Visualizza wikitesto di Glossario sulle matrici

Questo '''glossario sulle matrici''' riporta termini utilizzati per il trattamento di queste entità matematiche, che rivestono grande importanza in svariate branche e applicazioni della scienza.

Nelle brevi spiegazioni di ogni voce, le matrici sono denotate con una lettera maiuscola (tipo ''A''), e i suoi elementi con la corrispondente minuscola a due pedici (tipo ''a''<sub>i,j</sub>), di cui il primo indica la riga, e il secondo la colonna dell'elemento stesso.

I lemmi sono in ordine alfabetico senza considerare la parola "matrice" o "matrice di" (per es. la voce "Matrice binaria" va ricercata come "Binaria (matrice)".

{{indice}}

== 0 - 9 ==
=== (0,1)-matrice ===
:[[#Binaria (matrice)|Binaria (matrice)]]

== A ==
=== A banda (matrice) ===
:Una matrice a banda è una [[#Quadrata (matrice)|matrice quadrata]] che ha tutti gli elementi nulli eccetto quelli sulla [[#Diagonale princiale|diagonale principale]] e su alcune adiacenti sovradiagonali e sottodiagonali (parallele alla diagonale e poste sopra o sotto di essa). Il numero di diagonali contenenti elementi non nulli è l'ampiezza della banda.
:Le matrici [[#Diagonale (matrice)|diagonali]], [[#Tridiagonale (matrice)|tridiagonali]], pentadiagonali, [[#Triangolare (matrice)|triangolari]] superiori e inferiori e perfino le matrici quadrate prive di elementi nulli, sono tutti casi particolari di matrici a banda.
{{Vedi anche|Matrice a banda}}

=== Adiacenze (matrice delle) ===
:La matrice delle adiacenze, o "(0,1)-matrice", di un [[grafo]] ([[grafo semplice|semplice]] oppure [[grafo orientato|orientato]]) è una [[#Quadrata (matrice)|matrice quadrata]] di ordine pari al numero di [[vertice (teoria dei grafi)|vertici]] del grafo, che indica le "adiacenze" dei suoi [[vertice (teoria dei grafi)|vertici]], ovvero il cui elemento ''a<sub>i,j</sub>'' vale ''1'' (o ''vero'') se esiste un [[arco (teoria dei grafi)|arco]] che collega il vertice ''i'' al vertice ''j'', altrimenti ''0'' (o ''falso'').
:La matrice delle adiacenze di un grafo semplice è una matrice [[#Simmetrica (matrice)|simmetrica]].
:È utilizzata per lo sviluppo di algoritmi che agiscono sui grafi orientati.
{{Vedi anche|Matrice delle adiacenze}}

=== Aggiunta (matrice) ===
:La matrice aggiunta (in [[lingua inglese|inglese]] ''adjoint'') di una matrice ''A'' è la sua [[#Trasposta (matrice)|trasposta]] [[#Coniugata complessa (matrice)|coniugata]], ovvero la matrice ottenuta applicando (senza un ordine particolare) la trasposizione e il coniugio complesso ad ''A'': <math>A^*=\bar{A}^\mathrm{T}=\overline{A^\mathrm{T}}=(\bar{a}_{i,j})_{j,i}</math>.
:Talvolta, ovvero quando ''A<sup>*</sup>'' viene ambiguamente utilizzato per indicare la matrice coniugata di ''A'', la matrice aggiunta di ''A'' è indicata <math>A^\dagger</math>.
:Anche la matrice trasposta della matrice dei [[#Cofattore|cofattori]] è detta aggiunta (in inglese ''adjugate'').
:Se la matrice A è reale, la matrice aggiunta coincide con la matrice trasposta di A in quanto la coniugata di una matrice reale è la matrice stessa .
{{Vedi anche|Matrice trasposta coniugata}}

=== Algebra delle matrici ===
:L'algebra delle matrici è la branca della matematica che si occupa delle proprietà della [[struttura algebrica]] delle matrici.
:L'[[algebra su campo|algebra]] delle matrici ''n × n'' su un [[campo (matematica)|campo]] ''k'',  è, quindi, una k-algebra: l'insieme è dotato di struttura algebrica definita da una legge interna  additiva e una moltiplicativa e una legge esterna di moltiplicazione per un (qualsivoglia) αεK. In particolare, con le operazioni di [[#Somma tra matrici|somma]], prodotto e moltiplicazione per uno [[scalare (matematica)|scalare]] αεK,  l'insieme delle matrici [[#Quadrata (matrice)|quadrate]] di ordine ''n'' e a componenti in un campo ''k'' è sostegno di un'[[algebra su campo|algebra  con legge di composizione (associativa)]] sicché, dotata  delle due leggi di composizione interne, è un anello.
:L'insieme delle matrici di dimensioni fissate ''(n,m)'' e a componenti in un [[gruppo commutativo]] è a sua volta un [[gruppo commutativo]], con l'operazione di [[#Somma tra matrici|composizione elemento per elemento]].
:L'insieme delle matrici ''m × n'' su un [[campo (matematica)|campo]] ''k'' con il [[prodotto scalare]] definito su esso elemento per elemento è uno [[spazio vettoriale]] su ''k.''
:L'insieme delle matrici quadrate di ordine n invertibili è associato agli endomorfismi cambio di base di spazio vettoriale (di dimensione n su K).
{{Vedi anche|Matrice}}

=== Antihermitiana (matrice) ===
:Una matrice antihermitiana, o "emihermitiana", è una matrice quadrata opposta alla propria [[#Aggiunta (matrice)|aggiunta]] ([[#Trasposta (matrice)|trasposta]] [[#Coniugata complessa|coniugata complessa]]): ''A<sup>*</sup> = - A''. (Al contrario di una matrice hermitiana, o autoaggiunta, per la quale ''A<sup>*</sup>=A''.)
{{Vedi anche|Matrice antihermitiana}}

=== Antisimmetrica (matrice) ===
:Una matrice antisimmetrica, o "emisimmetrica", è una matrice quadrata opposta alla propria [[#Trasposta (matrice)|trasposta]]: ''A<sup>t</sup> = - A''. (Al contrario di una matrice simmetrica, per la quale ''A<sup>t</sup> = A'').
:Per ogni matrice quadrata ''A'', la matrice ''A-A<sup>t</sup>'' è antisimmetrica.
{{Vedi anche|Matrice antisimmetrica}}

=== Associata ad una trasformazione (matrice) ===
:La matrice associata ad una [[trasformazione lineare]] tra due [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] con [[base di uno spazio vettoriale|basi]] fissate, detta anche solo "matrice di trasformazione", è la matrice che rappresenta la trasformazione rispetto alle basi.
{{vedi anche|Matrice di trasformazione}}

=== Autoaggiunta (matrice) ===
:Una matrice autoaggiunta, o "matrice hermitiana" è una matrice quadrata uguale alla propria [[#Aggiunta (matrice)|matrice aggiunta]]: ''A<sup>*</sup> = A''.
{{vedi anche|Matrice hermitiana}}

=== Autovalore e autovettore ===
:Un autovettore di una matrice ([[#Quadrata (matrice)|quadrata]]) ''A'' (considerata come matrice associata a una trasformazione lineare) è un vettore ''v'' che viene mandato dalla trasformazione associata ad ''A'' in un multiplo scalare di se stesso: ''Av=λv''.
:Un autovalore di ''A'' è uno scalare ''λ'' per cui il [[sistema lineare]] ''Av=λv'' possiede una soluzione ''v'' non nulla.
:L'insieme degli autovalori di una matrice è dato dal suo [[#Polinomio caratteristico|polinomio caratteristico]]. L'insieme degli autovettori di autovalore ''λ'' è dato dalle soluzioni del sistema lineare ''Av=λv''.
{{Vedi anche|Autovettore}}

== B ==
=== Bimatrice ===
:Una bimatrice è un [[tensore]] ''m × n × 2'' (oppure due matrici ''m × n'') rappresentato come una matrice i cui elementi sono [[coppia (matematica)|coppie ordinate]] di valori. Viene utilizzata in [[teoria dei giochi]] per rappresentare, in funzione delle scelte di strategia dei due giocatori, i loro rispettivi profitti (in [[lingua inglese|inglese]] ''payoff'').
{{Vedi anche|Bimatrice}}

=== Binaria (matrice) ===
:Una matrice binaria, o "(0,1)-matrice", è una matrice i cui elementi sono scelti tra ''0'' e ''1''.
{{Vedi anche|Matrice binaria}}

=== Blocchi (matrice a) ===
:Una matrice a blocchi, o "matrice partizionata a blocchi", è una matrice scritta in modo da raggrupparne gli elementi in blocchi rettangolari, ovvero descritta tramite sottomatrici della matrice stessa.
{{Vedi anche|Matrice a blocchi}}

== C ==
=== Cartan generalizzata (matrice di) ===
:Una matrice di Cartan generalizzata è una [[#Quadrata (matrice)|matrice quadrata]] con elementi [[numeri interi|interi]], pari a ''2'' sulla [[#Diagonale principale|diagonale principale]], minori o uguali a zero altrimenti, e che può essere scritta come [[#Prodotto righe per colonne|prodotto]] di una [[#Diagonale (matrice)|matrice diagonale]] con una [[#Simmetrica (matrice)|matrice simmetrica]].
:Vengono utilizzate nel contesto delle [[algebra di Lie|algebre di Lie]].
{{Vedi anche|Matrice di Cartan}}

=== Caratteristica di una matrice ===
:[[#Rango di una matrice|Rango di una matrice]]

=== Cauchy (matrice di) ===
:La matrice di Cauchy di due vettori <math>x=(x_1,...,x_m)</math> e <math>y=(y_1,...,y_n)</math> è la matrice ''m × n'' di componenti <math>a_{i,j}=(x_i+y_j)^{-1}</math>.

=== Circolante (matrice) ===
:Una matrice circolante è una matrice quadrata [[#Toeplitz (matrice di)|di Toeplitz]] di ordine ''n'' con elementi uguali lungo ognuna delle sue diagonali ''continue'', ovvero per la quale ''a<sub>i,j</sub>'' dipende solo dalla ''[[classi di resto|classe di resto]]'' di ''i+j-1'' modulo ''n''.

=== Cofattore ===
:Il cofattore, o "complemento algebrico", di una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] ''A'' di ordine ''n'', rispetto alla riga ''i'' e alla colonna ''j'', è il suo [[#Minore|minore]] ''(i,j)'' (il [[#Determinante|determinante]] della matrice ottenuta da ''A'' eliminando la riga ''i'' e la colonna ''j''), moltiplicato per ''(-1)<sup>i+j</sup>''.
:La matrice dei cofattori di ''A'' è la matrice quadrata i cui elementi sono i cofattori di ''A''.
:La matrice [[#Trasposta (matrice)|trasposta]] della matrice dei cofattori è talvolta detta "aggiunta", anche se questo termine è usato di solito per indicare la [[#Trasposta (matrice)|trasposta]] [[#Coniugata complessa (matrice)|coniugata]].
{{Vedi anche|Matrice dei cofattori}}

=== Colonna ===
:Una colonna di una matrice è un [[Vettore (matematica)|vettore]] dato da elementi della matrice disposti su una stessa linea verticale, ovvero con lo stesso secondo indice; la colonna ''j'' di <math>A=(a_{i,j})_{i,j}</math> è <math>C_j=(a_{i,j})_i</math>.
:Una matrice formata da una sola colonna è anche detta [[#Vettore|vettore colonna]].
:Ogni matrice ''m × n'' può essere scritta [[#Blocchi (matrice a)|a blocchi]] tramite le proprie colonne: ''A=(C<sub>1</sub>, C<sub>2</sub>, ..., C<sub>n</sub>)''.
:Le colonne di una [[#Quadrata (matrice)|matrice quadrata]] sono vettori [[indipendenza lineare|linearmente indipendenti]] se e solo se il [[Determinante (algebra)|determinante]] della matrice non è ''0''.

=== Compagna (matrice) ===
:La matrice compagna di un [[polinomio monico]] ''P'' di grado ''n'' è la matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] di ordine ''n'' avente ''1'' sulla prima [[#Diagonale|sovradiagonale]], i coefficienti del polinomio cambiati di segno sull'ultima [[#Riga|riga]] e ''0'' altrove.
:Questa matrice viene costruita in modo da avere il [[#Polinomio minimo|polinomio minimo]] e il [[polinomio caratteristico]] pari a ''P''; in particolare, i suoi [[#Autovettore|autovalori]] sono le radici di ''P''.
:Per ogni radice ''λ'' di ''P'', il [[Vettore (matematica)|vettore]] <math>(1,\lambda,\lambda^2,\ldots,\lambda^{n-1})^t</math> è un [[#Autovettore|autovettore]] di autovalore ''λ'' della matrice compagna di ''P''.
:Talvolta anche la trasposta della matrice compagna è chiamata con lo stesso nome.
{{Vedi anche|Matrice compagna}}

=== Complemento algebrico di una matrice ===
:[[#Cofattore|Cofattore]]

=== Componente ===
:La componente, o "elemento", di una matrice è uno degli oggetti che, disposti a rettangolo, costituiscono la matrice. Solitamente è indicato con una lettera minuscola con due indici per la riga e la colonna: ''a<sub>i,j</sub>'' è la componente sulla riga ''i'' e sulla colonna ''j''.

=== Coniugata complessa (matrice) ===
:La matrice coniugata complessa, o semplicemente "coniugata", di una matrice <math>A=(a_{i,j})_{i,j}</math> a coefficienti [[numeri complessi|complessi]] è la matrice i cui elementi sono i [[coniugio complesso|coniugati complessi]] degli elementi di ''A'': <math>\overline{A}=(\overline{a_{i,j}})_{i,j}</math>.
:Talvolta viene utilizzata anche la notazione più ambigua <math>A^*</math> (utilizzata anche per la [[#Aggiunta (matrice)|matrice aggiunta]]).
{{Vedi anche|Matrice complessa coniugata}}

=== Coniugata hermitiana (matrice) ===
:[[#Aggiunta (matrice)|Aggiunta (matrice)]]

=== Coxeter (matrice di) ===
:Una matrice di Coxeter è una [[#Simmetrica (matrice)|matrice simmetrica]] con elementi [[numeri interi|interi]] non negativi, e pari a ''1'' sulla diagonale. Viene utilizzata per descrivere i gruppi di Coxeter, definiti da generatori ''r<sub>i</sub>'' con le relazioni <math>(r_ir_j)^{a_{i,j}}</math>.
{{Vedi anche|Gruppo di Coxeter}}

== D ==
=== Definita positiva (matrice) ===
:Una matrice definita positiva è una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]], [[#Simmetrica (matrice)|simmetrica]] in campo [[numero reale|reale]] o [[#Hermitiana (matrice)|hermitiana]] in campo [[Numero complesso|complesso]], con tutti gli [[#Autovettore|autovalori]] [[numeri reali|reali]] positivi. Le matrici definite positive hanno proprietà analoghe a quelle dei numeri reali positivi.
{{Vedi anche|Matrice definita positiva}}

=== Densa (matrice) ===
:Una matrice densa è una matrice con "pochi" elementi pari a ''0''.
:Una matrice con "molti" elementi pari a ''0'' è invece una [[#Sparsa (matrice)|matrice sparsa]].

=== Determinante ===
:Il determinante, indicato ''det'' e talvolta più ambiguamente <math>|\cdot|</math>, è una funzione che associa ad ogni matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] un numero che ne sintetizza alcune proprietà algebriche.
:Se la matrice indica una [[trasformazione lineare]] su uno [[spazio vettoriale]], i [[volume (matematica)|volumi]] degli oggetti vengono modificati di un fattore pari al [[valore assoluto]] del determinante, e [[orientabilità|orientati]] secondo il suo [[segno (matematica)|segno]].
:Il determinante è anche utilizzato nello studio e nella risoluzione dei [[sistema di equazioni lineari|sistemi di equazioni lineari]]: una matrice con determinante invertibile è [[#Invertibile (matrice)|invertibile]] e il relativo sistema di equazioni lineari ha una ed una sola soluzione.
:A titolo di esempio:
* per matrici di [[#Ordine di una matrice|ordine]] ''1'', <math>\det(A)=a_{1,1}</math>;
* per matrici di ordine ''2'', <math>\det(A) := a_{1,1}a_{2,2} - a_{2,1}a_{1,2}</math>;
* per matrici di ordine ''3'',<math>\det(A) := a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{1,3}a_{3,2}a_{2,1} + a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} - a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2} - a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}</math>.
{{Vedi anche|Determinante (algebra)}}

=== Diagonale ===
:La diagonale principale, o semplicemente "diagonale", di una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] è la linea che va dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra; gli elementi su di essa sono della forma <math>a_{i,i}</math>.
:Le sovradiagonali e le sottodiagonali (codiagonali) sono le linee parallele alla diagonale, poste sopra o sotto di essa.
:La diagonale secondaria di una matrice quadrata di ordine ''n'' è l'altra sua diagonale, la linea che va dall'angolo in basso a sinistra all'angolo in alto a destra, e passa per gli elementi <math>a_{i,n-i}</math>.
{{Vedi anche|Diagonale principale}}

=== Diagonale (matrice) ===
:Una matrice diagonale è una matrice quadrata con solo ''0'' fuori dalla propria diagonale principale. È contemporaneamente [[#Triangolare (matrice)|triangolare]] superiore e inferiore.
:Il [[#Determinante|determinante]] di una matrice diagonale è pari al prodotto di tutti gli elementi sulla sua diagonale principale.
{{Vedi anche|Matrice diagonale}}

=== Diagonali costanti (matrice a) ===
:[[#Toeplitz (matrice di)|Toeplitz (matrice di)]]

=== Diagonalizzabile (matrice) ===
:Una matrice diagonalizzabile è una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] trasformabile, tramite una [[trasformazione affine]] [[invertibile]], in una matrice diagonale, ovvero è una matrice che possiede un insieme completo di [[#Autovettore|autovettori]] [[indipendenza lineare|linearmente indipendenti]].
{{Vedi anche|Matrice diagonalizzabile}}

=== Dimensioni di una matrice ===
:Le dimensioni di una matrice sono il numero delle sue [[#Riga|righe]] e quello delle sue [[#Colonna|colonne]]. Solitamente si denotano come <math>m \times n</math>, dove ''m'' è il numero di righe ed ''n'' è il numero di colonne.

== E ==
=== Elemento ===
:[[#Componente|Componente]]

=== Emihermitiana (matrice) ===
:[[#Antihermitiana (matrice)|Antihermitiana (matrice)]]

=== Emisimmetrica (matrice) ===
:[[#Antisimmetrica (matrice)|Antisimmetrica (matrice)]]

=== Esponenziale (matrice) ===
:La matrice esponenziale, o "esponenziale di matrice", è una funzione analoga alla [[funzione esponenziale]], che associa ad una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] ''A'' la matrice ottenuta tramite la [[serie di potenze]] <math>e^A=\sum_{k\geqslant 0}\frac{1}{k!}A^k</math>. Per le matrici di ordine ''1'' l'esponenziale di matrice si comporta come l'esponenziale.
:La matrice esponenziale è molto utilizzata nelle applicazioni di [[teoria dei sistemi]] per i [[controlli automatici]].
{{Vedi anche|Matrice esponenziale}}

== F ==
=== Filbert (matrice di) ===
:Una matrice di Filbert è una matrice quadrata con elementi ''a<sub>i,j</sub> = 1/F(i + j - 1)'', dove ''F(n)'' è l'n-simo elemento della [[serie di Fibonacci]]. In particolare è una [[#Hankel (matrice di)|matrice di Hankel]].
:Le matrici di Filbert hanno alcune proprietà in comune con le [[#Hilbert (matrice di)|matrici di Hilbert]].
{{Vedi anche|Matrice di Filbert}}

=== Fondamentale (matrice) ===
:La matrice fondamentale di ''n'' funzioni derivabili ''n-1'' volte, ''f<sub>1</sub>'', ..., ''f<sub>n</sub>'', è la [[#Quadrata (matrice)|matrice quadrata]] in cui le righe sono formate dalle [[derivata|derivate]] successive delle funzioni stesse, dall'ordine ''0'' all'ordine ''n - 1'': <math>a_{i,j}=D^{i-1}f_j</math>
:Il suo [[#Determinante|determinante]] è detto [[#Wronskiano|wronskiano]] ed è utilizzato per determinare l'[[indipendenza lineare]] delle funzioni ''f<sub>1</sub>'', ..., ''f<sub>n</sub>''.
{{Vedi anche|Wronskiano}}

=== Frobenius (matrice di) ===
:Una matrice di Frobenius è una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] i cui elementi sono ''1'' sulla [[#Diagonale|diagonale principale]] e ''0'' altrove, con l'eccezione degli elementi di una [[#Colonna|colonna]] che stanno sotto la diagonale principale, ovvero della forma ''A=I+B'' dove ''I'' è la matrice [[#Identità (matrice)|unità]] e ''B'' è una matrice [[#Triangolare (matrice)|triangolare inferiore]] con una sola colonna non nulla.
:Ogni matrice di Frobenius ''A=I+B'' è [[#Invertibile (matrice)|invertibile]] e la sua inversa è ancora una matrice di Frobenius, con gli elementi fuori dalla diagonale cambiati di segno: ''(I+B)<sup>-1</sup>=I-B''.
:Le matrici di Frobenius rappresentano le trasformazioni di Gauss utilizzate nel [[metodo di eliminazione di Gauss]].
{{vedi anche|Matrice di Frobenius|:en:Frobenius matrix }}

== G ==
=== Gell-Mann (matrici di) ===
:Le matrici di Gell-Mann sono un insieme di generatori infinitesimali del [[gruppo unitario speciale]] di grado 3, ''SU(3)'', dotati di particolari relazioni.
:Sono utilizzate nello studio della fisica delle particelle elementari in quanto descrivono il cambiamento della [[carica di colore]] dei [[Quark (particella)|quark]].
{{Vedi anche|Matrici di Gell-Mann}}

== H ==
=== Hadamard (matrice di) ===
:Una matrice di Hadamard è una [[#Quadrata (matrice)|matrice quadrata]] di ordine ''n'' con tutti gli elementi uguali a <math>+1</math> o <math>-1</math>, la cui [[#Inversa (matrice)|inversa]] è uguale alla [[#Trasposta (matrice)|trasposta]] divisa per ''n''. Equivalentemente, le righe della matrice sono [[Vettore (matematica)|vettori]] tra loro ortogonali.
:Le matrici di Hadamard sono utilizzate per codici volti alla correzione di errori e per calcoli statistici.
:Esempi di matrici di Hadamard sono date dalla costruzione per [[ricorsione]] di [[James Joseph Sylvester|Sylvester]]: se ''H'' è una matrice di Hadamard, allora lo è anche
:<math>H_1\otimes H=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\otimes H\begin{pmatrix}H&O\\O&H\end{pmatrix}</math>
:In particolare sono matrici di Hadamard le matrici <math>H_k=H_1^{\otimes k}=H_1\otimes H_{k-1}</math> di ordine ''2<sup>k</sup>''.
{{Vedi anche|Matrice di Hadamard}}

=== Hankel (matrice di) ===
:Una matrice di Hankel è una matrice quadrata ''A=(a<sub>i,j</sub>)'' i cui elementi ''a<sub>i,j</sub>'' dipendono solo da ''i+j'', ovvero è una matrice con elementi uguali su ogni linea parallela alla [[#Diagonale|diagonale]] secondaria.
:Per ogni successione ''{b<sub>1</sub>, ..., b<sub>2n-1</sub>}'' si può costruire una matrice di Henkel di ordine ''n'', con ''a<sub>ij</sub>=b<sub>i+j-1</sub>''.
:Una matrice in cui ''a<sub>i,j</sub>'' dipende solo da ''i-j'' è invece detta [[#Toeplitz (matrice di)|matrice di Toeplitz]].
{{Vedi anche|Matrice di Hankel}}

=== Hermitiana (matrice) ===
:[[#Autoaggiunta (matrice)|Autoaggiunta (matrice)]]

=== Hessenberg (matrice di) ===
:Una matrice di Hessenberg, superiore o inferiore, è una [[matrice quadrata]] "quasi" triangolare: ha nulli tutti gli elementi ''a<sub>ij</sub>'' con rispettivamente ''i > j+1'' oppure ''j > i+1''. In altri termini, una matrice di Hessenberg superiore (o inferiore) ha nulli tutti i termini sotto la prima sottodiagonale, o sopra la prima sovradiagonale.
{{Vedi anche|Matrice di Hessenberg}}

=== Hessiana (matrice) ===
: La matrice hessiana di una funzione <math>f</math> di più variabili, derivabile almeno due volte, è la matrice quadrata delle [[derivata parziale|derivate parziali di secondo ordine]] della funzione: <math>a_{i,j}=\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}</math>.
{{Vedi anche|Matrice hessiana}}

=== Hilbert (matrice di) ===
:Una matrice di Hilbert è una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] con elementi ''a<sub>i,j</sub> = (i + j - 1)<sup>-1</sup>''. In particolare, è una [[#Hankel (matrice di)|matrice di Hankel]].
{{Vedi anche|Matrice di Hilbert}}

== I ==
=== Identità (matrice) ===
:La matrice identità, o matrice identica, o matrice unità, è una [[#Quadrata (matrice)|matrice quadrata]] i cui elementi sono 1 sulla [[#Diagonale principale|diagonale principale]] e 0 altrove. In particolare è una matrice [[#Diagonale (matrice)|diagonale]].
:La matrice identità è l'[[elemento neutro]] per l'operazione di [[#Prodotto righe per colonne|moltiplicazione fra matrici]], ed è solitamente indicata con ''I'' oppure ''I<sub>n</sub>'', dove ''n'' è il suo ordine.
{{Vedi anche|Matrice identità}}

=== Inversa (matrice) ===
:La matrice inversa di una matrice quadrata ''A'' è il suo [[elemento inverso]] per l'operazione di [[#Prodotto righe per colonne|composizione]], ovvero una matrice ''A<sup>-1</sup>B'' tale che ''AB=I'' (e ''BA=I''), dove ''I'' è la [[#Identità (matrice)|matrice unità]].
{{Vedi anche|Matrice inversa}}

=== Invertibile (matrice) ===
:Una [[#Quadrata (matrice)|matrice quadrata]] è invertibile se possiede una [[#Inversa (matrice)|matrice inversa]] (l'[[elemento inverso]] per l'operazione di [[#Prodotto righe per colonne|composizione]]).
:Una matrice è invertibile se e solo se il suo [[Determinante (algebra)|determinante]] è [[elemento invertibile|invertibile]].
{{Vedi anche|Matrice invertibile}}

== J ==
=== Jacobiana (matrice) ===
:La matrice jacobiana di ''m'' funzioni in ''n'' variabili, ''f<sub>1</sub>'', ..., ''f<sub>n</sub>'', derivabili, è la matrice ''m × n'' delle loro [[derivata parziale|derivate parziali]]: <math>a_{i,j}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}</math>.
{{Vedi anche|Matrice jacobiana}}

===Jury(matrice di)===
{{vedi anche|Criterio di Jury}}
:Permette di verificare se le radici di un [[polinomio]] hanno tutte modulo minore di uno.

== M ==
=== Matrice ===
:Una matrice è un insieme di "oggetti", rappresentato come una tabella rettangolare. Solitamente vengono scelti come oggetti gli elementi di un [[anello (algebra)|anello]], o di un [[campo (matematica)|campo]].
{{Vedi anche|Matrice}}

=== Minore ===
:Un minore di una matrice ''A'' è il [[#Determinante|determinante]] di una sottomatrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] di ''A'', ottenuta eliminandone alcune righe e colonne.
:Il minore di una matrice quadrata, ottenuto eliminando la riga ''i'' e la colonna ''j'' è solitamente detto minore ''(i,j)''.
:I minori sono utilizzati per calcolare il [[#Rango di una matrice|rango di una matrice]].
{{Vedi anche|Minore (algebra lineare)}}

=== M-matrice ===
:Una M-matrice è una [[#Z-matrice|Z-matrice]] ([[#Matrice quadrata|matrice quadrata]] con elementi [[numeri reali|reali]] minori o uguali a zero, eccetto quelli sulla [[#Diagonale principale|diagonale principale]]) i cui [[#Autovettore|autovalori]] hanno parte reale positiva.
:L'inversa di una M-matrice, se esiste, è una [[#Non negativa (matrice)|matrice non negativa]].
:Prende il nome da [[Hermann Minkowski]].

=== Markov (matrice di) ===
La '''matrice di transizione''' o '''matrice di Markov''' per un [[processo markoviano]] discreto è la matrice generata dalle [[probabilità di transizione]] in ''k'' passi:

<math>\mathbf{P}_n^{(k)} := \begin{bmatrix}P_{0,0}^{n,k} & \cdots & P_{0,N}^{n,k} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
P_{N,0}^{n,k} & \cdots & P_{N,N}^{n,k}\end{bmatrix}</math>

Dove ''N'' è la [[cardinalità]] dell'insieme degli stati e ''n'' è l'istante attuale. Costituisce quindi una variante della [[matrice delle adiacenze]] per i grafi semplici.

{{vedi anche|Matrice di Markov}}

== N ==
=== Nullspace ===
:Il nullspace associato ad una matrice è un sottospazio vettoriale che prende anche il nome di annullatore in quanto rispetto ad una matrice A verifica l'equazione: AX=O
:dunque il nullspace si indica come:
:A ∈ R<sup>m,n</sup> , O ∈ R<sup>m,1</sup> (matrice nulla), X ∈ R<sup>n,1</sup>
:N(A)={X ∈ R<sup>n</sup> | AX=O}
:Se la matrice A è associata ad un'applicazione lineare, N(A) ≡ Ker[f(x)]

=== Non negativa (matrice) ===
:Una matrice non negativa è una matrice i cui elementi sono [[numeri reali]] non negativi: ''a<sub>ij</sub>≥0''.
:Alcune proprietà delle matrici non negative sono descritte dal [[teorema di Perron-Frobenius]].

=== Normale (matrice) ===
:Una matrice normale è una matrice quadrata a valori complessi che commuta con la propria [[#Aggiunta (matrice)|aggiunta]], ovvero ''A<sup>*</sup> A = A A<sup>*</sup>''
:Ogni matrice normale soddisfa le ipotesi del [[teorema spettrale]].
{{Vedi anche|Matrice normale}}

=== Nulla (matrice) ===
:Una matrice nulla, o matrice zero, è una matrice che ha tutti gli elementi pari a ''0''. Viene talvolta indicata ''O'' o ''O<sub>m,n</sub>'' (se è di dimensioni ''m x n'').
:Le matrici nulle sono gli [[elemento neutro|elementi neutri]] per la [[#Somma fra matrici|somma di matrici]].
:Il [[#Prodotto tra matrici|prodotto]] di una matrice per una matrice nulla è ancora una matrice nulla.
{{Vedi anche|Matrice nulla}}

== O ==
=== Ordine di una matrice ===
:L'ordine di una matrice ''m × n'' è la coppia ''(m,n)'' delle sue [[#Dimensioni di una matrice|dimensioni]] ([[#Riga|righe]] e [[#Colonna|colonne]]). L'ordine di una [[#Quadrata (matrice)|matrice quadrata]] ''n × n'' è anche il singolo numero ''n''.

=== Orlo di una matrice ===
:L'orlo di una matrice è dato dalle sue righe e dalle sue colonne più esterne, ovvero le prime e le ultime.
:Le [[#Sottomatrice|sottomatrici]] di ''A'' ottenute eliminandone solo righe e colonne esterne sono orlate da ''A''.

=== Ortogonale (matrice) ===
:Una matrice ortogonale è una [[#Matrice quadrata|matrice quadrata]] con coefficienti [[numeri reali|reali]], che è [[#Inversa (matrice)|inversa]] della propria [[#Trasposta (matrice)|trasposta]]: ''A<sup>-1</sup> = A<sup>t</sup>'', ovvero <math>AA^t=A^tA=I</math>.
:Equivalentemente, ''A'' è un'[[isometria]] dello [[spazio euclideo]], ovvero è un cambiamento di [[base (algebra lineare)|base]] tra due [[base ortonormale|basi ortonormali]]. In particolare le righe (e le colonne) della matrice formano una [[base ortonormale]] di <math>\mathbb{R}^n</math>.
{{Vedi anche|Matrice ortogonale}}

== P ==
=== Partizionata a blocchi (matrice) ===
:[[#Blocchi (matrice a)|Blocchi (matrice a)]]

=== Payoff (matrice) ===
:[[#Bimatrice|Bimatrice]]

=== Permutazione (matrice di) ===
:Una matrice di permutazione, o "permutativa", è una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] di ordine ''n'' che rappresenta una [[permutazione]] di ''n'' elementi. In particolare, in ogni sua riga ed in ogni sua colonna c'è uno ed un solo elemento non nullo, ''1''. Il [[Determinante (algebra)|determinante]] di una matrice di permutazione è pari al [[segno di una permutazione|segno della permutazione]].
:Una matrice di permutazione, o "permutativa", generalizzata non richiede invece che gli elementi non nulli siano pari a ''1'': è una matrice che possiede al più un elemento non nullo in ogni riga ed in ogni colonna.
{{Vedi anche|Matrice di permutazione|Matrice permutativa generalizzata}}

=== Persimmetrica (matrice) ===
:Una matrice persimmetrica è una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] che è simmetrica rispetto alla propria [[#Diagonale|diagonale secondaria]]: ''a<sub>i,j</sub>=a<sub>n-j+1,n-i+1</sub>''.
{{Vedi anche|Matrice persimmetrica}}

=== Pick (matrice di) ===
:Una matrice di Pick è una matrice che viene utilizzata nello studio di problemi di [[interpolazione]] di [[funzione analitica|funzioni analitiche]]. Dati tre vettori [[numeri complessi|complessi]] ''u'', ''v'' ed ''f'' in <math>\mathbb{C}^n</math>, con gli elementi di ''f'' di [[norma (matematica)|norma]] minore di ''1'' (''||f<sub>i</sub>||<1'') la matrice di Pick relativa è una matrice quadrata di ordine ''n'' con elementi
:<math>a_{i,j}=\frac{||u_i||-||v_j||}{1-\overline{f}_if_j}</math>
{{Vedi anche|Matrice di Pick}}

=== Polinomio caratteristico ===
:Il polinomio caratteristico di una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] ''A'' è il [[polinomio monico]] in ''X'' pari al [[#Determinante|determinante]] della matrice ''XI<sub>n</sub>-A'', dove ''I'' è la [[#Identità (matrice)|matrice identità]].
:Le [[radice (matematica)|radici]] del polinomio caratteristico di ''A'' sono tutti e soli gli [[#Autovalore|autovalori]] di ''A'': sono infatti i valori ''λ'' per cui ''det(λI-A)=0'', ovvero per i quali esiste un [[Vettore (matematica)|vettore]] non nullo ''v'' con ''λv=Av''.
{{vedi anche|Polinomio caratteristico}}

=== Positiva (matrice) ===
:Una matrice positiva è una matrice i cui elementi sono [[numeri reali]] positivi: ''a<sub>ij</sub>>0''.
{{Vedi anche|Matrice positiva}}

=== Probabilità di transizione (matrice delle) ===
:La matrice delle probabilità di transizione di un [[processo stocastico]] [[processo markoviano|di Markov]] (cioè "privo di memoria") a ''n'' [[stato di sistema|stati]] è una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] di ordine ''n'' i cui elementi esprimono la [[probabilità]] di passare da uno stato ad un altro in due istanti successivi ([[probabilità condizionata]]):
:<math>a_{i,j}=P(X_{t+1}=x_i|X_{t}=j)</math>
{{vedi anche|Matrice delle probabilità di transizione}}

=== Prodotto di Kronecker ===
:Il prodotto di Kronecker di due matrici ''A=(a<sub>i,j</sub>)<sub>i,j</sub>'' e ''B=(b<sub>k,l</sub>)<sub>k,l</sub>'', di rispettive dimensioni ''m x n'' e ''p x q'', è una matrice ''C=A⊗B'' di ordine ''mp x nq'', esprimibile in forma [[#A blocchi (matrice)|a blocchi]] ''(a<sub>i,j</sub>B)<sub>i,j</sub>'', ovvero con elementi
:<math>c_{pi+k,qj+l}=a_{i,j}b_{k,l}</math>
:Il prodotto di Kronecker è [[bilineare]] e [[associatività|associativo]]. È un caso particolare di [[prodotto tensoriale]].
{{Vedi anche|Prodotto di Kronecker}}

=== Prodotto per scalare ===
:Una matrice ''A'' a elementi in un [[campo (matematica)|campo]] può essere moltiplicata per un elemento ''λ'' del campo (uno ''scalare'') come un [[Vettore (matematica)|vettore]]: ogni elemento di ''A'' viene moltiplicato per ''λ''.
:Il prodotto della matrice ''A'' per lo scalare ''λ'' è <math>\lambda A=\lambda(a_{i,j})_{i,j}=(\lambda a_{i,j})_{i,j}</math>.
{{Vedi anche|Prodotto esterno}}

=== Prodotto scalare ===
:Il prodotto scalare fra due [[Vettore (matematica)|vettori]] di uno [[spazio vettoriale]] definito su un [[campo (matematica)|campo]] è una funzione bilineare che associa a due vettori ''v'' e ''w'' uno scalare (un elemento del campo stesso) ''<v,w>''.
:L'usuale prodotto scalare tra vettori ''v'' e ''w'' è <math>v\cdot w=\langle v,w\rangle = \sum_i v_iw_i = v_1w_1+v_2w_2+\ldots</math>
:Il prodotto scalare può essere generalizzato da una [[forma bilineare simmetrica]], che può essere definita tramite una matrice [[#Simmetrica (matrice)|simmetrica]] ''M'' come <math>\langle v,w\rangle= v^tMw</math>. Prendendo ''M=I'' la matrice [[#Identità (matrice)|unità]], si ottiene il prodotto scalare usuale.
{{vedi anche|Prodotto scalare|Forma bilineare simmetrica}}

=== Prodotto tra matrici ===
:Il prodotto tra due matrici ''A'' e ''B'', di rispettive dimensioni ''m x l'' e ''l x n'' ed entrambe con elementi in un [[anello (algebra)|anello]], è una matrice ''C=AB'' di dimensioni ''m x n'' con elementi della forma
:<math> c_{i,j} = \sum_{k=1}^l a_{i,k}b_{k,j} = a_{i,1}b_{1,j} + a_{i,2}b_{2,j} + \cdots + a_{i,l}b_{l,j} </math>.
:L'elemento nella riga ''i'' e nella colonna ''j'' del prodotto ''AB'' è, in altri termini, il [[#Prodotto scalare|prodotto scalare]] tra la riga ''i'' di ''A'' e la colonna ''j'' di ''B'' (ovvero la somma dei prodotti dei loro rispettivi elementi, ordinati). Per questo motivo il prodotto tra matrici viene talvolta memorizzato come "prodotto righe per colonne".
:Questo prodotto tra matrici è definito solo quando ''A'' e ''B'' hanno dimensioni compatibili, ovvero quando il numero di colonne di ''A'' è pari al numero di righe di ''B''.
:Il prodotto tra matrici è [[associatività|associativo]] ed è [[distributività|distributivo]] rispetto alla [[#Somma tra matrici|somma]], ma non è [[commutatività|commutativo]].
:Il prodotto tra matrici è compatibile con le trasformazioni lineari, ovvero la [[matrice di trasformazione|matrice associata]] alla composizione di due trasformazioni lineari è il prodotto delle due matrici associate alle singole trasformazioni: <math>M_{f\circ g}=M_fM_g</math>.
:Le matrici [[#Quadrata (matrice)|quadrate]] di ordine ''n'' sono un [[anello (algebra)|anello]] con questo prodotto e con la [[#Somma tra matrici|somma elemento per elemento]].
:Le matrici [[#Identità (matrice)|unità]] ''I'' sono [[elemento neutro|elementi neutri]] del prodotto tra matrici; il prodotto di una matrice per una matrice nulla ''O'' è ancora una matrice nulla.
{{Vedi anche|Prodotto fra matrici}}

== Q ==
=== Quadrata (matrice) ===
:Una matrice quadrata è una matrice con tante righe quante colonne, ovvero di pari dimensioni ''n × n''. La dimensione ''n'' è anche detta ordine (che non coincide con l'[[ordine moltiplicativo]]).
:Le matrici quadrate di ordine ''n'' con elementi in un [[anello (algebra)|anello]] sono a loro volta un anello, in genere [[anello non commutativo|non commutativo]].
:Le matrici quadrate di ordine ''n'' con elementi in un [[anello commutativo]] sono un'[[algebra associativa]].
{{Vedi anche|Matrice quadrata}}

== R ==
=== Rango di una matrice ===
:Il rango di una matrice è il massimo numero di sue colonne [[indipendenza lineare|linearmente indipendenti]], ed anche il massimo numero di sue righe linearmente indipendenti.
:In particolare, il rango di una matrice è anche il massimo degli ordini delle sue [[#Sottomatrice|sottomatrici]] [[#Quadrata (matrice)|quadrate]] [[#Invertibile (matrice)|invertibili]].
{{Vedi anche|Rango (algebra lineare)}}

=== Rappresentativa di sezioni coniche (matrici) ===
:Ad ogni equazione che definisce una [[sezione conica|conica]] vengono solitamente associate due matrici [[#Quadrata (matrice)|quadrate]], di ordini ''2'' e ''3'' rispettivamente, i [[#Determinante|determinanti]] e le [[#Traccia|tracce]] dei quali classificano la conica stessa.
:La prima matrice, ''M'', fornisce l'equazione della conica tramite l'equazione ''vMv<sup>t</sup>'', con ''v=(X,Y,1)''.
:La seconda matrice è [[#Orlo|orlata]] dalla prima, e contiene i coefficienti della parte omogenea di grado ''2'' dell'equazione.
{{Vedi anche|Rappresentazione matriciale delle coniche}}

=== Riga ===
:Una riga di una matrice è un [[Vettore (matematica)|vettore]] dato da elementi della matrice disposti su una stessa linea orizzontale, ovvero con lo stesso primo indice; la riga ''i'' di <math>A=(a_{i,j})_{i,j}</math> è <math>C_i=(a_{i,j})_j</math>.
:Una matrice formata da una sola riga è anche detta vettore riga.
:Ogni matrice ''m × n'' può essere scritta [[#Blocchi (matrice a)|a blocchi]] tramite le proprie righe: ''A=(R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>, ..., R<sub>n</sub>)^t''.
:Le righe di una [[#Quadrata (matrice)|matrice quadrata]] sono vettori [[indipendenza lineare|linearmente indipendenti]] se e solo se il [[Determinante (algebra)|determinante]] della matrice non è ''0''.

===Routh (matrice di)===
{{vedi anche|Criterio di Routh-Hurwitz}}
:Permette di trovare il numero di radici positive e quello di radici negative di un [[polinomio]].

== S ==
=== S (matrice) ===
:[[#Scattering (matrice di)|Scattering (matrice di)]]

=== Scattering (matrice di) ===
:Una matrice di scattering, o matrice S, è una matrice utilizzata in [[fisica quantistica]] per particolari problemi di [[scattering]] (urti tra particelle); la matrice S descrive il passaggio tra [[autostato|autostati]] dell'[[Operatore hamiltoniano|hamiltoniana]] libera, dal passato remoto (''t=-∞'') al futuro remoto (''t=∞'').
{{Vedi anche|Matrice S}}

=== Simmetrica (matrice) ===
:Una matrice simmetrica è una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] invariante per [[#Trasposta (matrice)|trasposizione]], ovvero uguale alla propria matrice trasposta: ''A=A<sup>t</sup>''. In particolare, la matrice è simmetrica rispetto alla propria [[#Diagonale|diagonale principale]], e per i suoi elementi vale <math>a_{i,j}=a_{j,i}</math>.
:Per ogni matrice quadrata ''A'', la matrice ''A+A<sup>t</sup>'' è simmetrica.
{{Vedi anche|Matrice simmetrica}}

=== Simplettica (matrice) ===
:Una matrice simplettica è una particolare [[matrice di trasformazione]] che esprime una trasformazione simplettica di uno spazio vettoriale simplettico (dotato di una [[forma bilineare antisimmetrica]] ''ω'' non degenere). In particolare la matrice simplettica preserva ''ω''.
:Per una [[base di uno spazio vettoriale|base]] fissata, ''ω'' può essere espressa come una matrice quadrata ''Ω'' di ordine ''2n'', e una matrice simplettica è una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] ''A'' di ordine ''2n'' che soddisfa <math>A^t\Omega A=\Omega</math>, dove
:<math>\Omega=\begin{pmatrix}O_{n,n} & I_n \\ -I_n & O_{n,n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\otimes I_n</math>
:e ''I<sub>n</sub>'' è la matrice [[#Identità (matrice)|unità]] di ordine ''n''.
{{Vedi anche|Matrice simplettica}}

=== Singolare (matrice) ===
:Una matrice singolare è una [[#Quadrata (matrice)|matrice quadrata]] con [[#Determinante|determinante]] uguale a zero, oppure, analogamente, una matrice quadrata il cui [[Rango (algebra lineare)|rango]] non è massimo. In particolare, nessuna matrice singolare è [[#Invertibile (matrice)|invertibile]].
{{Vedi anche|Matrice singolare}}

=== Somma diretta ===
:La somma diretta di due matrici ''A'' e ''B'', di rispettive dimensioni ''m × n'' e ''p × q'', è una matrice ''C=A⊕B'' di ordine ''(m+p) × (n+q)'' nella forma ([[#A blocchi (matrice)|diagonale a blocchi]])
:<math>C=\begin{pmatrix}A & O_{m,q} \\ O_{p,n} & B \end{pmatrix}</math>,
:dove le ''O'' sono matrici [[#Nulla (matrice)|di zeri]] di ordine opportuno.
:La somma diretta esprime una [[trasformazione lineare]] sulla [[somma diretta]] di due [[spazi vettoriali]], ''V⊕W'': <math>A\oplus B (v,w)=(Av,Bw)</math>.
{{vedi anche|Somma tra matrici}}

=== Somma tra matrici ===
:La somma tra due matrici ''A'' e ''B'' di uguali dimensioni ''m × n'', entrambe con elementi in un [[gruppo commutativo]], è una matrice ''C=A+B'' di dimensioni ''m × n'' i cui elementi sono ottenuti componendo gli elementi di ''A'' e ''B'' nelle posizioni corrispondenti (somma termine a termine):
:<math>c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}</math>
:L'insieme delle matrici ''m × n'' è un [[gruppo commutativo]] con l'operazione di somma, con elemento neutro la [[#Nulla (matrice)|matrice nulla]].
{{Vedi anche|Somma fra matrici}}

=== Sostituzione (matrice di) ===
:In [[biologia]] una matrice di sostituzione è una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] che descrive il ritmo con cui un carattere di una catena di [[amminoacidi]] si trasforma in un altro nel tempo.
{{Vedi anche|Matrice di sostituzione}}

=== Sottomatrice ===
Una sottomatrice di una matrice ''A'' è una matrice ottenuta eliminando da ''A'' alcune [[#Riga|righe]] e [[#Colonna|colonne]].

=== Sparsa (matrice) ===
:Una matrice sparsa è una matrice che ha "quasi tutti" gli elementi pari a ''0''.
:Una matrice che ha "pochi" elementi pari a ''0'' è invece una matrice [[#Densa (matrice)|densa]].
{{Vedi anche|Matrice sparsa}}

=== Stocastica (matrice) ===
:[[#Probabilità di transizione (matrice delle)|Probabilità di transizione (matrice delle)]]

== T ==
=== Toeplitz (matrice di) ===
:Una matrice di Toeplitz è una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] ''A=(a<sub>ij</sub>)'' i cui elementi ''a<sub>ij</sub>'' dipendono solo da ''i-j'', ovvero è una matrice con elementi uguali su ogni linea parallela alla [[#Diagonale|diagonale]] principale.
:Per ogni successione ''(b<sub>1</sub>, ..., b<sub>2n-1</sub>)'' si può costruire una matrice di Toeplitz di ordine ''n'', con ''a<sub>i,j</sub>=b<sub>i-j+n+1</sub>''.
:Una matrice in cui ''a<sub>i,j</sub>'' dipende solo da ''i+j'' è invece detta [[#Hankel (matrice di)|matrice di Hankel]].
{{Vedi anche|Matrice di Toeplitz}}

=== Totalmente positiva (matrice) ===
:Una matrice totalmente positiva è una matrice che ha tutti i [[#Minore|minori]] (i [[#Determinante|determinanti]] delle sottomatrici quadrate) [[numeri reali|reali]] positivi.
:Tali matrici sono usate per generare i punti di riferimento delle [[curva di Bézier]] nella [[computer grafica]].
{{Vedi anche|Matrice totalmente positiva}}

=== Traccia ===
:La traccia di una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] è la somma degli elementi sulla sua [[#Diagonale|diagonale principale]]:
:<math>\text{Tr}(A)=\sum_i a_{i,i}=a_{1,1}+a_{2,2}\ldots</math>
:La traccia è additiva ed è invariante per [[coniugio]] e [[#Trasposta (matrice)|trasposizione]]: ''Tr(A+B)=Tr(B+A)'', ''Tr(AB)=Tr(BA)'', ''Tr(A<sup>t</sup>)=Tr(A)''.
:In particolare, la traccia di una matrice è pari alla somma dei suoi [[#Autovettore|autovalori]], contati con molteplicità.
{{Vedi anche|Traccia (matrice)}}

=== Transizione (matrice di) ===
:[[#Probabilità di transizione (matrice delle)|Probabilità di transizione (matrice delle)]]

=== Trasformazione (matrice di) ===
:[[#Associata ad una trasformazione (matrice)|Associata ad una trasformazione (matrice)]]

=== Trasformazione di Gauss ===
:[[#Frobenius (matrice di)|Frobenius (matrice di)]]

=== Trasposta (matrice) ===
:La matrice trasposta di una matrice ''A'' di dimensioni ''m × n'' è una matrice ''A<sup>t</sup>'' di dimensioni ''n × m'' ottenuta scambiando le righe e le colonne di ''A=(a<sub>i,j</sub>)<sub>i,j</sub>'': ''A<sup>t</sup>=(a<sub>i,j</sub>)<sub>j,i</sub>''.
:L'operazione di trasposizione è un'[[involuzione]] e inverte il prodotto: <math>(A^t)^t=A</math>, <math>(AB)^t=B^tA^t</math>.
:Una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] è [[#Simmetrica (matrice)|simmetrica]] se ''A<sup>t</sup>=A'', [[#Antisimmetrica (matrice)|antisimmetrica]] se ''A<sup>t</sup>=-A''. In particolare, ogni matrice quadrata ''A'' (con elementi in un [[campo (matematica)|campo]] di [[caratteristica (algebra)|caratteristica]] diversa da ''2'') è somma di una matrice simmetrica ''(A+A<sup>t</sup>)/2'' e di una matrice antisimmetrica ''(A-A<sup>t</sup>)/2''.
{{Vedi anche|Matrice trasposta}}

=== Trasposta coniugata (matrice) ===
:[[#Aggiunta (matrice)|Aggiunta (matrice)]]

=== Triangolare (matrice) ===
:Una matrice triangolare, superiore o inferiore, è una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] che ha nulli tutti gli elementi al di sotto, o al di sopra, della propria [[#Diagonale|diagonale principale]]: ''a<sub>i,j</sub>=0'' se ''i<j'', oppure se ''i>j''.
:Una matrice triangolare normata è una matrice triangolare che ha ''1'' su tutta la diagonale.
:Una matrice triangolare in senso stretto è una matrice triangolare che ha ''0'' su tutta la diagonale.
:Gli autovalori di una matrice triangolare sono i valori sulla sua diagonale. In particolare, il [[#Determinante|determinante]] di una matrice triangolare è il prodotto dei valori sulla sua diagonale.
:Ogni matrice quadrata può essere portata in forma triangolare tramite le [[mosse di Gauss]].
:La matrice [[#Trasposta (matrice)|trasposta]] di una matrice triangolare superiore è una matrice triangolare inferiore, e viceversa.
:Il prodotto di due matrici triangolari (entrambe superiori o inferiori) è ancora una matrice triangolare, normata se o sono i due fattori, in senso stretto se lo è almeno uno dei due.
{{vedi anche|Matrice triangolare}}

=== Tridiagonale (matrice) ===
:Una matrice tridiagonale è una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] con valori nulli fuori dalla diagonale principale e dalle diagonali immediatamente sopra e sotto di essa. In particolare è una matrice [[#A banda (matrice)|a banda]] ''3''.
{{Vedi anche|Matrice tridiagonale}}

== U ==
=== Unimodulare (matrice) ===
:Una matrice unimodulare è una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] con elementi [[numeri interi|interi]] e [[#Determinante|determinante]] pari a ''1'' o a ''-1'', ovvero la cui inversa ha elementi interi. In particolare, ogni sistema ''Mx=v'', con ''M'' unimodulare e ''v'' a coefficienti interi ha soluzione ''x'' a coefficienti interi.
:L'insieme delle matrici unimodulari di ordine ''n'' è il [[gruppo (matematica)|gruppo]] <math>GL_n(\mathbb{Z})</math>.
:Una matrice totalmente unimodulare è una matrice (non necessariamente quadrata) le cui sottomatrici quadrate sono [[#Singolare|singolari]] oppure unimodulari, ovvero hanno determinante ''0'', ''1'', oppure ''-1''. In particolare, tutti i suoi elementi sono in ''{-1,0,1}''.
{{Vedi anche|Matrice unimodulare}}

=== Unitaria (matrice) ===
:Una matrice unitaria è una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] con elementi [[numeri complessi|complessi]], che è [[#Inversa (matrice)|inversa]] della propria [[#Aggiunta (matrice)|aggiunta]] ([[#Trasposta (matrice)|trasposta]] [[#Coniugata complessa (matrice)|coniugata]]): ''A<sup>*</sup> = A<sup>-1</sup>'', ovvero <math>AA^*=A^*A=I</math>.
:Le matrici unitarie estendono il concetto di matrice [[#Ortogonale (matrice)|ortogonale]] agli [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] sul [[campo (matematica)|campo]] dei complessi: una matrice con elementi [[numeri reali|reali]] è unitaria se e solo se è ortogonale (l'aggiunta è uguale alla trasposta).
{{Vedi anche|Matrice unitaria}}

== V ==
=== Vandermonde (matrice di) ===
:Una matrice di Vandermonde è una matrice le cui righe (o colonne) hanno elementi in [[progressione geometrica]] a partire da ''1'': <math>a_{i,j}=\alpha_i^{j-1}</math>.
{{Vedi anche|Matrice di Vandermonde}}

=== Vettore-matrice ===
:[[#Zorn (matrice di)|Zorn (matrice di)]]

== W ==
=== Walsh (matrice di) ===
:Una matrice di Walsh è una matrice [[#Quadrata (matrice)|quadrata]] di ordine ''2<sup>k</sup>'' che ha solo ''1'' e ''-1'' come elementi e le cui righe (e colonne) sono tra loro [[#Prodotto scalare|ortogonali]].
:Riordinando le righe e le colonne di una matrice di Walsh si ottiene ancora una matrice di Walsh. Esempi di matrici di Walsh sono le matrici [[#Hadamard (matrice di)|di Hadamard]].
:Le matrici di Walsh sono utilizzate in [[teoria dell'informazione]] per produrre [[codice (teoria dell'informazione)|codici]] ortogonali.
{{Vedi anche|Matrice di Walsh}}

=== Wronskiano ===
:[[#Fondamentale (matrice)|Fondamentale (matrice)]]

== Z ==
=== Zero (matrice) ===
:[[#Nulla (matrice)|Nulla (matrice)]]

=== Zorn (matrice di) ===
:Una matrice di Zorn, o vettore matrice, è una rappresentazione, visivamente simile a una matrice, degli [[ottonioni]] (o ottetti di Cayley), descritti tramite due [[numeri complessi]] e due [[Vettore (matematica)|vettori]] complessi in tre dimensioni.
:La composizione di due matrici di Zorn non è [[associatività|associativa]], come non lo è la composizione tra ottonioni.
{{Vedi anche|Matrice di Zorn}}

== Note ==
<references />

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Matrici]]
[[Categoria:Glossari di matematica|Matrici]]