Varietà differenziabile

In matematica, e in particolare in geometria differenziale, la nozione di varietà differenziabile è una generalizzazione del concetto di curva e di superficie differenziabile in dimensione arbitraria. Si tratta di una realizzazione del concetto di varietà che fa uso degli strumenti del calcolo infinitesimale.

Introduzione

Così come una curva differenziabile è un oggetto che localmente assomiglia ad una retta, o una superficie differenziabile che localmente assomiglia ad un piano, una varietà $n$-dimensionale somiglierà localmente ad uno spazio euclideo $n$-dimensionale. L'aggettivo "differenziabile" indica il fatto che questa "somiglianza" locale è definita mediante parametrizzazioni dotate di una struttura differenziabile che verrà descritta in seguito e che garantisce la possibilità di associare univocamente in ogni punto uno "spazio tangente" della stessa dimensione della varietà (come ad esempio una retta tangente a una curva o un piano tangente a una superficie).

Le varietà differenziabili sono gli elementi di base della geometria differenziale, punto d'incontro di analisi e topologia. Essenzialmente la teoria delle varietà differenziabili serve a trasferire su oggetti tipicamente descritti come spazi topologici i concetti e gli strumenti del calcolo differenziale, definito generalmente sugli spazi euclidei. Lo studio delle varietà differenziabili è fondamentale in fisica, in quanto permette di definire campi vettoriali e flussi di fase su spazi non necessariamente piatti. Trova innumerevoli applicazioni anche nella matematica pura, grazie alle interconnessioni con altre branche quali la topologia e la teoria dei numeri.

Definizione

Una varietà topologica è uno spazio topologico di Hausdorff completamente separabile per il quale è possibile definire un ricoprimento $W=\{W_{i}\}$ costituito da insiemi aperti tale che ogni aperto può essere messo in relazione con un aperto dello spazio euclideo attraverso un omeomorfismo $\varphi _{i}$. La coppia $(W_{i},\varphi _{i})$ è detto carta locale o semplicemente carta. L'insieme degli omeomorfismi costituisce l'atlante. La composizione di funzioni costituita da una carta e la funzione inversa di un'altra carta è detta funzione di transizione, e se si tratta di funzioni differenziabili (di classe $C^{k}$) la varietà è differenziabile (di classe $C^{k}$). Se le funzioni di transizione sono di classe $C^{\infty }$ si parla di varietà lisce.

Essendo ogni insieme aperto $W_{i}$ isomorfo a un aperto di $\mathbb {R} ^{d}$, tutti i teoremi locali del calcolo differenziale ordinario si possono estendere direttamente alle varietà.

Sottovarietà

Una sottovarietà differenziabile $N$ in una varietà differenziabile $M$ è un sottoinsieme che può essere descritto localmente come zero di una funzione differenziabile:

$f\colon U\to \mathbb {R} ^{k},$

dove $U$ è un aperto di $M$ e il cui differenziale (letto su qualsiasi carta) è ovunque suriettivo. Si tratta effettivamente anch'essa di una varietà differenziabile, avente codimensione $k$ in $M$ (cioè, se $\dim M=n$ allora $\dim N=n-k$). L'ipotesi di un differenziale suriettivo è necessaria per ottenere effettivamente una varietà differenziabile.

Nel caso $k=1$, la varietà è anche detta ipersuperficie, e la condizione sul differenziale è equivalente alla richiesta che il gradiente di $f$ sia (su ogni carta) ovunque diverso da zero.

Intorno tubolare

Un importante risultato riguardante le sottovarietà è il teorema dell'intorno tubolare. Il teorema asserisce che ogni sottovarietà differenziabile $N$ ha un intorno fatto come un tubo, cioè diffeomorfo ad un fibrato di dischi $k$-dimensionali su $N$.

Bibliografia

• M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5.
• G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di Geometria Differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8.
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
• (EN) I. Kolář, P. Michor, J. Slovák, Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, 1993. URL consultato il 5 luglio 2013 (archiviato dall'url originale il 30 marzo 2017).

Voci correlate

• Geometria differenziale
• Spazio euclideo
• Spazio tangente
• Varietà (geometria)
• Varietà algebrica

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Varietà differenziabile, su MathWorld, Wolfram Research.