Visualizza wikitesto di Misura a valori di proiettore

In [[matematica]], in particolare in [[analisi funzionale]], una '''misura a valori di proiettore''' è una [[funzione (matematica)|funzione]] definita su un certo sottoinsieme di un insieme fissato i cui valori restituiti sono proiettori autoaggiunti su uno [[spazio di Hilbert]]. 

Le misure a valori di proiettore sono usate per esprimere i risultati della [[teoria spettrale]], come il [[teorema spettrale]] per [[operatore autoaggiunto|operatori autoaggiunti]].

== Definizione ==
Sia <math>\Omega</math> un sottoinsieme chiuso di <math>\R</math>. Si definisce misura a valori di proiettore un insieme di [[Proiezione (geometria)|proiezioni ortogonali]] <math>\{ P_\Omega \} </math> che soddisfa le proprietà:<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 235|reed}}.</ref>

* <math>P_\emptyset = 0</math> e <math>P_{(-a,a)} = I </math> per qualche <math>a</math>.

* Sia <math>\Omega</math> una famiglia di insiemi tale che:

:<math>\Omega = \bigcup_{i=1}^\infty \Omega_i \qquad \Omega_i \cap \Omega_j = \emptyset \quad i \ne j</math>

:allora si ha:

:<math>P_\Omega = \lim_{N \to \infty} \sum_{i=1}^N P_{\Omega_i}</math>

:dove il limite è in senso forte.

Si tratta di una misura limitata, e dalla definizione segue l'ulteriore proprietà:

:<math>P_{\Omega_1}P_{\Omega_2}=P_{\Omega_1 \cap \Omega_2} \ </math>

Se si considera uno spazio topologico <math>X</math> sul quale è definita una [[algebra di Borel|sigma-algebra di Borel]] <math>M</math>, una misura a valori di proiettore è una funzione <math>P_\Omega</math> definita su <math>M</math> ed a valori nello spazio dei proiettori ortogonali definiti su uno [[spazio di Hilbert]] di dimensione finita <math>H</math>. In tal caso gli insiemi <math>\{ \Omega_i \} </math> utilizzati nella definizione sono gli elementi della sigma-algebra di Borel <math>M</math>, e si ha <math>P_X = I </math>.

Ad esempio, si consideri lo spazio di Hilbert <math>H = L^2(X,\mu) </math>, dove <math>\mu</math> è una misura di Borel. Si può definire una misura a valori di proiettore nel seguente modo:

:<math>(P_E \psi)(x) = \chi_E(x)\psi(x) \qquad \forall \psi \in L^2(X,\mu) \quad \forall E \in M</math>

per [[quasi ovunque|quasi ogni]] <math>x</math>.

==Integrazione rispetto ad una misura a valori di proiettore==
Sia data una famiglia di insiemi misurabili mutuamente disgiunti <math>E_i</math> ed una [[funzione semplice]]:

:<math>s =\sum_{i=1}^n a_i \chi_{E_i} \quad a_i \in \Complex</math>

dove <math>\chi_{E_i}</math> è la [[funzione indicatrice]] relativa all'insieme <math>E_i</math> per ogni ''i'' ed i numeri <math>a_i</math> sono disgiunti. 

Si può definire l'[[integrale]] di <math>s</math> rispetto ad una misura a valori di proiettore <math>P</math> nel seguente modo:

:<math>\int_X s dP := \sum_{i=1}^n a_i P(E_i)</math>

Si dimostra che l'estensione di tale operatore integrale dallo spazio delle funzioni semplici allo [[spazio di Banach]] delle funzioni <math>f:X \to \Complex</math> limitate e misurabili rispetto alla sigma algebra di Borel <math>M</math> è unica. Si definisce in questo modo l'operatore integrale positivo:

:<math>\int_E f(x) dP(x) := \int_X \chi_{E}f(x)dP(x) \quad E \in M </math>

rispetto alla misura a valori di proiettore <math>P</math>:

:<math>P_E = \int_X \chi_{E}dP(x) \ </math>

Detto inoltre <math>\mbox{supp}(P)</math> il [[Supporto (matematica)|supporto]] di <math>P</math>, si dimostra che:

:<math>\int_X f(x) dP(x) = \int_{\mbox{supp}(P)} f(x) dP(x) \ </math>

==Misura associata ad un operatore==
Sia <math>X</math> uno [[spazio topologico]] sul quale è definita una [[algebra di Borel|sigma-algebra di Borel]] <math>M</math>, sia <math>H</math> uno [[spazio di Hilbert]] e <math>P</math> una misura a valori di proiettore. Per ogni <math>\phi,\psi \in H</math> il [[prodotto interno]]:

:<math>\mu_{\phi,\psi}(E) := (\phi, P_E \psi) = \left( \phi, \int_X \chi_E dP(x) \psi \right) \quad E \in M </math>

rappresenta una [[Misura (matematica)|misura]] di Borel [[Misura complessa|complessa]]. In particolare, la misura <math>\mu_{\phi}:= \mu_{\phi,\phi}</math> viene detta ''misura spettrale associata a'' <math>\phi</math>.

Attraverso una misura del tipo di <math>\mu_{\phi}</math> si può definire l'operatore di integrazione rispetto ad una misura a valori di proiettore anche nel caso in cui <math>f</math> non sia limitata, a patto di utilizzare l'insieme:

:<math>\Delta_f := \{ \phi \in H : \int_X |f(x)|^2 d\mu_\phi(x) < +\infty \} </math>

come dominio dell'applicazione:

:<math>\int_X f(x) dP(x) : \phi \to \int_X f(x) dP(x)\phi = \lim_{n\to \infty} \int_X f_n(x) dP(x)\phi</math>

che definisce in questo modo un operatore lineare [[operatore chiuso|chiuso]] e [[operatore limitato|limitato]], che è l'integrale di <math>f</math> rispetto a <math>P</math>. L'insieme <math>\Delta_f</math> è un sottospazio denso in <math>H</math>, ed il secondo membro è caratterizzato dal fatto che la funzione <math>f</math> può essere vista come il [[limite di una successione]] <math>f_n</math> di funzioni misurabili e limitate convergente nella norma di <math>L^2(X,\mu_\phi)</math>.

Sia <math>f</math> una funzione definita sul [[Supporto (matematica)|supporto]] di <math>P</math> tale che sia inoltre limitata e [[funzione misurabile|misurabile]] rispetto alla [[algebra di Borel|sigma-algebra di Borel]]. Per il [[teorema di rappresentazione di Riesz]] esiste un unico operatore:

:<math>B := \int f(\lambda) d P_\lambda \ </math>

che soddisfa la relazione:

:<math>(\phi, B \phi) = \int f(\lambda)d\mu_\phi = \int f(\lambda) d (\phi, P_\lambda \phi) \quad \forall \phi \in H</math>

dove <math>d\mu_\phi = d (\phi, P_\lambda \phi)</math> denota l'integrazione rispetto alla misura <math>\mu_\phi = (\phi, P \phi)</math>.

===Decomposizione spettrale di operatori normali e autoaggiunti===
{{vedi anche|operatore normale|operatore autoaggiunto|diagonalizzabilità}}
Sia <math>A</math> un operatore normale limitato definito su uno spazio di Hilbert <math>H</math>. Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore <math>P^A</math> tale per cui:

:<math>A = \int_{\sigma(A)} z dP^A(x,y) \qquad z := (x,y) \to x+iy \in \Complex \quad (x,y) \in \R^2</math>

dove <math>\sigma(A) = \mbox{supp}(P^A)</math> è lo [[Spettro (matematica)|spettro]] di <math>A</math>. Si dice che <math>P^A</math> è la misura a valori di proiettore associata ad <math>A</math>.

In particolare, se <math>A</math> è un operatore autoaggiunto si può definire una misura a valori di proiettore limitata:

:<math>P^A(\Omega) = \chi_\Omega(A) \ </math>

[[Restrizione di una funzione|definita]] sullo spettro <math>\sigma(A)</math> di <math>A</math>. Tale misura può essere univocamente associata ad <math>A</math> nel seguente modo:

:<math> (\phi, f(A) \psi) := \int_{\sigma(A)} f(\lambda) d (\phi, P^A (\lambda) \psi) \quad \forall \phi,\psi \in H</math>

per ogni funzione misurabile limitata <math>f</math>, e in tal caso si ha:

:<math>A = \int_{\sigma(A)} \lambda d P^A \qquad f(A) = \int_{\sigma(A)} f(\lambda) d P^A</math>

La formula a sinistra è detta ''diagonalizzazione'' di <math>A</math>.<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 234|reed}}.</ref>

Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale) <math>A</math> a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare <math>A</math> tramite una misura a valori di proiettore limitata <math>P^A</math> allora <math>P^A</math> è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad <math>A</math>. Ogni operatore limitato autoaggiunto <math>A</math> può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata <math>P^A</math>.

====Operatori autoaggiunti non limitati====
{{vedi anche|Trasformata di Cayley}}
Si consideri un operatore autoaggiunto <math>A</math> non limitato. Attraverso la trasformata di Cayley <math>U(A)</math> associata ad <math>A</math>:

:<math> U(A) = (A - \mathbf{i}I) (A + \mathbf{i}I)^{-1} \qquad A = \mathbf{i}(I + U(A)) (I - U(A))^{-1} </math>

è possibile definire, a partire da <math>A</math>, una misura a valori di proiettore <math>P^{U(A)}</math> nel modo seguente:

:<math>P^A(\Omega) := P^{U(A)}(U(\Omega)) \qquad \Omega \subset \sigma(A)</math>

L'insieme <math>\Omega</math> è un borelliano contenuto nello spettro (reale) <math>\sigma(A)</math> di <math>A</math>, e <math>U(\Omega)</math> è il risultato ottenuto applicando la trasformata di Cayley su <math>\Complex</math>.

Si dimostra che se la [[funzione identità]], definita su <math>\sigma(A)</math>, è di classe <math>L^2</math> rispetto alla misura <math>(x,P^A(\Omega)x)</math>, allora <math>P^{U(A)}</math> definisce una misura a valori di proiettore su <math>\sigma(A)</math>.

In particolare, è possibile scrivere:

:<math>A = \int_{\sigma(A)} \lambda d P^A (\lambda)</math>

Anche nel caso di <math>A</math> non limitato la corrispondenza tra <math>A</math> ed una misura a valori di proiettore è biunivoca.

==Proiezioni e spettro di un operatore==
{{vedi anche|Spettro (matematica)|Spettro essenziale}}
Le proiezioni spettrali sono uno strumento che permette di caratterizzare le proprietà dello spettro <math>\sigma(A)</math> di un operatore autoaggiunto <math>A</math>. In primo luogo si dimostra che un numero <math>\lambda</math> appartiene a <math>\sigma(A)</math> [[se e solo se]] per ogni <math>\varepsilon > 0</math> è soddisfatta la seguente condizione:<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 236|reed}}.</ref>

:<math>P_{(\lambda - \varepsilon, \lambda + \varepsilon)}(A) \ne 0</math>

Un tale approccio permette inoltre di suddividere lo spettro in due sottoinsiemi:

* Lo [[spettro essenziale]] di <math>A</math> è l'insieme <math>\sigma_{ess}(A)</math> dei numeri <math>\lambda</math> tali per cui per ogni <math>\varepsilon > 0</math> il rango di <math>P_{(\lambda - \varepsilon, \lambda + \varepsilon)}(A) </math> ha dimensione infinita. Si dimostra che tale insieme è chiuso. In modo equivalente, <math>\lambda</math> appartiene a <math>\sigma_{ess}(A)</math> se e solo se è un autovalore che ha molteplicità infinita.

* Si definisce ''spettro discreto'' di <math>A</math> l'insieme <math>\sigma_{disc}(A)</math> dei numeri <math>\lambda</math> tali per cui per ogni <math>\varepsilon > 0</math> il rango di <math>P_{(\lambda - \varepsilon, \lambda + \varepsilon)}(A) </math> ha dimensione finita. In modo equivalente, <math>\lambda</math> appartiene a <math>\sigma_{disc}(A)</math> se e solo se è un punto isolato di <math>\sigma(A)</math> ed è un autovalore che ha molteplicità finita.

==Estensioni delle misure a valori di proiettore==
Se <math>\pi</math> è una misura a valori di proiettore su <math>(X, M)</math>, allora la mappa:

: <math> \mathbf{1}_A \mapsto \pi(A)</math>

estende a mappa lineare su uno [[spazio vettoriale]] di funzioni gradino su <math>X</math>.

==Note==
<references/>

== Bibliografia ==
* {{cita libro | cognome= Reed | nome= Michael |coautori= Barry Simon | titolo= Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis| editore= Academic press inc.<!--|ed = riveduta-->| città= San Diego, California| anno= 1980|ed=2|isbn= 0-12-585050-6|cid =reed |lingua= en}}
* {{en}} G. W. Mackey, ''The Theory of Unitary Group Representations'', The University of Chicago Press, 1976
* {{en}} G. Teschl, ''Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators'', [http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/], American Mathematical Society, 2009.
* {{en}} V. S. Varadarajan, ''Geometry of Quantum Theory'' V2, Springer Verlag, 1970.

==Voci correlate==
* [[Misura (matematica)]]
* [[Misura di Borel]]
* [[Operatore autoaggiunto]]
* [[Proiezione ortogonale]]
* [[Spettro (matematica)]]
* [[Teorema di rappresentazione di Riesz]]
* [[Teorema spettrale]] 

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria spettrale]]
[[Categoria:Teoria della misura]]