600-celle

600-cella
	Diagramma di Schlegel del policoro
Tipo	Policoro regolare
Forma celle	Tetraedri regolari
Nº celle	600 tetraedri regolari
Nº facce	1200 triangoli equilateri
Nº spigoli	720
Nº vertici	120
Cuspidi dei vertici	; (icosaedro regolare)
Simbolo di Schläfli	{3; 3; 5}
Duale	iperdodecaedro
Proprietà	convesso, regolare

In geometria quadridimensionale, la 600-cella (detta anche tetraplesso, da "complesso di tetraedri", esacosicoro o politetraedro) è uno dei sei policori regolari. È considerato la naturale estensione in dimensione 4 dell'icosaedro.

Descrizione

Una 600-cella è l'inviluppo convesso di 120 punti nello spazio euclideo 4-dimensionale $\mathbb {R} ^{4}$ . Sia

\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.

I punti sono i seguenti:

16 vertici del tipo:
$\left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}}\right)$
8 vertici del tipo:
$(0,0,0,\pm 1)$ e sue permutazioni
96 vertici del tipo:
$\left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {\varphi }{2}},\pm {\frac {1}{2\varphi }},0\right)$ e le sue permutazioni pari.

I primi 16 punti sono i vertici di un ipercubo, gli 8 seguenti sono quelli di un esadecacoro, e i 24 punti insieme formano i vertici di un 24-celle.

I 120 punti formano un sottogruppo dei quaternioni.

Proiezioni

Un poliedro 3-dimensionale può essere disegnato sul piano (bidimensionale): il disegno che ne risulta è generalmente l'immagine di una proiezione del poliedro sul piano. Analogamente, ogni policoro 4-dimensionale può essere proiettato nello spazio 3-dimensionale. L'immagine di questa proiezione dipende dal modo in cui il policoro è posizionato nello spazio euclideo 4-dimensionale (che in matematica è indicato con il simbolo $\mathbb {R} ^{4}$ ).

Proiezioni sul piano bidimensionale

Proiezioni ortografiche
Centrata su un vertice, mostra simmetria decagonale	Una proiezione ortografica nel poligono di Petrie 30-gonale
Centrata su un vertice, mostra simmetria quadrata	Centrata su una faccia triangolare, mostra simmetria esagonale

Confronto animato a fotogrammi sincronizzati della 600-cella usando la proiezione ortogonale isometrica (a sinistra) e in prospettiva (a destra).

Sviluppo

Lo sviluppo dell'esacosicoro è composto da 600 tetraedri regolari uniti in modo da avere, a due a due, una sola faccia in comune.

Dualità

La 600-cella è duale dell'iperdodecaedro o 120-cella, come l'icosaedro è duale del dodecaedro.

Relazione di Eulero

Per questo policoro vale la relazione (4-dimensionale!) di Eulero, dove V è il numero di vertici, F è il numero di facce, S è il numero di spigoli e C è il numero di celle:

V+F=S+C.

In questo caso 120 + 1200 = 720 + 600, cioè 1320 = 1320.

Bibliografia

Henry Martin Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.

Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.
L. Berzolari, G. Vivanti, D. Gigli (a cura di), Enciclopedia delle Matematiche elementari, Milano, Ulrico Hoepli, 1979, ISBN 88-203-0265-9.

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