Convergenza

In matematica, la convergenza è la proprietà di una certa funzione o successione di possedere un limite finito di qualche tipo, al tendere della variabile (o dell'indice eventualmente) verso certi valori in un punto o all'infinito. Il concetto si applica dunque a vari campi della matematica, tutti in qualche modo collegati ma con interpretazioni leggermente diverse.

Limite di una funzione

Data una funzione continua $f$ , si dice che $f(x)$ converge (o tende) al limite finito $l$ per $x$ che tende ad $x_{0}$ se per ogni $\varepsilon >0$ esiste un $\delta (\varepsilon )>0$ tale che per ogni $x$ che soddisfa $0<|x-x_{0}|<\delta (\varepsilon )$ si ha che $|f(x)-l|<\varepsilon$ . Ovvero:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l.

Analogamente, si dice che $f(x)$ converge al limite finito $l$ per $x$ che tende a infinito se per ogni $\varepsilon >0$ esiste un $K(\varepsilon )>0$ tale che per ogni $x$ soddisfacente la condizione $|x|>K(\varepsilon )$ si ha che $|f(x)-l|<\varepsilon$ . Ovvero:

\lim _{x\to \infty }f(x)=l.

Convergenza di una successione in una dimensione

La convergenza di una successione numerica $\{a_{n}\}$ di numeri reali si verifica quando per $n\to \infty$ , a partire da un certo indice in poi tutti i termini della successione si trovino nell'intorno di un punto, detto limite della successione.

Matematicamente questo si esprime dicendo che una successione $\{a_{n}\}$ converge al numero a per $n\to \infty$ , e si scrive $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ , se $\forall \varepsilon >0$ esiste un indice naturale $N(\varepsilon )$ , in generale dipendente da $\varepsilon$ , tale che la $\|a_{n}-a\|<\varepsilon$ per ogni $n>N(\varepsilon )$ .

Questo garantisce che tutti i termini della successione, caratterizzati da $n>N(\varepsilon )$ , siano contenuti nell'intorno $a-\varepsilon <a_{n}<a+\varepsilon$ . Una successione convergente è necessariamente limitata.

Convergenza delle serie

Si consideri una successione di elementi $\{a_{n}\}$ . Si definisce serie associata ad $\{a_{n}\}$ la somma:

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots

.

Per ogni indice $k$ della successione, si definisce serie delle somme parziali $\{S_{k}\}$ associata a $\{a_{n}\}$ la somma dei termini della successione $\{a_{n}\}$ da $a_{0}$ a $a_{k}$ :

S_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}

Si dice che la serie $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ è convergente al limite $L$ se la relativa successione delle somme parziali $S_{k}$ converge a $L$ . Ovvero, si verifica che:

L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}

se e solo se:

L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}

Il limite sopra enunciato si dice somma della serie, ed esprime il carattere della serie.

Teorema della convergenza

Formalmente il concetto di convergenza di una successione è simile a quello delle funzioni $f(x)$ . Data una successione di numeri reali $\{x_{n}\}$ che converge a un certo limite $\xi$ per $n\to \infty$ , si ha:

\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\lim _{x\to \xi }f(x)=\eta

In modo equivalente, per ogni $\varepsilon >0$ esiste un intorno $\delta (\varepsilon )>0$ , in generale dipendente da $\varepsilon$ , tale che:

\|f(x)-\eta \|<\varepsilon

qualora si verifichi:

\|x-\xi \|<\delta

Questo garantisce che, come i termini della successione sono contenuti nell'intorno di $x$ , allo stesso modo tutti i valori della funzione sono contenuti nell'intorno:

\eta -\varepsilon <f(x)<\eta +\varepsilon

Ogni funzione convergente è quindi necessariamente limitata, e questo implica anche il concetto di continuità di una funzione.

Enunciato

Si supponga di avere una funzione $f(x)$ tale che $f(\alpha )=0$ con α appartenente a un certo intervallo $J$ . Si può porre:

x=x-g(x)f(x)=\phi (x)\qquad g(x)\neq 0\quad \forall x\in J

Si ha dunque:

\phi (\alpha )=\alpha

Se esiste $\delta >\ 0$ tale che:

[\alpha -\delta ,\alpha +\delta ]=J\

e se esiste $k\in (0,1)$ tale che:

\forall x\in J,|\phi '(x)|\leq k

allora si ha:

Se $x_{0}\in J$ allora:

x_{i}=\phi (x_{i-1})\quad i=1,2,3,\dots

$\lim _{i\to \infty }x_{i}=\alpha$
$\alpha$ è l'unica radice in $J$

Dimostrazione

Premesso che:

x_{0}\in J\qquad |x_{0}-\alpha |\leq \delta \qquad \xi \in J

si ha:

|\alpha |\leq |x_{0}-\alpha |

Oltre ad avere:

x_{1}\in (x_{0},\alpha )

si verifica che:

x_{i}\in (x_{i-1},\alpha )\quad i\in \mathbb {N}

Si ottiene:

|x_{i}-\alpha |=|\phi (x_{i-1})-\phi (\alpha )|=|\phi '(\xi )(x_{i-1}-\alpha )|\leq k|x_{0}-\alpha |\leq k^{2}|x_{i-2}-\alpha |\leq ....\leq k^{i}|x_{0}-\alpha |

Poiché $k^{i}$ tende a zero quando i tende a infinito, la successione converge.

Si ponga per assurdo che nell'intervallo vi sia β, radice della funzione diversa da α. Si ha:

|\beta -\alpha |=|\phi (\beta )-\phi (\alpha )|=|\phi (\xi )(\beta -\alpha )|\leq k|\beta -\alpha |\leq |\beta -\alpha |

Il fatto che:

|\beta -\alpha |\leq |\beta -\alpha |

è assurdo, e quindi α è l'unica radice dell'intervallo.

Convergenza delle successioni e serie di funzioni

Per le successioni $\{f_{n}(x)\}_{n}$ vi sono le seguenti tipologie di convergenza:

La convergenza puntuale:

\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)

La convergenza uniforme:

\lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0

Per le serie di funzioni $\sum f_{n}(x)$ vi sono le seguenti tipologie di convergenza:

La convergenza puntuale si verifica se la serie numerica $\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x_{0})$ converge per ogni $x_{0}$ .
La convergenza uniforme si verifica se la successione delle somme parziali converge uniformemente.
La convergenza totale si verifica se esiste una serie numerica $\sum _{n=0}^{\infty }M_{n}$ convergente tale che: