Operatore normale

In matematica, in particolare in analisi funzionale, un operatore normale in uno spazio di Hilbert (complesso), o equivalentemente in una C*-algebra, è un operatore lineare continuo che commuta con il suo aggiunto. Questi operatori sono importanti per il fatto che ad essi si applica il teorema spettrale.

Inoltre, nel caso finito-dimensionale, la matrice associata a un operatore normale rispetto a una base ortonormale dello spazio di Hilbert è una matrice normale.

Definizione

Dato uno spazio di Hilbert $H$ definito sul campo dei numeri complessi, un endomorfismo $N:H\to H$ si dice normale se:

$N\,N^{*}=N^{*}N$

In modo equivalente, $N$ è normale se e solo se:

$\|N(v)\|=\|N^{*}(v)\|\quad \forall v\in H$

Si ha inoltre che:

${\textrm {Ker}}(N^{*})={\textrm {Ker}}(N)$

${\textrm {Im}}(N^{*})={\textrm {Im}}(N)$

Tra gli endomorfismi normali vi sono gli endomorfismi autoaggiunti, gli endomorfismi emisimmetrici e gli endomorfismi unitari.

Il teorema spettrale

Gli operatori normali sono soggetti al teorema spettrale: gli autovalori, in questo caso, sono in generale numeri complessi.

Sia $T$ un operatore lineare su uno spazio vettoriale complesso $V$ di dimensione finita $n$, dotato di un prodotto hermitiano, cioè di una forma hermitiana definita positiva. Il teorema spettrale afferma che $T$ è un operatore normale se e solo se esiste una base ortonormale di $V$ composta da autovettori di $T$. L'endomorfismo $T$ è quindi diagonalizzabile.

Nel linguaggio matriciale, il teorema afferma che ogni matrice normale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice unitaria, ovvero per ogni matrice normale $H$ esistono una matrice unitaria $U$ ed una diagonale $D$ per cui:

$D=U^{-1}HU=\,^{t}\!{\bar {U}}HU$

I vettori colonna di $U$ sono gli autovettori di $A$ e sono reciprocamente ortogonali.

Come corollario segue che l'operatore $T$ è autoaggiunto se e solo se la base ortonormale conta solo autovalori reali, mentre se $T$ è unitario il modulo degli autovalori è 1. In particolare, gli autovalori di una matrice hermitiana sono tutti reali, mentre quelli di una matrice unitaria sono di modulo 1.

Decomposizione spettrale

Il teorema spettrale fornisce le condizioni per cui sia possibile diagonalizzare un operatore rispetto ad una base ortonormale. Quando questo risulta possibile nel caso finito-dimensionale, ad autovalori distinti corrispondono autovettori mutuamente ortogonali, e pertanto gli autospazi sono in somma diretta. Un operatore normale può, di conseguenza, essere scritto come una combinazione lineare di proiettori ortogonali sugli autospazi, i cui coefficienti sono gli autovalori relativi ad ogni autospazio.

Nel caso infinito-dimensionale la normalità, ed in particolare l'autoaggiuntezza, non garantisce la diagonalizzabilità. In generale un operatore normale non può essere più scritto come combinazione lineare di proiettori ortogonali. Attraverso la misura a valori di proiettore è tuttavia possibile ottenere una scrittura integrale che permette di descrivere l'operatore in termini del suo spettro.

Caso finito-dimensionale

Come conseguenza del teorema spettrale, sia nel caso reale che nel caso complesso, il teorema di decomposizione spettrale afferma che gli autospazi di $T$ sono ortogonali e in somma diretta:

$V=V_{\lambda _{1}}\oplus \ldots \oplus V_{\lambda _{k}}$

Equivalentemente, se $P_{\lambda }$ è la proiezione ortogonale su $V_{\lambda }$, si ha:

$A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\cdots +\lambda _{k}P_{\lambda _{k}}\qquad P_{\lambda }P_{\mu }=0\quad \lambda \neq \mu$

La decomposizione spettrale è un caso particolare della decomposizione di Schur. È anche un caso particolare della decomposizione ai valori singolari.

Caso infinito-dimensionale

Sia $A$ un operatore normale limitato definito su uno spazio di Hilbert $H$. Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore $P^{A}$ tale per cui:

$A=\int _{\sigma (A)}zdP^{A}(x,y)\qquad z:=(x,y)\to x+iy\in \mathbb {C} \quad (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$

dove $\sigma (A)={\mbox{supp}}(P^{A})$ è lo spettro di $A$. Si dice che $P^{A}$ è la misura a valori di proiettore associata ad $A$.

In particolare, se $A$ è un operatore autoaggiunto si può definire una misura a valori di proiettore limitata:

$P^{A}(\Omega )=\chi _{\Omega }(A)$

definita sullo spettro $\sigma (A)$ di $A$, in cui $\chi _{\Omega }$ è la funzione indicatrice. Tale misura può essere univocamente associata ad $A$ nel seguente modo:

$(\phi ,f(A)\psi ):=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )d(\phi ,P^{A}(\lambda )\psi )\quad \forall \phi ,\psi \in H$

per ogni funzione misurabile limitata $f$, e in tal caso si ha:

$A=\int _{\sigma (A)}\lambda dP^{A}\qquad f(A)=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )dP^{A}$

La formula a sinistra è detta diagonalizzazione di $A$.

Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale) $A$ a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare $A$ tramite una misura a valori di proiettore limitata $P^{A}$ allora $P^{A}$ è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad $A$. Ogni operatore limitato autoaggiunto $A$ può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata $P^{A}$.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate

• Diagonalizzabilità
• Matrice normale
• Operatore aggiunto
• Operatore autoaggiunto
• Operatore unitario
• Operatore lineare limitato
• Prodotto scalare
• Spazio di Hilbert
• Teorema spettrale
• Teoria spettrale
• Trasformazione lineare