatrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{vmatrix}}\,}}.}$

สำหรับตัวแปรแต่ละตัว ตัวส่วนจะเป็นตัวกำหนดเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ในขณะที่ตัวเศษจะเป็นตัวกำหนดเมทริกซ์ซึ่งคอลัมน์หนึ่งถูกแทนที่ด้วยเวกเตอร์ของค่าคงที่

แม้ว่ากฎของคราเมอร์จะมีความสำคัญในทางทฤษฎี แต่มีค่าในทางปฏิบัติไม่มากนักสำหรับเมทริกซ์ขนาดใหญ่ เนื่องจากการคำนวณตัวกำหนดขนาดใหญ่ค่อนข้างยุ่งยาก (อันที่จริง ตัวกำหนดขนาดใหญ่จะคำนวณได้ง่ายที่สุดโดยใช้การลดแถว) นอกจากนี้ กฎของคราเมอร์ยังมีคุณสมบัติเชิงตัวเลขที่ไม่ดีนัก ทำให้ไม่เหมาะกับการแก้ปัญหาแม้แต่ระบบขนาดเล็กอย่างน่าเชื่อถือ เว้นแต่การดำเนินการจะดำเนินการในเลขคณิตตรรกยะด้วยความแม่นยำที่ไร้ขอบเขต^{[ จำเป็นต้องอ้างอิง ]}

หากระบบสมการแสดงในรูปแบบเมทริกซ์ชุดคำตอบทั้งหมดสามารถแสดงในรูปแบบเมทริกซ์ได้เช่นกัน หากเมทริกซ์Aเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (มีmแถวและn = mคอลัมน์) และมีอันดับเต็ม ( mแถวทั้งหมดเป็นอิสระ) ระบบจะมีคำตอบเฉพาะที่กำหนดโดย${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

${\displaystyle \mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b} }$

โดยที่เป็นค่าผกผันของAโดยทั่วไปแล้ว ไม่ว่าm = nหรือไม่ก็ตาม และไม่คำนึงถึงอันดับของAคำตอบทั้งหมด (ถ้ามี) จะกำหนดโดยใช้ค่าผกผันของมัวร์-เพนโรสของAแสดงด้วย ดังนี้${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle A^{+}}$

${\displaystyle \mathbf {x} =A^{+}\mathbf {b} +\left(I-A^{+}A\right)\mathbf {w} }$

โดยที่เป็นเวกเตอร์ของพารามิเตอร์อิสระที่ครอบคลุมเวกเตอร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดn ×1 เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับคำตอบใดๆ ที่จะมีอยู่ได้ก็คือ คำตอบที่มีศักยภาพที่ได้จากการสนองตอบ— นั่นคือถ้าเงื่อนไขนี้ไม่เป็นจริง ระบบสมการจะไม่สอดคล้องกันและไม่มีคำตอบ ถ้าเงื่อนไขเป็นจริง ระบบจะสอดคล้องกันและมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ ตัวอย่างเช่น ในกรณีที่กล่าวถึงข้างต้น ซึ่งAเป็นกำลังสองและมีอันดับเต็มเท่ากับและสมการคำตอบทั่วไปจะลดรูปเป็น${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {0} }$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$${\displaystyle AA^{+}\mathbf {b} =\mathbf {b} .}$${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle A^{-1}}$

${\displaystyle \mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b} +\left(I-A^{-1}A\right)\mathbf {w} =A^{-1}\mathbf {b} +\left(I-I\right)\mathbf {w} =A^{-1}\mathbf {b} }$

ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ซึ่งได้หลุดออกจากการแก้ปัญหาไปหมดแล้ว เหลือเพียงการแก้ปัญหาเดียว อย่างไรก็ตาม ในกรณีอื่นๆยังคงอยู่ และด้วยเหตุนี้ ค่าศักย์อนันต์ของเวกเตอร์พารามิเตอร์อิสระจึงให้คำตอบอนันต์ของสมการ${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {w} }$

ในขณะที่ระบบสมการสามหรือสี่สมการสามารถแก้ด้วยมือได้อย่างง่ายดาย (ดูCracovian ) คอมพิวเตอร์มักใช้กับระบบที่ใหญ่กว่า อัลกอริทึมมาตรฐานในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นนั้นใช้การกำจัดแบบเกาส์เซียนโดยมีการปรับเปลี่ยนบางอย่าง ประการแรก จำเป็นต้องหลีกเลี่ยงการหารด้วยตัวเลขเล็กๆ ซึ่งอาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่แม่นยำ ซึ่งสามารถทำได้โดยการเรียงลำดับสมการใหม่หากจำเป็น ซึ่งเป็นกระบวนการที่เรียกว่าการหมุนแกน ประการที่สอง อัลกอริทึมไม่ได้ทำการกำจัดแบบเกาส์เซียนโดยตรง แต่จะคำนวณการแยกย่อย LUของเมทริกซ์A นี่เป็นเครื่องมือจัดระเบียบส่วนใหญ่ แต่จะเร็วกว่ามากหากต้องแก้ระบบหลายระบบที่มีเมทริกซ์ Aเดียวกันแต่มีเวกเตอร์bต่าง กัน

หากเมทริกซ์Aมีโครงสร้างพิเศษบางอย่าง ก็สามารถใช้ประโยชน์นี้เพื่อให้ได้อัลกอริทึมที่เร็วขึ้นหรือแม่นยำยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น ระบบที่มี เมทริก ซ์บวกแน่นอนแบบสมมาตร สามารถแก้ไขได้เร็วขึ้นสองเท่าด้วยการแยกส่วน Choleskyการเรียกซ้ำของ Levinsonเป็นวิธีการที่รวดเร็วสำหรับเมทริกซ์ Toeplitzนอกจากนี้ยังมีวิธีการพิเศษสำหรับเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์จำนวนมาก (เรียกว่าเมทริกซ์แบบกระจัดกระจาย ) ซึ่งมักปรากฏในแอปพลิเคชัน

มักใช้วิธีการที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงสำหรับระบบขนาดใหญ่ ซึ่งมิฉะนั้นจะต้องใช้เวลาหรือหน่วยความจำมากเกินไป แนวคิดคือเริ่มต้นด้วยการประมาณค่าเบื้องต้นสำหรับโซลูชัน (ซึ่งไม่จำเป็นต้องแม่นยำเลย) และเปลี่ยนการประมาณค่านี้ในหลายขั้นตอนเพื่อให้ใกล้เคียงกับโซลูชันที่แท้จริงมากขึ้น เมื่อการประมาณค่ามีความแม่นยำเพียงพอ ก็จะถือว่าเป็นโซลูชันของระบบ ซึ่งนำไปสู่คลาสของวิธีการแบบวนซ้ำสำหรับเมทริกซ์แบบเบาบางบางเมทริกซ์ การนำความสุ่มมาใช้จะช่วยเพิ่มความเร็วของวิธีการแบบวนซ้ำ^[10]ตัวอย่างหนึ่งของวิธีการแบบวนซ้ำคือวิธีจาโคบีโดยเมทริกซ์จะถูกแยกออกเป็นส่วนประกอบแนวทแยงและส่วนประกอบที่ไม่ใช่แนวทแยงการคาดเดาเบื้องต้นจะใช้ในตอนเริ่มต้นของอัลกอริทึม การคาดเดาแต่ละครั้งที่ตามมาจะคำนวณโดยใช้สมการแบบวนซ้ำ:${\displaystyle A}$${\displaystyle D}$${\displaystyle L+U}$${\displaystyle {\mathbf {x}}^{(0)}}$

${\displaystyle {\mathbf {x}}^{(k+1)}=D^{-1}({\mathbf {b}}-(L+U){\mathbf {x}}^{(k)})}$

เมื่อความแตกต่างระหว่างการคาดเดาและมีขนาดเล็กเพียงพอ อัลกอริทึมจะบรรจบกันที่โซลูชัน^[11]${\displaystyle {\mathbf {x}}^{(k)}}$${\displaystyle {\mathbf {x}}^{(k+1)}}$

ยังมีอัลกอริทึมควอนตัมสำหรับระบบสมการเชิงเส้นด้วย^[12]

ระบบสมการเชิงเส้นจะเป็นเนื้อเดียวกันถ้าค่าคงที่ทั้งหมดเป็นศูนย์:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\&&&&&&&&&&\vdots \;\ &&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0.\\\end{alignedat}}}$

ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันจะเทียบเท่ากับสมการเมทริกซ์ที่มีรูปแบบ

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$

โดยที่Aคือ เมทริกซ์ m × n , xคือเวกเตอร์คอลัมน์ที่มี รายการ nรายการ และ0คือเวกเตอร์ศูนย์ที่มีรายการ m รายการ

ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันทุกระบบจะมีอย่างน้อยหนึ่งคำตอบที่เรียกว่าคำ ตอบ ศูนย์ (หรือ คำตอบ ธรรมดา ) ซึ่งได้มาจากการกำหนดค่าศูนย์ให้กับตัวแปรแต่ละตัว หากระบบมีเมทริกซ์ที่ไม่เป็นเอกพจน์ ( det( A ) ≠ 0 ) แสดงว่าระบบนั้นเป็นคำตอบเดียวเท่านั้น หากระบบมีเมทริกซ์ที่เป็นเอกพจน์ แสดงว่าระบบมีชุดคำตอบที่มีจำนวนคำตอบไม่จำกัด ชุดคำตอบนี้มีคุณสมบัติเพิ่มเติมดังต่อไปนี้:

1. หากuและvเป็นเวกเตอร์ สองตัว ที่แสดงผลลัพธ์ของคำตอบของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน เวกเตอร์ผลรวมu + vก็สามารถเป็นผลลัพธ์ของระบบได้เช่นกัน
2. หากuเป็นเวกเตอร์ที่แสดงคำตอบของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน และrเป็นสเกลาร์ ใดๆ ก็ตามr uก็เป็นคำตอบของระบบด้วยเช่นกัน

เหล่านี้เป็นคุณสมบัติที่จำเป็นสำหรับชุดคำตอบเพื่อให้เป็นปริภูมิเชิงเส้นของR ⁿโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ชุดคำตอบของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันจะเหมือนกับปริภูมิว่างของเมทริกซ์A ที่ สอดคล้องกัน

มีความสัมพันธ์ใกล้ชิดระหว่างคำตอบของระบบเชิงเส้นและคำตอบของระบบเนื้อเดียวกันที่สอดคล้องกัน:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \qquad {\text{and}}\qquad A\mathbf {x} =\mathbf {0} .}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากpเป็นคำตอบเฉพาะใดๆ ต่อระบบเชิงเส้นA x = bเซตคำตอบทั้งหมดสามารถอธิบายได้ว่า

${\displaystyle \left\{\mathbf {p} +\mathbf {v} :\mathbf {v} {\text{ is any solution to }}A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.}$

เมื่อพิจารณาทางเรขาคณิต จะเห็นว่าชุดคำตอบสำหรับA x = bเป็นการแปลของชุดคำตอบสำหรับA x = 0 กล่าวคือ สามารถหา พื้นที่ราบของระบบแรกได้โดยการแปลปริภูมิเชิงเส้น สำหรับระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน ด้วย เวกเตอร์p

เหตุผลนี้ใช้ได้เฉพาะในกรณีที่ระบบA x = bมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ ซึ่งจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อเวกเตอร์bอยู่ในอิมเมจของการแปลงเชิง เส้น A

• Anton, Howard (1987), พีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้น (ฉบับที่ 5), นิวยอร์ก: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), หลักสูตรแรกในพีชคณิตเชิงเส้น: พร้อมคำแนะนำเพิ่มเติมเกี่ยวกับกลุ่ม วงแหวน และฟิลด์บอสตัน: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
• เบอร์เดน, ริชาร์ด แอล.; แฟร์ส, เจ. ดักลาส (1993), การวิเคราะห์เชิงตัวเลข (พิมพ์ครั้งที่ 5), บอสตัน: พรินเดิล, เวเบอร์ และชิมิดท์, ISBN 0-534-93219-3
• คัลเลน, ชาร์ลส์ จี. (1990), เมทริกซ์และการแปลงเชิงเส้น , MA: โดเวอร์, ISBN 978-0-486-66328-9
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 0-8018-5414-8
• ฮาร์เปอร์, ชาร์ลี (1976), บทนำสู่ฟิสิกส์คณิตศาสตร์ , นิวเจอร์ซีย์: Prentice-Hall , ISBN 0-13-487538-9
• แฮร์โรว์, อาราม ดับเบิลยู.; ฮัสซิดิม, อาวินาทัน; ลอยด์, เซธ (2009), "อัลกอริทึมควอนตัมสำหรับระบบสมการเชิงเส้น", Physical Review Letters , 103 (15): 150502, arXiv : 0811.3171 , Bibcode :2009PhRvL.103o0502H, doi :10.1103/PhysRevLett.103.150502, PMID  19905613, S2CID  5187993
• Sterling, Mary J. (2009), พีชคณิตเชิงเส้นสำหรับมือใหม่ , อินเดียนาโพลิส, อินเดียนา: Wiley, ISBN 978-0-470-43090-3
• Whitelaw, TA (1991), บทนำสู่พีชคณิตเชิงเส้น (ฉบับที่ 2), CRC Press, ISBN 0-7514-0159-5

• Axler, Sheldon Jay (1997). Linear Algebra Done Right (พิมพ์ครั้งที่ 2) Springer-Verlag ISBN 0-387-98259-0-
• เลย์, เดวิด ซี. (22 สิงหาคม 2548). พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่ 3) แอดดิสัน เวสลีย์ISBN 978-0-321-28713-7-
• เมเยอร์, ​​คาร์ล ดี. (15 กุมภาพันธ์ 2544). การวิเคราะห์เมทริกซ์และพีชคณิตเชิงเส้นประยุกต์ สมาคมคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมและประยุกต์ (SIAM) ISBN 978-0-89871-454-8. เก็บถาวรจากแหล่งดั้งเดิมเมื่อวันที่ 1 มีนาคม 2544
• พูล, เดวิด (2006). พีชคณิตเชิงเส้น: บทนำสมัยใหม่ (ฉบับที่ 2) บรูคส์/โคลISBN 0-534-99845-3-
• Anton, Howard (2005). พีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้น (เวอร์ชันการใช้งาน) (พิมพ์ครั้งที่ 9) Wiley International
• Leon, Steven J. (2006). พีชคณิตเชิงเส้นพร้อมการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่ 7). Pearson Prentice Hall
• Strang, Gilbert (2005). พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ใช้
• Peng, Richard; Vempala, Santosh S. (2024). "การแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นแบบเบาบางได้เร็วกว่าการคูณเมทริกซ์" Comm. ACM . 67 (7): 79–86. arXiv : 2007.10254 . doi :10.1145/3615679

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับ ระบบสมการเชิงเส้น ใน Wikimedia Commons