Visualizza wikitesto di Operatore normale

In [[matematica]], in particolare in [[analisi funzionale]], un '''operatore normale''' in uno [[spazio di Hilbert]] ([[Numero complesso|complesso]]), o equivalentemente in una [[C*-algebra]], è un [[operatore lineare continuo]] che [[commutatore (matematica)|commuta]] con il suo [[Operatore aggiunto|aggiunto]].<ref>[http://www.hypercyber.it/appunti/sven.pdf A. Tatone - Corso di matematica applicata]</ref> Questi operatori sono importanti per il fatto che ad essi si applica il [[teorema spettrale]].

Inoltre, nel caso [[Dimensione (spazio vettoriale)|finito-dimensionale]], la [[Matrice di trasformazione|matrice associata]] a un operatore normale rispetto a una [[base ortonormale]] dello spazio di Hilbert è una [[matrice normale]].

==Definizione==
Dato uno [[spazio di Hilbert]] <math>H</math> definito sul campo dei numeri complessi, un [[endomorfismo]] <math>N:H\to H</math> si dice normale se:<ref name="SLang">{{Cita|S. Lang|Pag. 252|lang}}.</ref>

:<math>  N\,N^* = N^*N</math>

In modo equivalente, <math>N</math> è normale se e solo se:

:<math>  \| N (v) \| =  \| N^* (v) \| \quad \forall v \in H </math>

Si ha inoltre che:

:<math>\textrm{Ker}(N^*) = \textrm{Ker}(N) </math>

:<math>\textrm{Im}(N^*) = \textrm{Im}(N) </math>

Tra gli endomorfismi normali vi sono gli [[Operatore autoaggiunto|endomorfismi autoaggiunti]], gli endomorfismi emisimmetrici e gli [[Operatore unitario|endomorfismi unitari]].

==Il teorema spettrale==
{{vedi anche|Teorema spettrale}}
Gli operatori normali sono soggetti al teorema spettrale: gli [[autovalore|autovalori]], in questo caso, sono in generale [[numero complesso|numeri complessi]].

Sia <math>T</math> un operatore lineare su uno [[spazio vettoriale complesso]] <math>V</math> di dimensione finita <math>n</math>, dotato di un [[Forma_sesquilineare#Prodotto_hermitiano|prodotto hermitiano]], cioè di una [[Forma_sesquilineare#Forma_hermitiana|forma hermitiana]] definita positiva. Il teorema spettrale afferma che <math>T</math> è un operatore normale se e solo se esiste una [[base ortonormale]] di <math>V</math> composta da [[autovettore|autovettori]] di <math>T</math>.<ref name="SLang" /> L'endomorfismo <math>T</math> è quindi [[Diagonalizzabilità|diagonalizzabile]].

Nel linguaggio matriciale, il teorema afferma che ogni [[matrice normale]] è [[matrice simile|simile]] ad una [[matrice diagonale]] tramite una [[matrice unitaria]], ovvero per ogni matrice normale <math>H</math> esistono una matrice unitaria <math>U</math> ed una diagonale <math>D</math> per cui:

:<math> D = U^{-1}HU =\, ^t\!\bar UHU </math>

I vettori colonna di <math>U</math> sono gli [[Autovettore e autovalore|autovettori]] di <math>A</math> e sono reciprocamente [[Prodotto scalare#Ortogonalità|ortogonali]].

Come corollario segue che l'operatore <math>T</math> è [[operatore autoaggiunto|autoaggiunto]] se e solo se la base ortonormale conta solo autovalori [[numero reale|reali]], mentre se <math>T</math> è [[operatore unitario|unitario]] il [[Valore assoluto#Numeri complessi|modulo]] degli autovalori è 1. In particolare, gli autovalori di una [[matrice hermitiana]] sono tutti reali, mentre quelli di una [[matrice unitaria]] sono di modulo 1.

== Decomposizione spettrale ==
{{vedi anche|Diagonalizzabilità}}
Il teorema spettrale fornisce le condizioni per cui sia possibile diagonalizzare un operatore rispetto ad una base ortonormale. Quando questo risulta possibile nel caso finito-dimensionale, ad autovalori distinti corrispondono autovettori mutuamente ortogonali, e pertanto gli [[autospazio|autospazi]] sono in [[somma diretta]]. Un operatore normale può, di conseguenza, essere scritto come una combinazione lineare di proiettori ortogonali sugli autospazi, i cui coefficienti sono gli autovalori relativi ad ogni autospazio.

Nel caso infinito-dimensionale la normalità, ed in particolare l'autoaggiuntezza, non garantisce la diagonalizzabilità. In generale un operatore normale non può essere più scritto come combinazione lineare di proiettori ortogonali. Attraverso la [[misura a valori di proiettore]] è tuttavia possibile ottenere una scrittura integrale che permette di descrivere l'operatore in termini del suo spettro.

===Caso finito-dimensionale===
{{vedi anche|proiezione ortogonale}}
Come conseguenza del teorema spettrale, sia nel caso reale che nel caso complesso, il teorema di decomposizione spettrale afferma che gli autospazi di <math>T</math> sono ortogonali e in [[somma diretta]]:

:<math> V = V_{\lambda_1}\oplus\ldots\oplus V_{\lambda_k} </math>

Equivalentemente, se <math>P_\lambda</math> è la proiezione ortogonale su <math>V_\lambda</math>, si ha:

:<math> A =\lambda_1 P_{\lambda_1} +\cdots+\lambda_k P_{\lambda_k} \qquad P_\lambda  P_\mu=0 \quad \lambda \neq \mu</math>

La decomposizione spettrale è un caso particolare della [[decomposizione di Schur]]. È anche un caso particolare della [[decomposizione ai valori singolari]].

===Caso infinito-dimensionale===
{{vedi anche|Misura a valori di proiettore|Diagonalizzabilità}}
Sia <math>A</math> un operatore normale limitato definito su uno spazio di Hilbert <math>H</math>. Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore <math>P^A</math> tale per cui:

:<math>A = \int_{\sigma(A)} z dP^A(x,y) \qquad z := (x,y) \to x+iy \in \Complex \quad (x,y) \in \R^2</math>

dove <math>\sigma(A) = \mbox{supp}(P^A)</math> è lo [[Spettro (matematica)|spettro]] di <math>A</math>. Si dice che <math>P^A</math> è la misura a valori di proiettore associata ad <math>A</math>.

In particolare, se <math>A</math> è un [[operatore autoaggiunto]] si può definire una misura a valori di proiettore limitata:

:<math>P^A(\Omega) = \chi_\Omega(A) </math>

[[Restrizione di una funzione|definita]] sullo spettro <math>\sigma(A)</math> di <math>A</math>, in cui <math>\chi_\Omega</math> è la [[funzione indicatrice]]. Tale misura può essere univocamente associata ad <math>A</math> nel seguente modo:

:<math> (\phi, f(A) \psi) := \int_{\sigma(A)} f(\lambda) d (\phi, P^A (\lambda) \psi) \quad \forall \phi,\psi \in H</math>

per ogni funzione misurabile limitata <math>f</math>, e in tal caso si ha:

:<math>A = \int_{\sigma(A)} \lambda d P^A \qquad f(A) = \int_{\sigma(A)} f(\lambda) d P^A</math>

La formula a sinistra è detta ''diagonalizzazione'' di <math>A</math>.<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 234|reed}}.</ref>

Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale) <math>A</math> a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare <math>A</math> tramite una misura a valori di proiettore limitata <math>P^A</math> allora <math>P^A</math> è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad <math>A</math>. Ogni operatore limitato autoaggiunto <math>A</math> può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata <math>P^A</math>.

==Note==
<references/>

== Bibliografia ==
* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992| isbn= 88-339-5035-2|cid =lang}}
* {{cita libro | cognome= Reed | nome= Michael |coautori= Barry Simon | titolo= Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis| editore= Academic press inc.<!--|ed = riveduta-->| città= San Diego, California| anno= 1980|ed=2|isbn= 0-12-585050-6|cid =reed |lingua= en}}

==Voci correlate==
* [[Diagonalizzabilità]]
* [[Matrice normale]]
* [[Operatore aggiunto]]
* [[Operatore autoaggiunto]]
* [[Operatore unitario]]
* [[Operatore lineare limitato]]
* [[Prodotto scalare]]
* [[Spazio di Hilbert]]
* [[Teorema spettrale]]
* [[Teoria spettrale]]
* [[Trasformazione lineare]]

{{portale|matematica}}

[[Categoria:Operatori lineari]]