Matrice identità

In matematica, la matrice identità, anche detta matrice identica o matrice unità, è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono costituiti dal numero 1, mentre i restanti elementi sono 0. Viene indicata con $I$ oppure con $I_{n}$, dove $n$ è il numero di righe della matrice.

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\quad I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\quad I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\quad \cdots \quad I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

Proprietà

• La proprietà fondamentale di $I_{n}$ è che:

$AI_{n}=A\qquad I_{n}B=B$

per ogni matrice $A$ e $B$ per cui sono definite queste moltiplicazioni di matrici.

• In particolare, la matrice identità è invertibile, essendo l'inversa di se stessa.
• La i-esima colonna di una matrice identità è l'i-esimo vettore $e_{i}$ della base canonica dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$.
• La matrice identità è diagonale, ed ha il solo autovalore 1.

Notazioni

Usando la notazione applicata talvolta per descrivere in modo conciso le matrici diagonali, si può scrivere:

$I_{n}=\mathrm {diag} (1,1,\dots ,1)$

Si può anche scrivere con la notazione delta di Kronecker:

$(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}$

Anello delle matrici

Dalla proprietà fondamentale segue che la matrice identità è l'elemento neutro della moltiplicazione nell'anello di tutte le matrici $n\times n$ a valori in un campo fissato $K$.

Analogamente, è l'elemento neutro nel gruppo generale lineare $\mathrm {GL} (n,K)$ formato da tutte le matrici invertibili $n\times n$ a valori in $K$.

Trasformazioni lineari

Sia $K$ un campo. Ogni matrice quadrata $A$ induce una trasformazione lineare dallo spazio vettoriale $K^{n}$ in sé, definita nel modo seguente:

$x\mapsto Ax$

La matrice identità è così chiamata perché induce la funzione identità. Più in generale, la matrice identità è la matrice associata alla funzione identità da uno spazio vettoriale in sé, rispetto ad una qualsiasi base.

Bibliografia

• (EN) Akivis, M. A. and Goldberg, V. V. An Introduction to Linear Algebra and Tensors. New York: Dover, 1972.
• (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 10, 1962.
• (EN) Courant, R. and Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics, Vol. 1. New York: Wiley, 1989.

Voci correlate

• Funzione identità
• Identità (matematica)
• Matrice quadrata
• Risoluzione all'identità

Collegamenti esterni

• matrice identica, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) identity matrix, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Identity Matrix, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) identitymatrix, in PlanetMath.