Congettura di Borsuk
In matematica, la congettura di Borsuk è un problema di geometria discreta.
Il problema
[modifica | modifica wikitesto]Nel 1932 Karol Borsuk mostrò che una qualsiasi palla 3-dimensionale in uno spazio euclideo poteva essere divisa in 4 solidi, ognuno dei quali aveva diametro inferiore a quello della palla iniziale. Più in generale, Borsuk mostrò che ogni palla d-dimensionale poteva essere divisa in d+1 solidi di diametro minore. Inoltre, provò anche che questo non era possibile con solo d solidi. Questo portò Borsuk a porsi una domanda, divenuta la congettura di Borsuk:
- La seguente questione rimane aperta: Può ogni sottinsieme limitato E di essere diviso in n+1 insiemi, ognuno dei quali ha diametro minore di E?[1]
Il problema ha trovato una risposta positiva nei seguenti casi:
- d = 2, risultato originario di Borsuk (1932).
- d = 3, risultato di H. G. Eggleston (1955). Una dimostrazione più semplice fu successivamente data da Branko Grünbaum e Aladár Heppes (matematico).
- Per ogni d, se il solido è liscio e convesso. Risultato di Hugo Hadwiger (1946)
- Per ogni d se il solido ha simmetria centrale. Risultato di A.S. Riesling (1971)
- Per ogni d se il solido è di rotazione. Risultato di Boris Dekster (1995)
Il problema fu infine risolto nel 1993 da Jeff Kahn e Gil Kalai, che mostrarono che la risposta in generale è negativa[2]. Il loro controesempio mostrava che d+1 solidi non sono sufficienti per d = 1325 e per ogni d > 2014. Il miglior risultato attuale afferma che il problema ha risposta negativa per ogni d ≥ 64.[3][4]
Oltre a trovare il minimo d per cui il numero di pezzi necessari è maggiore di d+1, è interessante anche studiare il comportamento della funzione . Kahn e Kalai mostrarono nel loro lavoro che in generale . Inoltre, Oded Schramm dimostrò che per ogni ε, se d è abbastanza grande, . L'ordine di grandezza di è tuttora sconosciuto, anche se è stato congetturato che esiste una costante c > 1 tale che per ogni d ≥ 1.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ K. Borsuk, Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre, "Fundamenta Mathematicae", 20 (1933). 177–190
- ^ Jeff Kahn e Gil Kalai, A counterexample to Borsuk's conjecture, in Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 29, 1993, pp. 60–62, DOI:10.1090/S0273-0979-1993-00398-7, MR 1193538, arXiv:math.MG/9307229.
- ^ Andriy V. Bondarenko, On Borsuk's conjecture for two-distance sets
- ^ Thomas Jenrich, A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre (PDF), su matwbn.icm.edu.pl.
- Jeff Kahn and Gil Kalai, A counterexample to Borsuk's conjecture, Bulletin of the American Mathematical Society 29 (1993), 60–62.
- Noga Alon, Discrete mathematics: methods and challenges, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Pechino 2002, vol. 1, 119–135.
- Aicke Hinrichs and Christian Richter, New sets with large Borsuk numbers[collegamento interrotto], Discrete Math. 270 (2003), 137–147
- Andrei M. Raigorodskii, The Borsuk partition problem: the seventieth anniversary, Mathematical Intelligencer 26 (2004), no. 3, 4–12.
- Oded Schramm, Illuminating sets of constant width, Mathematika 35 (1988), 180–199.
