Limite di funzioni a più variabili

In analisi matematica, il limite di funzioni a più variabili è un caso particolare del concetto generale di limite di una funzione, applicato a funzioni del tipo:

$f:X\to \mathbb {R} ^{m}$

dove $X$ è un sottoinsieme dello spazio euclideo $n$-dimensionale $\mathbb {R} ^{n}$.

Il limite di una funzione a più variabili è spesso calcolato con criteri ad hoc e presenta aspetti specifici, non presenti per una funzione qualsiasi.

Definizione

La definizione di limite per una funzione a più variabili segue da quella più generale per funzioni fra spazi metrici. In particolare, una funzione $f:X\to \mathbb {R} ^{m}$ definita su un insieme $X$ di $\mathbb {R} ^{n}$ ha limite $l$ in un punto di accumulazione $x_{0}$ per $X$ se per ogni numero reale $\epsilon >0$ esiste un numero reale $\delta >0$ tale che:

$\|f(x)-l\|<\epsilon$ per ogni $x$ in $X$ con $0<\|x-x_{0}\|<\delta$.

La definizione fa uso della norma per vettori in $\mathbb {R} ^{n}$ e di una notazione vettoriale compatta per il punto $x$. Se esiste il limite $l$, questo è unico per il teorema di unicità del limite, e si indica ugualmente con:

$l=\lim _{x\to x_{0}}f(x)$

In due variabili si possono ancora scrivere tutte le componenti senza creare una notazione troppo pesante e quindi si troverà scritto, per un limite in $\mathbb {R} ^{2}$:

$l=\lim _{(x,y)\to (x_{0},y_{0})}f(x,y)$

Componenti

Può risultare utile scrivere le componenti $f_{1},f_{2},\dots f_{m}$ della funzione $f$ e notare che la nozione:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l$

è equivalente a:

$\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {x_{0}} }f_{1}(\mathbf {x} )=l_{1}$

$\vdots$

$\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {x_{0}} }f_{m}(\mathbf {x} )=l_{m}$

dove $l=(l_{1},\ldots ,l_{m})$.

Esempio

Il limite seguente non esiste:

$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Infatti si ottengono valori diversi del limite avvicinandosi al punto $(0,0)$ da direzioni diverse. Ponendo $y=0$ e calcolando il limite destro, si ottiene:

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+0^{2}}}}=1$

Mentre sulla retta $x=0$ si ricava:

$\lim _{y\to 0}{\frac {0}{\sqrt {0^{2}+y^{2}}}}=0$

Nel caso in più variabili la "direzione", ovvero la curva lungo la quale si calcola un limite è di fondamentale importanza: se una funzione ha limite nel punto, questo non deve dipendere dalla "direzione scelta".

Calcolo

Per calcolare il limite di una funzione di due variabili $z=f(x,y)$ in un punto $(x_{0},y_{0})$, un primo metodo consiste nel fare un cambiamento di variabili in coordinate polari:

${\begin{cases}x=x_{0}+\rho \cos \theta \\y=y_{0}+\rho \sin \theta \end{cases}}$

e si compone la funzione:

$f(x,y)=F(x_{0}+\rho cos\theta ,y_{0}+\rho \sin \theta )$

Inoltre vale il teorema:

$\lim _{(x,y)\to (x_{0},y_{0})}f(x,y)=\lim _{\rho \to 0}F(x_{0}+\rho \cos \theta ,y_{0}+\rho \sin \theta )=L$

in modo però uniforme rispetto a $\theta$, cioè l'ampiezza dell'intervallo di $\rho$ tale che le immagini siano tutte contenute in un qualsiasi intorno dello 0 deve essere indipendente da $\theta$.

Un altro metodo invece è quello di calcolare il limite secondo le diverse curve passanti per $(x_{0},y_{0})$, cioè, all'avvicinarsi a $(x_{0},y_{0})$, secondo diverse direzioni:

${\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}$

componendo la funzione $f(x,y)=F[x(t),y(t)]$

$\lim _{t\to t_{0}}F[x(t),y(t)]=L$

dove $(x_{0},y_{0})=(x(t_{0}),y(t_{0}))$.

In generale, con quest'ultimo metodo è estremamente difficile calcolare il limite, poiché si dovrebbe calcolarlo per tutte le infinite direzioni che avvicinano $(x_{0},y_{0})$; perciò il metodo è utile per negare l'esistenza di un ipotetico limite (come fatto nell'esempio precedente), usando il teorema delle restrizioni.

Bibliografia

• David M. Burton, The history of mathematics: an introduction, 3ª ed., McGraw-Hill, 1997, pp. 558-559, ISBN 0-07-009465-9, OCLC 36468632. URL consultato il 20 giugno 2022.
• (EN) Walter Felscher, Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta, in The American Mathematical Monthly, vol. 107, n. 9, 2000-11, pp. 844–862, DOI:10.1080/00029890.2000.12005282. URL consultato il 20 giugno 2022.
• Judith V. Grabiner, Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus, in The American Mathematical Monthly, vol. 90, n. 3, 1983-03, pp. 185, DOI:10.2307/2975545. URL consultato il 20 giugno 2022.

Voci correlate

• Funzione (matematica)
• Limite (matematica)
• Limite di una funzione