Apotema (geometria)

In geometria, con riferimento ai poligoni regolari, l'apotema (indicato con $a$ )^[1] è il raggio della circonferenza inscritta e corrisponde alla distanza fissa tra l'incentro e ciascuno dei lati. Il rapporto tra apotema e lato è specifico (e fisso) per ciascun poligono regolare e dipende dal numero dei lati. Il suo utilizzo principale è nel calcolo delle aree, combinato al perimetro, in quanto coincide pure con l'altezza degli $n$ triangoli isosceli congruenti in cui è divisibile il poligono.

Analogamente, nella geometria solida, il termine indica: nelle piramidi regolari, la distanza del vertice dal lato alla base; nei coni retti, la distanza del vertice da un qualsiasi punto della circonferenza di base.

Nei poligoni regolari

In ogni poligono regolare con $n$ lati l'area totale può essere divisa in $n$ triangoli isosceli congruenti, le cui basi coincidono con i lati del poligono stesso e i lati obliqui con i segmenti che congiungono i vertici con l'incentro dello stesso. L'apotema tocca il lato del poligono sempre nel punto medio ed, essendo il raggio dell'incerchio rispetto a questo sempre perpendicolare, coincide con l'altezza del triangolo isoscele, la cui ampiezza al vertice misura una frazione esatta dell'angolo giro (angolo giro fratto $n$ : $2\pi /n$ ).

Se ne può ricavare, quindi, che il rapporto fra l'apotema e il lato di un poligono regolare $n$ -agonale è sempre costante, e può essere ricavato a priori semplicemente sapendo il numero di lati attraverso le relazioni trigonometriche che legano gli elementi del triangolo. In questo caso trattandosi di un triangolo isoscele, l'apotema corrisponde a un cateto di un triangolo rettangolo avente come altro cateto il semilato $l/2$ del poligono e per ipotenusa il circumraggio e angolo adiacente $\alpha$ pari a $\pi /n.$

Considerando quindi $R$ come raggio della circonferenza circoscritta al poligono, $l$ la lunghezza di un lato del poligono e $a_{n}$ l'apotema ( $r$ nell'immagine a lato), si ottengono i seguenti rapporti:

l=2R\sin {\frac {\pi }{n}};

R={\frac {l}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}};

a_{n}=R\cos {\frac {\pi }{n}}={\frac {l\cos {\frac {\pi }{n}}}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {l}{2\tan {\frac {\pi }{n}}}}.

Inoltre, grazie alla divisione in triangoli, è anche possibile capire come l'apotema faciliti notevolmente il calcolo delle aree in questi casi; basta infatti calcolare l'area del singolo triangolo e poi moltiplicarla per il numero dei lati.

A_{n}=n{\frac {l\cdot a_{n}}{2}}

oppure

A_{n}=s\cdot a_{n},

dove $s$ rappresenta il semiperimetro.

Numeri fissi

Dall'apotema derivano classicamente anche due numeri fissi, che sono vere e proprie costanti tipiche di ciascun poligono regolare e dipendenti unicamente dal numero dei lati:

$f_{n}={\frac {1}{2\tan {({\frac {\pi }{n}})}}}$ che è il rapporto tra apotema e lato;
$j_{n}={\frac {nf_{n}}{2}}$ che è il rapporto fra l'area del poligono e il quadrato del lato.

Poligono	n	f_n	j_n
Triangolo	3	0,289	0,433
Quadrato	4	0,5	1
Pentagono	5	0,688	1,720
Esagono	6	0,866	2,598
Ettagono	7	1,038	3,634
Ottagono	8	1,207	4,828
Ennagono	9	1,374	6,182
Decagono	10	1,539	7,694
Endecagono	11	1,703	9,366
Dodecagono	12	1,866	11,196
Tridecagono	13	2,029	13,186
Tetradecagono	14	2,191	15,335
Pentadecagono	15	2,352	17,642
Esadecagono	16	2,514	20,109
Ettadecagono	17	2,675	22,736
Ottadecagono	18	2,836	25,521
Ennadecagono	19	2,996	28,465
Icosagono	20	3,157	31,569

Note

^ Il simbolo $a$ è molto diffuso nei testi di geometria delle scuole elementari e medie, ma data la coincidenza talvolta dell'apotema con l'inraggio può capitare che sia indicato con il simbolo di quest'ultimo $r$